Lý thuyết Toán 9

¬ng tr×nh S2 - 2P - h ³ 0 chän m tho¶ m·n (*)
	e. Tr­êng hỵp: 
	Gi¶i ph­¬ng tr×nh chän m tho¶ m·n (*)
	Bµi to¸n 15 : T×m hai sè u vµ v biÕt tỉng u + v = S vµ tÝch u.v = P cđa chĩng.
	 F Ta cã u vµ v lµ nghiƯm cđa ph­¬ng tr×nh:
x2 - Sx + P = 0 (*)
(§iỊu kiƯn S2 - 4P ³ 0)
	Gi¶i ph­¬ng tr×nh (*) ta t×m ®­ỵc hai sè u vµ v cÇn t×m.
	Néi dung 6: 
gi¶i ph­¬ng tr×nh b»ng ph­¬ng ph¸p ®Ỉt Èn sè phơ
	Bµi to¸n1: Gi¶i ph­¬ng tr×nh trïng ph­¬ng ax4 + bx2 + c = 0
	F §Ỉt t = x2 (t³0) ta cã ph­¬ng tr×nh at2 + bt + c = 0
	Gi¶i ph­¬ng tr×nh bËc hai Èn t sau ®ã thay vµo t×m Èn x
B¶ng tãm t¾t
at2 + bt + c = 0
ax4 + bx2 + c = 0
v« nghiƯm
v« nghiƯm
2 nghiƯm ©m
v« nghiƯm
nghiƯm kÐp ©m
v« nghiƯm
1 nghiƯm d­¬ng
2 nghiƯm ®èi nhau
2 nghiƯm d­¬ng
4 nghiƯm 
2 cỈp nghiƯm ®èi nhau
 	Bµi to¸n 2: Gi¶i ph­¬ng tr×nh 
	F §Ỉt = t « x2 - tx + 1 = 0
	Suy ra t2 = ()2 = «
	Thay vµo ph­¬ng tr×nh ta cã:
	A(t2 - 2) + Bt + C = 0
	 « At2 + Bt + C - 2A = 0
	Gi¶i ph­¬ng tr×nh Èn t sau ®ã thÕ vµo = t gi¶i t×m x.
	Bµi to¸n 3: Gi¶i ph­¬ng tr×nh 
	F §Ỉt = t « x2 - tx - 1 = 0
	Suy ra t2 = ()2 = «
	Thay vµo ph­¬ng tr×nh ta cã:
	A(t2 + 2) + Bt + C = 0
	 « At2 + Bt + C + 2A = 0
	Gi¶i ph­¬ng tr×nh Èn t sau ®ã thÕ vµo = t gi¶i t×m x.
	Bµi to¸n 4: Gi¶i ph­¬ng tr×nh bËc cao
	F Dïng c¸c phÐp biÕn ®ỉi ®­a ph­¬ng tr×nh bËc cao vỊ d¹ng:
	+ Ph­¬ng tr×nh tÝch
	+ Ph­¬ng tr×nh bËc hai.
	Néi dung 7: 
gi¶i hƯ ph­¬ng tr×nh 
	Bµi to¸n: Gi¶i hƯ ph­¬ng tr×nh 
	F C¸c ph­¬ng ph¸p gi¶i:
	+ Ph­¬ng ph¸p ®å thÞ
	+ Ph­¬ng ph¸p céng
	+ Ph­¬ng ph¸p thÕ
	+ Ph­¬ng ph¸p ®Ỉt Èn phơ
	Néi dung 7: 
gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tØ
	Bµi to¸n 1: Gi¶i ph­¬ng tr×nh d¹ng (1)
	F Ta cã 
	Gi¶i (3) ®èi chiÕu ®iỊu kiƯn (2) chän nghiƯm thÝch hỵp ® nghiƯm cđa (1)
	Bµi to¸n 2: Gi¶i ph­¬ng tr×nh d¹ng 
	F §iỊu kiƯn cã nghÜa cđa ph­¬ng tr×nh
	Víi ®iỊu kiƯn trªn tho¶ m·n ta b×nh ph­¬ng hai vÕ ®Ĩ gi¶i t×m x.
