Chuyên đề Ôn thi Tốt nghiệp THPT, Đại học môn Toán - Tiếp tuyến

2; 0) đến (C): y=x3-x-6.
5) Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(3; 0) đến (C): y=-x3+9x
6) Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(0;-1) đến (C): y=2x3+3x2-1.
7) Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(-1;2) đến (C): y=x3-3x2+2.
8) Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(-1;-2) đến (C): y=x3-3x2+2.
9) Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(-1;2) đến (C): y=x3-3x
10)Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(1;-1) đến (C): y=2x3+3x2-1.
11)Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(1;3) đến (C): y=3x-4x3.
12) Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(1;) đến (C):.
13) Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(-1;0) đến (C):.
14) Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(1;0) đến (C):.
3. Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc
1) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=x3-3x2 , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: .
2) Cho (C): y=x3-3x+7.
a) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng:y=6x-1
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: .
c) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng: y=2x+3 một góc 450.
3) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=-x3+3x biết tiếp tuyến song song với đường thẳng: y=-9x+1.
4) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=x3-3x2 +2, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: 5y-3x+4=0.
5) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=x3-3x2+2, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: .
6) Cho đồ thị (C): y=2x3-3x2- 12x- 5.
a) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng:y=6x-4
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: .
c) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng: một góc 450.
7) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C):
a) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) có hệ số góc k=-2.
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tạo với chiều dương Ox một góc 600.
c) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tạo với chiều dương Ox một góc 150.
d)Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tạo với Ox một góc 750.
e)Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: y=-x+2
f) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: y= 2x-3.
g) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tạo với đường thẳng y=3x+7 một góc 450.
h) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tạo với đường thẳng một góc 300.
8) Cho đồ thị (C): . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y=2x-1
9) Viết phương trình tiếp tuyến của (C): song song với đường thẳng y=-x.
II. Các dạng toán liên quan đến tiếp tuyến
1. Các dạng toán liên quan đến bài toán cơ bản 1
 Dạng 1: Cho hàm số y= ax3+ bx2+cx+ d (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M cắt (C) tại một điểm.
1) Cho A(x0;y0) thuộc đồ thị (C): y=x3-3x+1. Tiếp tuyến với (C)tại A cắt đồ thị tại điểm B khác A.Tìm tọa độ điểm B.
2) Giả sử ba điểm A, B, C thẳng hàng và cùng thuộc đồ thị (C) y=x3- 3x-2. Các tiếp tuyến của (C) tại A, B, C cắt đồ thị (C) tại các điểm A1, B1, C1. Chứng minh rằng A1, B1, C1 thẳng hàng.
3) Giả sử ba điểm A, B, C thẳng hàng và cùng thuộc đồ thị (C) y=ax3+ bx2 +cx+d. Các tiếp tuyến của (C) tại A, B, C cắt đồ thị (C) tại các điểm A1, B1, C1. Chứng minh rằng A1, B1, C1 thẳng hàng
 Dạng 2: Cho hàm số y=ax4 +bx2+ c (C). Gọi (d) là tiếp tuyến bất kỳ của (C) tại M.
 1) Tìm M để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt P, Q khác M.
 2) Gọi I là một điểm liên quan đến P, Q. Tìm quỹ tích điểm I
1) Cho (C): 
a) Gọi (t) là tiếp của (C) tại M với xM=a. CMR: Hoành độ các giao điểm của (t) với (C) là nghiệm của phương trình: (x-a)2(x2+2ax+3a2-6)=0
b) Tìm a để (t) cắt (C) tại P, Q phân biệt khác M. Tìm quỹ tích trung điểm I của PQ.
2) Cho (C): y=x4-2x2. Gọi (d) là tiếp tuyến bất kỳ của (C) tại M thuộc (C). Tìm M để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt P, Q khác M khi đó tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác OPQ
 Dạng 3: Cho (H): hoặc . Gọi d1, d2 là hai tiệm cân của (H), d là
 tiếp tuyến bất kỳ của (H) tại M.A,B là giao điểm của d với d1,d2 và I là giao điểm của d1 và d2.
 1) CMR: M là trung điểm của A, B
 2) CMR diện tích tam giác IAB= const.
 3) Tìm M sao cho chu vi tam giác IAB nhỏ nhất.
1) Cho (C): và điểm M thuộc (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A,B.
a) CMR: M là trung điểm của A, B
b) CMR diện tích tam giác IAB= const.
c) Tìm M sao cho chu vi tam giác IAB nhỏ nhất.
2) Cho (C): và điểm M thuộc (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A,B.
a) CMR: M là trung điểm của A, B
b) CMR diện tích tam giác IAB= const.
c) Tìm M sao cho chu vi tam giác IAB nhỏ nhất.
3) Cho (C): và điểm M thuộc (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A,B.
a) CMR: M là trung điểm của A, B
b) CMR diện tích tam giác IAB= const.
c) Tìm M sao cho chu vi tam giác IAB nhỏ nhất.
4) Cho (C): và điểm M thuộc (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A,B.
a) CMR: M là trung điểm của A, B
b) CMR diện tích tam giác IAB= const.
c) Tìm M sao cho chu vi tam giác IAB nhỏ nhất.
2. Các bài toán liên quan đến bài toán 2
Dạng 1: Cho hàm số y= ax3+ bx2+cx+ d (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao cho từ M kẻ đượ p tiếp
 tuyến đến (C).
1) Cho (C): y=x3-3x2+2. Có bao nhiêu tiếp tuyến đi qua M nằm trên đồ thị (C).
2) Cho (C): y=x3+ ax2+bx+c. Tìm các điểm M thuộc (C) để kẻ đúng được một tiếp tuyến đến đồ thị.
