Ôn thi Đại học môn Toán năm 2010 - Chủ đề: Sự tương giao của hai đồ thị

Bài Toán: “ Tìm số điểm chung của hai đường (C): y=f(x) và (C’): y=g(x)”
Giải: Rõ ràng một điểm chung M0(x0;y0) của (C) và (C’) là nghiệm của hệ phương trình và ngược lại mỗi nhiệm của hệ phương trình cho ta tọa độ của một điểm chung của (C) và (C’) 
	Từ đó người ta gọi phương trình f(x)=g(x) (1) là phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’) 
Loại toán này thường gặp dưới các dạng sau:
Dạng 1. “ Biện luận số giao điểm của hai đồ thị (C): y=f(x) và (C’): y=g(x)”.Ta làm theo các bước sau: 
Bước 1: Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm f(x)=g(x) (1) 
Bước 2: Giải và biện luận (1), từ đó đưa ra kết luận.
* Chú ý: Khi thực hiện bước 2 các em cần nhớ lại kiến thức về phương trình đại số, phương trình chứa dấu trị tuyệt đối, phương trình vô tỷ, phương trình lượng giác, phương trình mũ và logarit, 
Ví dụ 1. Tìm số điểm chung của hai đường 
Giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm 
Tóm lại có 3 điểm chung là (1;-2), (2;2), (-2;-2)
+ Nhận xét: Khi lập phương trình hoành độ giao điểm thường gặp phương trình có bậc 3,4,  có một nghiệm đặc biệt do đó kỉ năng nhẩm nghiệm này là cần thiết.
Ví dụ 2. Chứng minh đồ thị hàm số luôn cắt đường thẳng d: y=m-x tại hai điểm với mọi giá trị m.
Giải: Lập phương trình hoành độ giao điểm: 
Xét phương trình (2), ta có: và . Tức là (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt khác -1. Suy ra (1) luôn có hai nghiệm với mọi m.
Vậy (C)luôn cắt d tại hai điểm với mọi m
+ Nhận xét: PT ax2+bx+c=0 ,có hai nghiệm phân biệt khác x0 khi và chỉ khi 
Ví dụ 3. Với giá trị nào của m để đường thẳng y=m cắt đường cong tại 4 điểm phân biệt.
Giải: Lập phương trình hoành độ giao điểm: 
Đặt t=x2 , ĐK: . Ta có phương trình t2-t-3-m=0 (2)
Phương trình (1) có 4 nghiệm khi (2) có hai nghiệm phân biệt dương hay 
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
1. Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số 
	a) y=x3+3x2+1 và y=2x+5	b) với y=
	c) y=3x3-7x2+1 và y=x2+2x-3	d) y=x4-4x3-x2+6x-11 và y=-10x+1
2. Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số sau với truc hoành 
a) 	b)	c)
3. Biện luận theo m số giao điểm của hai đồ thị hàm số và d: y=mx+m
4. Chứng minh đồ thị hàm số luôn cắt đường thẳng y=x-m tại hai điểm phân biệt với mọi m
Dạng 2. “ Biện luận bằng đồ thị số nghiệm của phương trình F(x,m)=0 (1)”. Ta làm theo các bước sau: 
	Bước 1. Đua phương trình (1) về dạng f(x)=g(m) (2)
	Bước 2. Vẽ đồ thị hàm số (C): y=f(x) và d: y=g(m). ( Thường (C) dã vẽ ở trên và d song song với trục Ox)
	Bước 3. Dựa vào số giao điểm của (C) và d kết luận số nghiệm của phương trình (1)
Ví dụ. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C): y=x3-3x+1
 b) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình sau:
	1/ x3-3x+1=m	2/x3-3x+m=0	3/ x3-3x-m2-2m-1=0	4/ 
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
1. Cho hàm số (C): y= 4x3-3x-1
	a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
	b) Tìm các giá trị của m để phương trình 4x3-3x+m =0 có 2 nghiệm.
2. Cho hàm số y=(x+1)2(x-1)2 có đồ thị (C)
	a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
	b) Tìm m để phương trình x4-2x2+m=0 có 4 nghiệm phân biệt.
