Giải một số bài toán bằng phương pháp đồ thị

x1 ; y1) , (x2 ; y2 ) là 2 nghiệm của hệ ,chứng minh rằng . 
 (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 ≤ 1 
Giải : 
a) Hệ đã cho có thể viết lại : 
(*) ⇔ 




=+−
=−+
)2(
4
1y)
2
1
x(
)1(0)1y(ax
22 
 4 
Ta nhận thấy (1) là phương trình đường thẳng ,luôn qua điểm cố định (0;1) . (2) là 
phương trình đường tròn có tâm I(
2
1
;0) bán kính R = 
2
1
. Do số giao điểm của đường 
thẳng và đường tròn chính là số nghiệm . Vậy để hệ phương trình có 2 nghiệm khi : 
D(I ;d) = 
21
0.
2
1
a
aa
+
−+
 < 
2
1
⇔ 0 <a < 
3
4
b) ta có AB = 212
2
12 )yy()xx( −+− ≤ 2R 
 (x2 –x1)2 + (y2 – y1)2 ≤ 4R2 =1 (đpcm) 
Dấu (=) xảy ra khi đường thẳng qua tâm : 
Hay : 
2
1
- a = 0 ⇔ a = 
2
1
Cho hệ phương trình. 




=−++++
<+−
02aax)1a2(x
04x5x
22
24
 (*) 
Tìm a sao cho hệ sau đây có nghiệm. 
Giải : 
Hệ đã cho có thể viết lại : 
 5 
( ) ⇔*








−<<−
<<
=++−+
)3(1x2
)2(2x1
)1(0)2ax)(1ax(
Các điểm M(x;y) thỏa(1) là những điểm nằm trên 2 đường thẳng như hình vẽ 
Các điểm M(x;y) thỏa (2) là những điểm nằm trên 2 miền gạch 
Ta có A(-2;0) , B(-2;3) , C(-1;2) , D(1;0) , E(2;-1) , F(-1;-1) , K(1;-3) , M(2;-4) . 
Vậy từ đồ thị hệ có nghiệm khi : -4<a<-3 , -1<a<0 , 2<a<3. 
Cho hệ phưong trình. 




=+
=++−+
222
2
myx
02)yx(3)yx(
 (*) 
Tìm m sao cho hệ sau đây có 3 nghiệm . 
Giải : 
Hệ đã cho có thể viết lại : 
(*) ⇔



=+
=−+−+
)2(myx
)1(0)1yx)(2yx(
222 
Các điểm M(x;y) thỏa (1) là những điểm nằm trên 2 đường thẳng như hình vẽ 
Các điểm M(x;y) thỏa (2) là những điểm nằm trên đường tròn tâm I(0;0) bán kính R 
= m , do số giao điểm của đường thẳng và đường tròn chính là số nghiệm . Vậy để hệ 
phương trình có 3 nghiệm thì : 
R = ON , mà ON = 
2
2
= 2 (áp dụng đktx) do đó : 
m = 2 ⇔




−=
=
2m
2m 
 6 
Biện luận theo a về số nghiệm của phương trình. 



=−−
=+
0)ay)(a2x(
2y2x
Giải : 
Ta đổi trục cho dễ về việc tính toán và biện luận: 
Đổi trục oxy → 0XY 




=
=
2
Yy
Xx
Hệ đã cho có thể viết lại : 
( )
( )

=−−
=+
20)a2Y)(a2X(
12YX
Ta nhận thấy các điểm M(x;y) thoả mãn (1) là hình vuông A,B,C,D trong đó A(-2;0) , 
B(0;2) , C(2;0) , D(0;-2) .Các điểm thỏa mãn (2) nằm trên 2 đường: X = 2a ,Y= 2a , mà 
giao điểm I của chúng luôn luôn di động trên Y = X , dễ thấy điểm I/(1;1) như hình vẽ , 
do số giao điểm của 2 đường thẳng và hình vuông ABCD chính là số nghiệm . 
 7 
nên ta có : 
 Nếu 


−<
>
2a2
2a2
 ⇔ 


−<
>
1a
1a
 hệ vô nghiệm. 
Nếu 


−=
=
2a2
2a2
 ⇔ 


−=
=
1a
1a
 hệ có 2 nghiệm. 
Nếu 





−≠
≠
<<−
12
12
222
a
a
a
⇔








−≠
≠
<<−
2
1
a
2
1
a
1a1
 hệ có 4 nghiệm. 
 Nếu 


−=
=
1a2
1a2
 ⇔





−=
=
2
1
a
2
1
a
 hệ có 3 nghiệm. 
Tìm a để phương trình sau có 2 nghiệm . 
xaxx 2 −=− (*) 
Giải : 
 8 
Với điều kiện x – x2 ≥ 0 , đặt y = 2xx − ≥ 0 
(*) trở thành 
( )
( )
( )



