SKKN Dạy học sinh lớp 9 vận dụng định lí Vi-ét giải bài toán tìm giá trị của tham số để sự tương giao giữa parabol y = ax2(a 0) và đường thẳng y = mx + n thỏa mãn điều kiện cho trước

 vào phương trình y = ax2 hoặc y = mx + n ta tìm được tung độ tương ứng
GV: Điều kiện để parabol y = ax2(a 0) và đường thẳng y = mx + n cắt nhau là gì?
HS: Phương trình ax2 = mx + n có nghiệm
GV: Từ khẳng định trên em có nhận xét gì về số nghiệm phương trình ax2 = mx + n với số giao điểm của parabol y = ax2(a 0) và đường thẳng y = mx + n?
HS: Nếu phương trình ax2 = mx + n có hai nghiệm phân biệt thì đường thẳng cắt parabol tại hai điểm
Nếu phương trình ax2 = mx + n có nghiệm kép thì đường thẳng tiếp xúc với parabol
Nếu phương trình ax2 = mx + n vô nghiệm thì đường thẳng không cắt parabol
GV: (Chốt) Phương trình ax2 = mx + n có nghiệm là hoành độ giao điểm của parabol y = ax2(a 0) và đường thẳng y = mx + n nên người ta gọi phương trình đó là Phương trình hoành độ giao điểm và khi giải bài toán liên quan đến giao điểm của parabol và đường thẳng ta phải xét đến số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm này.
Căn cứ vào quy tắc và nhận xét trên nói trên tôi hướng dẫn học sinh giải một số bài tập vận dụng hệ thức Vi-ét tìm giá trị của tham số để giao điểm của parabol y = ax2(a 0) và đường thẳng y = mx + n thỏa mãn điều kiện cho trước. Cụ thể như sau: 
3. 2 Hướng dẫn giải một số bài tập
3. 2. 1 Ví dụ 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = -x2  và đường thẳng (d): y = mx – m – 2
a) Chứng minh với mọi giá trị của m thì (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt. 
b) Gọi x1; x2 là hoành độ của hai giao điểm trên. Xác định m để 
* Tìm hiểu nội dung bài toán:
GV: Bài toán cho gì? Yêu cầu của bài toán là gì?
HS: Cho parabol (P): y = -x2  và đường thẳng (d): y = mx – m – 2. 
Yêu cầu:
a) Chứng minh với mọi giá trị của m thì (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt 
b) Xác định m để hoành độ giao điểm x1, x2 thỏa mãn 
* Xác định hướng giải và thiết lập chương trình giải
GV: Muốn chứng minh với mọi giá trị của m thì (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt ta làm thế nào?
HS: Chứng minh phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
GV: Để chứng minh phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m ta cần làm gì?
HS: Chứng minh biệt thức > 0 (’ > 0) với mọi giá trị của m
GV: Làm thế nào để xác định được giá trị m sao cho ?
HS: Có thể biến đổi sao cho xuất hiện tổng và tích các nghiệm nên ta tính tổng và tích hai nghiệm theo hệ thức Vi-ét của phương trình hoành độ giao điểm rồi thay vào hệ thức đó tìm m.
GV: Biến đổi sao cho xuất hiện tổng và tích như thế nào?
HS: Vì có hai vế không âm nên ta có:
GV: Lập chương trình cần thực hiện để giải bài toán?