3. Cho hàm số 
	a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (H).
	b) Dựa vào đồ thị (H) giải bất phương trình 
Dạng 2. “ Biện luận bằng đồ thị số nghiệm của phương trình F(x,m)=0 (1)”. Ta làm theo các bước sau: 
	Bước 1. Đua phương trình (1) về dạng f(x)=g(m) (2)
	Bước 2. Vẽ đồ thị hàm số (C): y=f(x) và d: y=g(m). ( Thường (C) dã vẽ ở trên và d song song với trục Ox)
	Bước 3. Dựa vào số giao điểm của (C) và d kết luận số nghiệm của phương trình (1)
Ví dụ. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C): y=x3-3x+1
 b) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình sau:
	1/ x3-3x+1=m	2/x3-3x+m=0	3/ x3-3x-m2-2m-1=0	4/ 
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
1. Cho hàm số (C): y= 4x3-3x-1
	a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
	b) Tìm các giá trị của m để phương trình 4x3-3x+m =0 có 2 nghiệm.
2. Cho hàm số y=(x+1)2(x-1)2 có đồ thị (C)
	a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
	b) Tìm m để phương trình x4-2x2+m=0 có 4 nghiệm phân biệt.
3. Cho hàm số 
	a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (H).
	b) Dựa vào đồ thị (H) giải bất phương trình 
Dạng 3. “ Tìm điều kiện của tham số để hai đồ thị (C): y=f(x) và (C’): y=g(x) cắt nhau tại k giao điểm”.Ta làm theo các bước sau: 
Bước 1: Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm f(x)=g(x) (1) 
Bước 2: Tìm điều kiện để phương trình (1) có k nghiệm
BÀI TẬP
1. Cho hàm số và đường thẳng d: y=ax+3. Xác định a để đường thẳng d không cắt (C) 
2. Cho hàm số . Xác định k để đường thẳng d: y=kx+1 cắt (C) tại 2 điểm phân biệt.
3. Cho hàm số (C): y=x3+3x2+1 và đường thẳng d đi qua điểm A(-3;1) và có hệ số góc k. Xác định các giá trị của k để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt.
4. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại đúng một điểm.
5. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt.
Dạng 3. “ Tìm điều kiện của tham số để hai đồ thị (C): y=f(x) và (C’): y=g(x) cắt nhau tại k giao điểm”.Ta làm theo các bước sau: 
Bước 1: Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm f(x)=g(x) (1) 
Bước 2: Tìm điều kiện để phương trình (1) có k nghiệm
BÀI TẬP
1. Cho hàm số và đường thẳng d: y=ax+3. Xác định a để đường thẳng d không cắt (C) 
2. Cho hàm số . Xác định k để đường thẳng d: y=kx+1 cắt (C) tại 2 điểm phân biệt.
3. Cho hàm số (C): y=x3+3x2+1 và đường thẳng d đi qua điểm A(-3;1) và có hệ số góc k. Xác định các giá trị của k để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt.
4. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại đúng một điểm.
5. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt.
Dạng 3. “ Tìm điều kiện của tham số để hai đồ thị (C): y=f(x) và (C’): y=g(x) cắt nhau tại k giao điểm”.Ta làm theo các bước sau: 
Bước 1: Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm f(x)=g(x) (1) 
Bước 2: Tìm điều kiện để phương trình (1) có k nghiệm
BÀI TẬP
1. Cho hàm số và đường thẳng d: y=ax+3. Xác định a để đường thẳng d không cắt (C) 
2. Cho hàm số . Xác định k để đường thẳng d: y=kx+1 cắt (C) tại 2 điểm phân biệt.
3. Cho hàm số (C): y=x3+3x2+1 và đường thẳng d đi qua điểm A(-3;1) và có hệ số góc k. Xác định các giá trị của k để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt.
4. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại đúng một điểm.
5. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt.
Dạng 4. “Tìm điều kiện của tham số để hai đồ thị (C): y=f(x) và (C’): y=g(x) cắt nhau tại k giao điểm thõa tính chất T nào đó ”.Ta làm theo các bước sau: 
Bước 1: Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm f(x)=g(x) (1) 
Bước 2: Xét kĩ tính chất giao điểm khéo léo đưa về xét tính chất nghiệm của phương trình (1).