≥
=−+
=+
30y
20xxy
1axy
22 ⇔
( )
( )
( )



≥
=+−
=+
30y
2
4
1y)
2
1
x(
1axy
22 
(2) và (3) là phương trình nửa đường tròn lấy phần dương như hình vẽ , có tâm I(
2
1
;0) 
bán kính R = 
2
1
. (1) là phương trình đường thẳng x +y = a , do số giao điểm của đường 
thẳng và đường tròn chính là số nghiệm . Vậy để hệ phương trình có 2 nghiệm thì 
đường thẳng x +y = a phải lớn hơn hoặc bằng 
 x + y = 1 và nhỏ hơn tiếp xúc trên , mà tiếp xúc trên bằng . 







>
=
−
1a
2
1
2
a
2
1
 ⇔






−
=
+
=
)l(
2
21
a
)n(
2
21
a
hay 1 ≤ a <
2
21+
định a để phương trình sau có 4 nghiệm . 
2 ax5x4x5x 22 +−=+− (*) 
Giải : 
 9 
Đặt 
4
9
4
9
2
5
x4x5xt
2
2
−≥−





−=+−= 
(*) ⇔ tt24aa4tt2 −=−⇔+−=
( )
( )

≥=−
<−=−
⇔
0t,2t4a
0t,1t34a
Nhận xét ∀ t 
4
9
−> thì ta được 2 nghiệm x , theo ycbt ta cần có 2 nghiệm t
4
9
−> 
Dễ thấy A(
4
27
;
4
9
− ) (1) là phương trình y = -3t để thoả bài toán thì ( 0t
4
9
<<− ) 
(2) là phương trình đường thẳng y = t , t∀ ≥ 0 
Vậy đểâ phương trình có 4 nghiệm x hay có 2 nghiệm t thì: 
4
274a0 <−< ⇔ 
4
43
a4 << 
Cho hệ bất phưong trình. 
( ) ( )
( ) ( )



≤++
≤++
2ay1x
1a1yx
22
22
 (*) 
Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất . 
Giải : 
Bất phương trình (1) là những điểm nằm trên và trong đường tròn tâm O2(0;-1) bán 
kính R2 = a . (như hình vẽ) 
Bất phương trình (2) là những điểm nằm trên và trong đường tròn tâm O1(-1;0) bán 
kính R1 = a . 
Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi : R1 + R2 = O1O2 
Hay : 2 a = ( ) ( )22 0110 +−++ 
2
1
=⇔ a 
 10 
Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất. 
( )



≥−+−
≤+−
*
0)6(6
023
2
2
aaxx
xx
Giải : 
Hệ (*) cho có thể viết lại . 
( )
( )( ) ( ) ( )

≥−+−
≤≤
*
206
121
axax
x
 11 
Xét hệ toạ độ trực chuẩn oxa. 
Từ hình vẽ có thể thấy các điểm M(x;a) thỏa mãn (1) và (2) là miền gạch chéo nằm 
trên và trong hình thang ABCD .Vậy hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất khi : 
a = 1 hoặc a = 5 
Tìm m để hệ phương trình có 8 nghiệm. 



=−+−
=−+−
222 m)1y()1x(
11y1x
Giải : 
Ta đổi trục cho dễ về việc tính toán và biện luận. 
Đổi trục oxy → 0XY 
Hệ đã cho có thể viết lại . 
( )
( )

=+
=+
2mYX
11YX
222 



+=
+=
1Yy
1Xx
 12 
Các điểm M(x;y) thỏa (1) là những điểm nằm trên hình vuông ABCD , như hình vẽ .Các 
điểm M(x;y) thỏa (2) là phương trình đường tròn tâm O(0;0) bán kímh R = m . Do số 
giao điểm của đường thẳng và đường tròn chính là số nghiệm . Vậy để hệ phương trình 
có 8 nghiệm khi : OH < R < OB . 
Mà : OH = 
2
1
 ( áp dụng đktx) , OB = 1 . 
Vậy 
2
1 < m < 1 






−<<−
<<
⇔
2
2
m1
1m
2
2
 đó là ycbt 
Biện luận số nghiệm của phương trình . 
( )*xm2x312 2 −=− 
Giải : 
Với điều kiện 12 – 3x2 ≥ 0 đặt y = 2x312 − . Phương trình có thể viết lại 
 ⇔(*)
( )
( )
( )





=+
=+
≥
3m2yx
21
12
y
4
x
10y
22
 13 
Có thể thấy các điểm M(x;y) thỏa (1) và (2) là phương trình của nửa ellip lấy phần 
dương , như trên hình vẽ . Có thể thấy các điểm M(x;y) thỏa (3) là phương trình đường 
thẳng luôn di động và có hệ số góc là -1 . 
Xét các vị trí tới hạn của nó : qua A ứng với m = -1 
Vị trí tiếp xúc trên 2
0
4124 2
=⇔