Dạng 2: Cho hàm số y= ax3+ bx2+cx+ d (C) và đường thẳng d: . Tìm M thuộc d sao 
 cho từ M kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc nhau.
1) Cho (C): y=x3-3x2+2. 
Tìm trên đường thẳng y=-2 các điểm kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc nhau.
2) Cho (C): y=x3-12x+12. 
Tìm trên đường thẳng: y=-4 các điểm có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C).
3) Cho (C): y=x3-6x2+9x-1. Từ một điểm bất kỳ thuộc đường thẳng x=2 kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến (C).
4) Tìm tất cả các điểm trên trục hoành mà từ đó kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị (C):y=x3+3x2 trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc nhau.
5) Cho (C): y=-x3+3x2-2. 
Tìm trên đường thẳng: y=2 các điểm có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C).
6) Cho (C): y=x3-3x. 
Tìm trên đường thẳng: x=2 các điểm có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C).
7) Cho (C): y=x3-3x. 
Tìm trên đường thẳng: y=2 các điểm có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C).
Dạng 3: Cho (H): hoặc và d: . Tìm M thuộc (d) sao
 cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến tạo với nhau một góc 
1) Tìm trên đường thẳng x=1 các điểm kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc nhau đến (C): .
2) Cho (C): . 
Tìm trên đường thẳng y=4 các điểm kẻ được hai tiếp tuyến tạo với nhau một góc 450.
3) Cho (C): . 
Tìm trên đường thẳng y=7 các điểm kẻ được hai tiếp tuyến tạo với nhau một góc 450
4) Cho (C): . Tìm các điểm A thuộc Ox kẻ được đúng một tiếp tuyến đến đồ thị.
5) Cho (C): . Tìm các điểm A thuộc Oy kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị.
6) Cho (C): . Tìm các điểm A thuộc Ox kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị.
7) Cho (C): . Tìm các điểm A thuộc Oy kẻ được ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thị (C).
Dạng 4: Cho (H): hoặc . Tìm quỹ tích các điểm trong mặt phẳng
 tọa độ mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc nhau đến (H)
1)Cho (C): . Tìm quỹ tích các điểm trên mặt phẳng tọa độ kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc nhau đến (C)
2)Cho (C): . Tìm quỹ tích các điểm trên mặt phẳng tọa độ kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc nhau đến (C)
3)Cho (C): . Tìm quỹ tích các điểm trên mặt phẳng tọa độ kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc nhau đến (C)
3. Các dạng toán liên quan đến hệ số góc
Dạng 1: Cho (C): y= f(x) và đường thẳng d: . Tìm điều kiện để d cắt (C) tại hai 
 điểm A, B phân biệt sao cho tiếp tuyến của (C) tại A, B vuông góc nhau.
1. Cho (Cm) :y=f(x)= x3+ 3x2 +mx +1
a. Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y=1 tai ba điểm phân biệt C(0; 1), D, E.
b. Tìm m để các tiếp tuyến của (Cm) tại D, E vuông góc nhau.
2. Cho (Cm) :y=f(x)= x3+ mx2 +1
a. Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y=-x+1 tai ba điểm phân biệt C(0; 1), D, E.
b. Tìm m để các tiếp tuyến của (Cm) tại D, E vuông góc nhau
3. Cho hàm số (C): y= x3- 3x.
a. CMR: Đường thẳng dm: y= m(x+ 1)+ 2 luôn cắt đồ thị (C) tại A cố định.
b. Tìm m để dm cắt (C) tại A, B, C phân biệt sao cho các tiếp tuyến tại B, C vuông góc với nhau
4. Cho (C):y=-x4+2mx2-2m+1. Tìm m để các tiếp tuyến với đồ thị tại A(1;0), B(-1; 0) vuông góc nhau.
5) Cho (Cm): .
a) CMR: Nếu (Cm) cắt trục hoành tại x=x0 thì tiếp tuyến của (Cm) tại điểm có hoành độ x0 có hệ số góc là .
b) Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và tiếp tuyến tại hai điểm đó vuông góc nhau.
Dạng 2: Cho hàm số y= f(x) (C). Tìm M thuộc (C) sao cho:
1) Tiếp tuyến của (C) tại M song song với đường thẳng d: .
2) Tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng d: .
3) Tiếp tuyến của (C) tại M tạo với đường thẳng d: một góc 
4) Tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc nhỏ nhất hoặc lớn nhất.
1. Tìm các điểm trên đồ thị (C): mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thằng (NN-2001).
2) Cho (C): y=x3+3x2-9x+5. Tìm tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.
3) Cho (C): . Tìm tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.
4) Cho (C): y=x3+3x2-9x+3. CMR: trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị (C), tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất.
5) Cho (C): y=ax3+bx2+cx+d. CMR: trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị (C), tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất nếu a> 0 và lớn nhất nếu a< 0.
6) Tìm M thuộc (C): y=2x3+3x2-12x-1 sao cho tiếp tuyến của (C) tại M đi qua gốc tọa độ.
7) Tìm điểm M thuộc (C): để tiếp tuyến của (C) tại M cắt Ox, Oy tại A, B sao cho tam giác OAB vuông cân.
Dạng 3: Cho hàm số y= f(x), (C).
 1. CMR: Tồn tại vô số các cặp điểm trên (C) mà tại đó tiếp tuyến của (C) song song với nhau.
 2. CMR: Tồn tại vô số các cặp điểm trên (C) mà tại đó tiếp tuyến của (C) vuông góc với nhau.
1) Cho (C): y=x3+3x2+3x+5.
a) CMR :Không