Các kết quả dùng ở bước 2 là định lí Vi-et : Nếu phương trình bậchai có hai nghiệm x1,x2 thì . Hoặc phương pháp hàm số 
BÀI TẬP
Cho hàm số . Tìm các giá trị của m để đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệtthõa hệ thức
Cho hàm số . Tìm m để đường thẳng y=mx+2-m cắt (1) tại hai điểm cùng thuộc một nhánh của đồ thị
Cho hàm số . Tìm m để đường thẳng y=2x+m cắt (C) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1,x2 sao cho đạt giá trị nhỏ nhất
Cho hàm số và (d): y=m. Tìm m để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho
Cho hàm số . Tìm để đường thẳng y=-x-4 cắt (C) tại hai điểm đối xứng nhau qua phân giác góc phần tư thứ nhất
Cho hàm số 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m=0
Tìm m để (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1,x2,x3 thõa 
Cho hàm số .
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
Chứng minh đường thẳng d đi qua điểm A(0;a) và có hệ số góc bằng 1 luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt B,C. Tìm giá trị nhỏ nhất của BC?
Cho hàm số . Tìm m để đường thẳng y=2x+m cắt (C) tại hai điểm A,B sao cho AB ngắn nhất?
Cho hàm số vad điểm.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
Viết phương trình đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B nhận M làm trung điểm.
Cho hàm số 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
Tìm trên (C) hai điểm phân biệt M,N đối xứng nhau qua trục tung
Cho hàm số . a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
Tìm m để đường thẳng y=-x+m cắt (C) tại hai điểm phân biệt . Khi đó chứng minh 2 giao điểm đều thuộc một nhánh của đồ thị.
Dạng 5. “ Tìm điều kiện để hai đồ thị tiếp xúc nhau”
Phương pháp : Hai đồ thị (C): y=f(x) và (C’): y=g(x) tiếp xúc nhau khi vad chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm . Khi đó nghiệm của hệ là tọa độ của tiếp điểm.
BÀI TẬP
1.Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành. Khi đó tìm tọa độ tiếp điểm.
2.Cho hàm số (C):. Tìm b để (P): y=2x2+b tiếp xúc với (C).
3. Cho hàm số . Tìm a để (P):y=x2+a tiếp xúc với (C)
4. Cho hai hàm số . Tìm m để hai đồ thị tiếp xúc nhau.
5. Cho hàm số (C):. Tìm a để (C) tiếp xúc với parabol (P): y=ax2-3.
Dạng 5. “ Tìm điều kiện để hai đồ thị tiếp xúc nhau”
Phương pháp : Hai đồ thị (C): y=f(x) và (C’): y=g(x) tiếp xúc nhau khi vad chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm . Khi đó nghiệm của hệ là tọa độ của tiếp điểm.
BÀI TẬP
1.Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành. Khi đó tìm tọa độ tiếp điểm.
2.Cho hàm số (C):. Tìm b để (P): y=2x2+b tiếp xúc với (C).
3. Cho hàm số . Tìm a để (P):y=x2+a tiếp xúc với (C)
4. Cho hai hàm số . Tìm m để hai đồ thị tiếp xúc nhau.
5. Cho hàm số (C):. Tìm a để (C) tiếp xúc với parabol (P): y=ax2-3.
Dạng 5. “ Tìm điều kiện để hai đồ thị tiếp xúc nhau”
Phương pháp : Hai đồ thị (C): y=f(x) và (C’): y=g(x) tiếp xúc nhau khi vad chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm . Khi đó nghiệm của hệ là tọa độ của tiếp điểm.
BÀI TẬP
1.Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành. Khi đó tìm tọa độ tiếp điểm.
2.Cho hàm số (C):. Tìm b để (P): y=2x2+b tiếp xúc với (C).
3. Cho hàm số . Tìm a để (P):y=x2+a tiếp xúc với (C)
4. Cho hai hàm số . Tìm m để hai đồ thị tiếp xúc nhau.
5. Cho hàm số (C):. Tìm a để (C) tiếp xúc với parabol (P): y=ax2-3.