Néi dung 8: 
gi¶i ph­¬ng tr×nh chøa gi¸ trÞ tuyƯt ®èi 
	Bµi to¸n: Gi¶i ph­¬ng tr×nh d¹ng 
	F Ph­¬ng ph¸p 1: « 
	F Ph­¬ng ph¸p 2: 	XÐt f(x) ³ 0 ® f(x) = g(x) 
	XÐt f(x) < 0 ® - f(x) = g(x)
	F Ph­¬ng ph¸p 3:	Víi g(x) ³ 0 ta cã f(x) = ± g(x)
	Néi dung 9: 
gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc 
	Bµi to¸n: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa hµm sè y = f(x)
	F Ph­¬ng ph¸p 1: Dùa vµo luü thõa bËc ch½n.
	- BiÕn ®ỉi hµm sè y = f(x) sao cho:
	y = M - [g(x)]2n , n ỴZ ® y £ M
	Do ®ã ymax = M khi g(x) = 0
	- BiÕn ®ỉi hµm sè y = f(x) sao cho:
	y = m + [h(x)]2k kỴZ ® y ³ m
	Do ®ã ymin = m khi h(x) = 0
	F Ph­¬ng ph¸p 2: Dùa vµo tËp gi¸ trÞ hµm.
	F Ph­¬ng ph¸p 3: Dùa vµo ®¼ng thøc. 
	Néi dung 10: 
c¸c bµi to¸n liªn quan ®Õn hµm sè
	* §iĨm thuéc ®­êng - ®­êng ®i qua mét ®iĨm
	Bµi to¸n: Cho (C) lµ ®å thÞ cđa hµm sè y = f(x) vµ mét ®iĨm A(xA;yA). Hái (C) cã ®i qua A kh«ng?
	F §å thÞ (C) ®i qua A(xA;yA) khi vµ chØ khi to¹ ®é cđa A nghiƯm ®ĩng ph­¬ng tr×nh cđa (C)
	AỴ(C) « yA = f(xA)
	Dã ®ã tÝnh f(xA)
	NÕu f(xA) = yA th× (C) ®i qua A.
	NÕu f(xA) ¹ yA th× (C) kh«ng ®i qua A.
	* sù t­¬ng giao cđa hai ®å thÞ
	Bµi to¸n : Cho (C) vµ (L) theo thø tù lµ ®é thÞ hµm sè 
	y = f(x) vµ y = g(x)
	H·y kh¶o s¸t sù t­¬ng giao cđa hai ®å thÞ
	F To¹ ®é ®iĨm chung cđa (C) vµ (L) lµ nghiƯm cđa ph­¬ng tr×nh hoµnh ®é ®iĨm chung:
f(x) = g(x) (*)
	- NÕu (*) v« nghiƯm th× (C) vµ (L) kh«ng cã ®iĨm chung.
	- NÕu (*) cã nghiƯm kÐp th× (C) vµ (L) tiÕp xĩc nhau.
	- NÕu (*) cã 1 nghiƯm th× (C) vµ (L) cã 1 ®iĨm chung.
	- NÕu (*) cã 2 nghiƯm th× (C) vµ (L) cã 2 ®iĨm chung.
	* lËp ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng
	Bµi to¸n 1: LËp ph­¬ng tr×nh cđa ®­êng th¼ng (D) ®i qua ®iĨm A(xA;yA) vµ cã hƯ sè gãc b»ng k.