HS:
- Viết phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d)
- Tính biệt thức và chứng tỏ > 0 với mọi giá trị của m
- Viết hệ thức Vi-ét
- Biến đổi xuất hiện tổng và tích hai nghiệm
- Thay tổng và tích vào đẳng thức trên và giải phương trình tìm m
* Trình bày lời giải: 
a) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: 
-x2 = mx – m – 2
 x2 + mx – m – 2 = 0 	(*)
 = m2 – 4(– m – 2)
= m2 + 4m + 8
= (m + 2)2 + 4 > 0 với mọi m
Do > 0 với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
Vậy (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m.
b) Gọi x1; x2 là hoành độ của hai giao điểm của (P) và (d) x1; x2 là hai nghiệm của phương trình (*)
Theo hệ thức Vi-ét ta có (1)
Vì có hai vế không âm nên ta có:
Thay (1) vào (2) ta được:	(–m)2 – 4(– m – 2) = 20
 	m2 + 4m – 12 = 0
m1 = 2; m2 = -6
Vậy với m1 = 2; m2 = -6 thì 
* Kiểm tra lời giải, nghiên cứu thêm về bài toán và cách giải
- Kiểm tra lập luận: lập luận có căn cứ, hợp logic; kết quả chính xác
- Tìm thêm bài toán mới: Để giải bài toán trên, ta phải tìm m để hoành độ các giao điểm thỏa mãn một đẳng thức cho trước. Vì vậy với parabol và đường thẳng chứa tham số m đã cho ta thay hệ thức cho trước bởi các hệ thức khác chứa các hoành độ ta có thêm bài toán mới.
- Phương pháp làm bài toán này có thể làm các bài toán tương tự sau:
* Một số bài tập tương tự: 
Bài 1.Đề thi tuyển sinh lớp 10THPT năm học 2002-2003. T.Hải Dương)
Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng y = -x + m – 3 cắt nhau tại hai điểm phân biệt. Gọi x1; x2 là hoành độ của hai giao điểm ấy. Tìm m để 
Bài 2. Cho parabol (P): y = x2 
a) Chứng minh rằng đường thẳng y = mx – m + 3 luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B với mọi giá trị của m.
b) Tìm giá trị của m để 
Bài 3. Cho parabol (P): y = 2x2 và (d): y = 4(m +2)x – 2m2 – 1
a) Xác định giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B
b) Tìm giá trị của m để 
Bài 4. Cho parabol (P): y = -x2 và (d) là đường thẳng đi qua điểm A(0; -1) và có hệ số góc m
a) Viết phương trình đường thẳng (d). Chứng minh rằng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B
b) Tìm giá trị của m để 
Bài 5. Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = x + m. Tìm giá trị của m để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 thỏa mãn 
3. 2. 2 Ví dụ 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x2  và đường thẳng (d): y = 2mx – 2m + 3. 
a) Chứng minh (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m. b) Gọi y1 ; y2 là tung độ các giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d). Tìm giá trị của m để y1 + y2 < 9
* Tìm hiểu nội dung bài toán:
GV: Bài toán cho biết gì? Yêu cầu của bài toán là gì?
HS: Cho parabol (P): y = x2  và đường thẳng (d): y = 2mx – 2m + 3 và yêu cầu: Chứng minh (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m và tìm giá trị của m để y1 + y2 < 9
* Tìm cách giải
GV: Yêu cầu chứng minh (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m ta làm thế nào?
HS: Chứng minh phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
GV: Để chứng minh phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m ta cần làm gì?
HS: Chứng minh > 0 hoặc ’ > 0 với mọi giá trị của m
GV: Nêu cách tìm giá trị của m để y1 + y2 < 9? 
HS: (lúng túng)...
GV: Gọi y1 ; y2 là tung độ các giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d) thì y1 ; y2 được hiểu thế nào?
HS: y1 ; y2 là tung độ các giao điểm thì các hoành độ x1, x2 tương ứng là hai nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.
GV: y1 ; y2 tính như thế nào theo các hoành độ x1, x2 ?
HS: hoặc y1 = 2mx1 – 2m + 3; y2 = 2mx2 – 2m + 3
GV: Nêu cách tìm giá trị của m để y1 + y2 < 9? 
HS: tính các tung độ y1, y2 theo các hoành độ tương ứng rồi thay vào bất phương trình y1 + y2 < 9, biến đổi là xuất hiện tổng và tích hai nghiệm là các hoành độ x1, x2; Viết hệ thức Vi-ét thay vào bất phương trình đó tìm m
GV: Lập chương trình thực hiện cần thực hiện để giải bài toán?
