Phương pháp tích phân từng phần - Nguyễn Thanh Trung

Phương pháp tích phân từng phần 
GV:Nguyễn Thanh Trung Page 1 1/30/2010 
PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 
I.Cơng thức tính tích phân từng phần: 
Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số cĩ đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b]. 
 Thì 
bb b
udv uv vdu
a aa
   
 Đặt 
Ta chọn C=0 suy ra 
b
v(x)dx V(x)
a
 
Ví dụ 1: 
Tính 
Đặt 
Ví dụ 2: 
Tính 
Đặt 
u=x du=dx
dv=cosxdx V=sinx
 
 
 
Ví dụ 3: 
Tính 
Đặt 
2
dxdu=u=lnx
dv=2xdx
V=x

 
 
 
x 
Ví dụ 4: 
Tính 
1 2 xx e dx
0

 
Đặt 
2 du 2xdxu x
xx V edv e dx

   
  
 
 
du=u'(x)dxu=u(x)
v= v(x)dx=V(x)+Cdv=v(x)

 
 
1 xx.e dx
0

x x
 u=x du=dx
 dv=e dx V=e
 
 
 
π
2
0
xcosxdx.
e
2xlnxdx
1

Phương pháp tích phân từng phần 
GV:Nguyễn Thanh Trung Page 2 1/30/2010 
II Các dạng cơ bản: Dựa vào các ví dụ trên ,ta suy ra cách đặt như bảng sau 
 Hàm số f(x) Đặt u(x) Đặt d(v(x)) 
 P(x)sin(ax+b) P(x) Sin(ax+b)dx 
 P(x)cos(ax+b) P(x) Cos(ax+b)dx 
 P(x)ln(ax+b) Ln(ax+b) P(x)dx 
 P(x)eax+b P(x) eax+bdx 
 eax+bsin(a’x+b’) eax+b(hoặcsin(a’x+b’)) Sin(a’x+b)dx 
 eax+bcos(a’x+b’) eax+b(hoặc cos(a’x+b)) Cos(a’x+b’)dx 
Dùng tích phân hai lần với u=eax+b 
Bài tập: 
1. Tính các tích phân sau: 
a) 
2
0
(x 1)sin xdx

 b)
2
0
(x 1)cosxdx

 c) 
e
2
1
x ln xdx 
d) 
1
0
ln(1 x)dx e) 
1
2 x
0
(x 2x 1)e dx  f) 
31
2
0
(3x 1) dx 
2. Tính các tích phân sau: 
a) 
1
32
2
0
(x 1) dx
x 1


 b) 
2
2
1
ln(1 x) dx
x

 c) 
1
5
0
x(1 x) dx 
d)
1
3x
0
xe dx e) 
6
0
(2 x)s in3xdx

 f) 
2
2
0
x sin xdx

 
3. Tính các tích phân sau: 
a) 
e
1
lnxdx b) 
5
2
2x ln(x 1)dx c) 
e
2
1
(lnx) dx 
Phương pháp tích phân từng phần 
GV:Nguyễn Thanh Trung Page 3 1/30/2010 
d) cosx
0
(e x)sin xdx

 e) 
2
4
0
sin xdx

 f)
2
x
0
e sin xdx

 
 4. Tính các tích phân sau: 
a) 
e
1
cos(lnx)dx

 b) 
2
2
1
1x ln(1 )dx
x
 c) 
3
0
sinx ln(cosx)dx

 
d) 
3
2
e
e
ln(lnx) dx
x e) 
2
2
1
x log xdx f) 2
0
xsin xcos xdx

 . 
5. Tính các tích phân sau: 
 a) 
3
2
3
xsin xdx
cos x



 b).
2
3
x sin x dx
1 cosx



 c) 
1 2 x
3
0
(x 1)e dx
(x 1)


 d) 
22 sin x 3
0
e sin xcos xdx

 e) 
2e
e
1 dx
lnx f
4
2
0
ln(cosx) dx
cos x

 
6. Tính các tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần sau 
 a ) 
1
2
0
1 dx
x 1
 b) 
1
2
0
x 1dx c) 
2
4
0
xsin xdx