	F Ph­¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa ®­êng th¼ng (D) lµ : y = ax + b (*)
	- X¸c ®Þnh a: ta cã a = k
	- X¸c ®Þnh b: (D) ®i qua A(xA;yA) nªn ta cã yA = kxA + b ® b = yA - kxA
	- Thay a = k; b = yA - kxA vµo (*) ta cã ph­¬ng tr×nh cđa (D)
	Bµi to¸n 2: LËp ph­¬ng tr×nh cđa ®­êng th¼ng (D) ®i qua ®iĨm A(xA;yA); B(xB;yB) 
	 F Ph­¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa ®­êng th¼ng (D) lµ : y = ax + b 
	 (D) ®i qua A vµ B nªn ta cã: 
	Gi¶i hƯ ta t×m ®­ỵc a vµ b suy ra ph­¬ng tr×nh cđa (D)
	Bµi to¸n 3: LËp ph­¬ng tr×nh cđa ®­êng th¼ng (D) cã hƯ sè gãc k vµ tiÕp xĩc víi ®­êng cong (C): y = f(x) 
	 F Ph­¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa ®­êng th¼ng (D) lµ : y = kx + b 
	 Ph­¬ng tr×nh hoµnh ®é ®iĨm chung cđa (D) vµ (P) lµ:
	f(x) = kx + b (*)
	V× (D) tiÕp xĩc víi (P) nªn (*) cã nghiƯm kÐp. Tõ ®iỊu kiƯn nµy ta t×m ®­ỵc b vµ suy ra ph­¬ng tr×nh cđa (D)
	 Bµi to¸n 3: LËp ph­¬ng tr×nh cđa ®­êng th¼ng (D) ®i qua ®iĨm A(xA;yA) k vµ tiÕp xĩc víi ®­êng cong (C): y = f(x) 
	 F Ph­¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa ®­êng th¼ng (D) lµ : y = kx + b 
	 Ph­¬ng tr×nh hoµnh ®é ®iĨm chung cđa (D) vµ (P) lµ:
	f(x) = kx + b (*)
	V× (D) tiÕp xĩc víi (P) nªn (*) cã nghiƯm kÐp. 
	Tõ ®iỊu kiƯn nµy ta t×m ®­ỵc hƯ thøc liªn hƯ gi÷a a vµ b (**)
	MỈt kh¸c: (D) qua A(xA;yA) do ®ã ta cã yA = axA + b (***)
	Tõ (**) vµ (***) ® a vµ b ® Ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (D).
PhÇn II: HÌNH HỌC 
A. KiÕn thøc cÇn nhí.
1. HƯ thøc l­ỵng trong tam gi¸c vu«ng.
	b2 = ab' c2 = ac'
	 h2 = b'c'
	 ah = bc
	 a2 = b2 + c2
2. TØ sè l­ỵng gi¸c cđa gãc nhän. 
	0 < sina < 1 0 < cossa < 1
	 sin2a + cos2a = 1
	tga.cotga = 1 
3. HƯ thøc vỊ c¹nh vµ gãc trong tam gi¸c vu«ng.
b = asinB = acosC
b = ctgB = ccotgC
c = a sinC = acosB
c = btgC = bcotg B
4. §­êng trßn.
- C¸ch x¸c ®Þnh: Qua ba ®iĨm kh«ng th¼ng hµng ta vÏ ®­ỵc mét vµ chØ mét ®­êng trßn.
- T©m ®èi xøng, trơc ®èi xøng : §­êng trßn cã mét t©m ®èi xøng; cã v« sè trơc ®èi xøng.
- Quan hƯ vu«ng gãc gi÷a ®­êng kÝnh vµ d©y.
	Trong mét ®­êng trßn
 + §­êng kÝnh vu«ng gãc víi mét d©y th× ®i qua trung ®iĨm cđa d©y Êy
 + §­êng kÝnh ®i qua trung ®iĨm cđa mét d©y kh«ng ®i qua t©m th× vu«ng gãc víi d©y Êy.