HS: Nêu trình tự:
- Viết phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d)
- Tính biệt thức ’ và chứng tỏ ’ > 0 với mọi giá trị của m
- Viết hệ thức Vi-ét
- Tính các tung độ tương ứng y1 , y2 theo hoành độ giao điểm x1, x2 thay vào y1 + y2 < 9 và biến đổi làm xuất hiện tổng và tích hai nghiệm
- Thay tổng và tích vào bất đẳng thức trên và giải bất phương trình tìm m
* Trình bày lời giải: 
a) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: 
x2 = 2mx – 2m + 3
 x2 – 2mx + 2m – 3 = 0 	(*)
’ =(– m)2 – (2m – 3)
= m2 - 2m + 3
= (m + 1)2 + 2 > 0 với mọi m
Do > 0 với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
Vậy (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m
b) Gọi x1; x2 là hoành độ của hai giao điểm của (P) và (d) x1; x2 là hai nghiệm của phương trình (*)
Theo hệ thức Vi-ét ta có (1)
Theo đề bài y1 + y2 < 9 , mà 
Thay (1) vào (2) ta được:	(2m)2 – 2(2m –3 ) < 9	4m2 – 4m + 6 < 9
4m2 – 4m – 3 < 0
(2m – 1)2 – 22 < 0
(2m – 3)(2m + 1) < 0
 vì 2m – 3 < 2m + 1
Vậy thì y1 + y2 < 9
* Kiểm tra lời giải, nghiên cứu thêm về bài toán và cách giải
- Kiểm tra lập luận: Lập luận có căn cứ, hợp logic; kết quả chính xác
- Tìm thêm bài toán mới: Để giải dạng bài toán trên, ta phải tìm m để tung độ các giao điểm thỏa mãn một bất đẳng thức cho trước. Vì vậy ta thay bất đẳng thức y1 + y2 < 9 cho trước bởi các bất đẳng thức khác chứa các tung độ y1 , y2 có thêm bài toán mới.
* Một số bài tập tương tự: 
Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x2  và đường thẳng (d): y = (m – 1)x + 2. 
a) Chứng minh (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m. b) Gọi y1 ; y2 là tung độ các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P). Tìm giá trị của m để y1 + y2 = y1y2
Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x2  và đường thẳng (d): y = 3x + m2 
a) Chứng minh đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m. 
b) Gọi y1 ; y2 là tung độ các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P). Tìm giá trị của m để y1 + y2 – 11y1y2 = 0
3. 2. 3 Ví dụ 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x2  và đường thẳng (d): y = 2x – m + 1
Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ (x1; y1) và (x2; y2) sao cho x1x2(y1 + y2) + 48 = 0
* Tìm hiểu nội dung bài toán:
GV: Bài toán cho biết gì? Yêu cầu của bài toán là gì?
HS: cho parabol (P): y = x2  và đường thẳng (d): y = 2x – m + 1
Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ (x1; y1) và (x2; y2) sao cho x1x2(y1 + y2) + 48 = 0
* Tìm cách giải
GV: Từ yêu cẩu đề bài ta phải tìm m thỏa mãn những điều kiện nào?
HS: Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt và đẳng thức x1x2(y1 + y2) + 48 = 0
GV: để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì m thỏa mãn điều kiện nào?
HS: đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi thì m thỏa mãn điều kiện > 0 hoặc ’ > 0
GV: Nêu cách tìm giá trị của m để x1x2(y1 + y2) + 48 = 0
HS: Viết hệ thức Vi-ét và tính các tung độ y1, y2 theo các hoành độ tương ứng x1; x2 rồi thay vào phương trình x1x2(y1 + y2) + 48 = 0 rồi biến đổi là xuất hiện tổng và tích hai nghiệm, từ đó tìm m
GV: Lập chương trình thực hiện cần thực