>
=+
m
m
m
Tại B ứng với m = 1 
Vậy ta có : Nếu 1 ≤ m <2 phương trình có 2 nghiệm. 
 Nếu m = 2 hoặc -1 ≤ m <1 phương trình có 1 ngiệm. 
 Nếu m > 2 hoặc m<-1 phương trình vô nghiệm. 
Cho hệ : ( )*
0a6x4x
0ax2x
2
2



≤−−
≤++ 
a) tìm a để hệ có nghiệm. 
b) tìm a để hệ có nghiệm duy nhất. 
Giải : 
Hệ đã cho có thể viết lai . 
( )
( ) ( )*2
6
x4x
a
1x2xa
2
2




−≥
−−≤
 14 
Các điểm M(x;a) thỏa mãn (1) và (2) nằm trong miền gạch chéo ta có, S1(2; 2
3
− ) , S2(-
1;1) và 
xA = - 7
8
< -1 
a) từ hình vẽ, hệ đã cho có nghiệm khi . 0 1≤≤ a 
b) hệ đã cho có nghiệm duy nhất khi . 


=
=
0
1
a
a
tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất . 
( )*
1yx
1mxy2yx




≤+
≥+++ 
Giải : 
Hệ đã cho có thể viết thành . 
⇔
( )




≤+
−−≥+
⇔




≤+
−−≥+
1yx
yx1mxy2
1yx
yx1mxy2 2 
( )
( )

≤+
+≤−+−
⇔



≤+
−+−++≥+
⇔
21yx
11m)1y()1x(
1yx
y2xy2x2yx1mxy2
22
22
 15 
Xét hệ toạ độ trực chuẩn oxy 
Nhận xét : những điểm M(x;y) thỏa mãn (1) là những điểm nằm trên và trong đường 
tròn tâm I(1;1) bán kính R = 1+m (như hình vẽ) , những điểm M(x;y) thỏa mãn (2) là 
miền gạch chéo và đường thẳng x +y =1 .Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi R = 
OH , 
Mà OH = 
2
2
( áp dụng đktx) vậy : 
2
21m =+ 
2
1
−=⇔ m là ycbt 
tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm. 
( )*
0m18x8x6x
0m4x2x
24
2




≤−+−−
≤+−−
Giải : 
Hệ đã cho có thể viết thành . 
( )
( ) ( )*21886
142
24
2




≤+−−
++−≤
mxxx
xxm
phương trình m = -x2 + 2x +4 là parabol có đỉnh S(1;5) như hình vẽ do đó các điểm 
M(x;y)thoả (1 ) là những điểm nằm trong parabol chứa miền thỏa (0;0) . 
Xét hàm số: 
 m = x4 -6x2 -8x+18 
mxđ: D = R 
Đạo hàm : 
 m/ = 4x3 -12x-8 = 4(x+1)2(x-2) 
 m/ = 0 


=
−=
⇔
2
1
x
x
 16 
bảng biến thiên . 
Hàm số đạt cực tiểu tại . 



−=
=
6
2
ct
ct
y
x
Điểm đặc biệt (1;5) ; (3;5) 
các điểm M(x;y) thoả mãn (*) là miền gạch chéo như hình vẽ . từ đồ thị ta thấy hệ có 
nghiệm khi đường thẳng y = m cắt miền gạch chéo, hay - 6 5≤≤ m 
Cho hệ : ( )*
4ax
0a2a4x)2a5(x
22
22



≤+
≤+++ 
a) tìm a để hệ có nghiệm. 
b) tìm a để hệ có nghiệm duy nhất. 
Giải : 
Hệ đã cho có thể viết lại . 
( ) ⇔* ( )( ) ( )*24ax
10)2a4x)(ax(
22



≤+
≤+++
 17 
Xét hệ toạ độ trực chuẩn oxa . 
Dễ nhận thấy A(-2;0) , B(- 2 ; 2 ) O1( 3
2
;
3
2
− ) , F(- 2 - 2 ) 
M(x;a) thỏa mãn (1) và (2) là những điểm nằm trong miền gạch sọc như hình vẽ, như 
vậy để hệ phương trình có nghiệm đường thẳng y =a phải cắt miền gạch sọc . 
Vậy theo ycbt thì 
a) hệ có nghiệm khi - 2 2≤≤ a 
b) hệ có nghiệm duy nhất khi a = - 2 hoặc a = -
3
2
 hoăc 
 a = 2 
Cho hệ : ( )*
0mx)1m(mx
02x3x2