	- Liªn hƯ gi÷a d©y vµ kho¶ng c¸ch tõ t©m ®Õn d©y:
	Trong mét ®­êng trßn:
	+ Hai d©y b»ng nhau th× c¸ch ®Ịu t©m
	+ Hai d©y c¸ch ®Ịu t©m th× b»ng nhau
	+ D©y nµo lín h¬n th× d©y ®ã gÇn t©m h¬n
	+ D©y nµo gÇn t©m h¬n th× d©y ®ã lín h¬n
	- Liªn hƯ gi÷a cung vµ d©y:
	Trong mét ®­êng trßn hay trong hai ®­êng trßn b»ng nhau:
	+ Hai cung b»ng nhau c¨ng hai d©y b»ng nhau
	+ Hai d©y b»ng nhau c¨ng hai cung b»ng nhau
	+ Cung lín h¬n c¨ng d©y lín h¬n
	+ D©y lín h¬n c¨ng cung lín h¬n.
- VÞ trÝ t­¬ng ®èi cđa ®­êng th¼ng vµ ®­êng trßn:
VÞ trÝ t­¬ng ®èi
Sè ®iĨm chung
HƯ thøc liªn hƯ gi÷a d vµ R
- §­êng th¼ng vµ ®­êng trßn c¾t nhau
2
d < R
- §­êng th¼ng vµ ®­êng trßn tiÕp xĩc nhau
1
d = R
- §­êng th¼ng vµ ®­êng trßn kh«ng giao nhau
0
d > R
	- VÞ trÝ t­¬ng ®èi cđa ®­êng th¼ng vµ ®­êng trßn:
VÞ trÝ t­¬ng ®èi
Sè ®iĨm chung
HƯ thøc liªn hƯ gi÷a d vµ R
- Hai ®­êng trßn c¾t nhau
2
R - r < OO' < R + r
- Hai ®­êng trßn tiÕp xĩc nhau
 + TiÕp xĩc ngoµi 
 + TiÕp xĩc trong
1
OO' = R + r
OO' = R - r
- Hai ®­êng trßn kh«ng giao nhau
 + (O) vµ (O') ë ngoµi nhau
 + (O) ®ùng (O')
 + (O) vµ (O') ®ång t©m
0
OO' > R + r
OO' < R - r
OO' = 0
5. TiÕp tuyÕn cđa ®­êng trßn
	- TÝnh chÊt cđa tiÕp tuyÕn: TiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi b¸n kÝnh ®i qua tiÕp ®iĨm.
	- DÊu hiƯu nhËn biÕt tiÕp tuyÕn:
	+ §­êng th¼ng vµ ®­êng trßn chØ cã mét ®iĨm chung
	+ Kho¶ng c¸ch tõ t©m cđa ®­êng trßn ®Õn ®­êng th¼ng b»ng b¸n kÝnh 
	+ §­êng th¼ng ®i qua mét ®iĨm cđa ®­êng trßn vµ vu«ng gãc víi b¸n kÝnh ®i qua ®iĨm ®ã.
	- TÝnh chÊt cđa 2 tiÕp tuyÕn c¾t nhau
 MA, MB lµ hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau th×:
	+ MA = MB
	+ MO lµ ph©n gi¸c cđa gãc AMB
	+ OM lµ ph©n gi¸c cđa gãc AOB
	- TiÕp tuyÕn chung cđa hai ®­êng trßn: lµ ®­êng th¼ng tiÕp xĩc víi c¶ hai ®­êng trßn ®ã:
TiÕp tuyÕn chung ngoµi
TiÕp tuyÕn chung trong
6. Gãc víi ®­êng trßn
Lo¹i gãc
H×nh vÏ
C«ng thøc tÝnh sè ®o
1. Gãc ë t©m
2. Gãc néi tiÕp
3. Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn
 vµ d©y cung.
4. Gãc cã ®Ønh ë bªn trong ®­êng trßn
5. Gãc cã ®Ønh ë bªn ngoµi ®­êng trßn
 F Chĩ ý: Trong mét ®­êng trßn
	- C¸c gãc néi tiÕp b»ng nhau ch¾n c¸c cung b»ng nhau
	- C¸c gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung th× b»ng nhau
	- C¸c gãc néi tiÕp ch¾n c¸c cung b»ng nhau th× b»ng nhau
	- Gãc néi tiÕp nhá h¬n hoỈc b»ng 900 cã sè ®o b»ng nưa sè ®o cđa gãc ë t©m cïng ch¾n mét cung.
	- Gãc néi tiÕp ch¾n nưa ®­êng trßn lµ gãc vu«ng vµ ng­ỵc l¹i gãc vu«ng néi tiÕp th× ch¾n nưa ®­êng trßn.
	- Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung vµ gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung th× b»ng nhau.
7. §é dµi ®­êng trßn - §é dµi cung trßn.
	- §é dµi ®­êng trßn b¸n kÝnh R: C = 2pR = pd
	- §é dµi cung trßn n0 b¸n kÝnh R : 
8. DiƯn tÝch h×nh trßn - DiƯn tÝch h×nh qu¹t trßn
	- DiƯn tÝch h×nh trßn: S = pR2
	- DiƯn tÝch h×nh qu¹t trßn b¸n kÝnh R, cong n0: 
9. C¸c lo¹i ®­êng trßn
§­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c
§­êng trßn néi tiÕp
tam gi¸c
§­êng trßn bµng tiÕp 
tam gi¸c
T©m ®­êng trßn lµ giao cđa ba ®­êng trung trùc cđa tam gi¸c
T©m ®­êng trßn lµ giao cđa ba ®­êng ph©n gi¸c trong cđa tam gi¸c
T©m cđa ®­êng trßn bµng tiÕp trong gãc A lµ giao ®iĨm cđa hai ®­êng ph©n gi¸c c¸c gãc ngoµi t¹i B hoỈc C hoỈc lµ giao ®iĨm cđa ®­êng ph©n gi¸c gãc A vµ ®­êng ph©n gi¸c ngoµi t¹i B (hoỈc C)
 r: b¸n kÝnh
Trong ®ã 
	 h: chiỊu cao
10. C¸c lo¹i h×nh kh«ng gian.
	a. H×nh trơ.
	- DiƯn tÝch xung quanh: Sxq = 2prh
	- DiƯn tÝch toµn phÇn: Stp = 2prh + pr2
	- ThĨ tÝch h×nh trơ: V = Sh = pr2h
 r: b¸n kÝnh
Trong ®ã l: ®­êng sinh
	 h: chiỊu cao
	b. H×nh nãn:
	- DiƯn tÝch xung quanh: Sxq = 2prl
	- DiƯn tÝch toµn phÇn: Stp = 2prl + pr2
	- ThĨ tÝch h×nh trơ: V = 
 r1: b¸n kÝnh d¸y lín
	 r2: b¸n kÝnh ®¸y nhá
Trong ®ã l: ®­êng sinh
 h: chiỊu cao
	c. H×nh nãn cơt:
	- DiƯn tÝch xung quanh: Sxq = p(r1 + r2)l
	- ThĨ tÝch: V = 
 R: b¸n kÝnh
Trong ®ã 
	 d: ®­êng kÝnh
	d. H×nh cÇu.
	- DiƯn tÝch mỈt cÇu: S = 4pR2 = pd
	- ThĨ tÝch h×nh cÇu: V = 
11. Tø gi¸c néi tiÕp:
 F DÊu hiƯu nhËn biÕt tø gi¸c néi tiÕp:
	- Tø gi¸c cã tỉng hai gãc ®èi b»ng 1800
	- Tø gi¸c cã gãc ngoµi t¹i mét ®Ønh b»ng gãc trong cđa ®Ønh ®èi diƯn
	- Tø gi¸c cã 4 ®Ønh c¸ch ®Ịu mét ®iĨm.
	- Tø gi¸c cã hai ®Ønh kỊ nhau cïng nh×n c¹nh chøa hai ®Ønh cßn l¹i d­íi mét gãc a.
B. c¸c d¹ng bµi tËp.
	D¹ng 1