Chuyên đề: Phép biến đổi đồ thị, tâm đối xứng, trục đối xứng - Ôn thi Tốt nghiệp và Đại học

Phép biến đổi đồ thị , tâm đối xứng , trục đối xứng
Phép tịnh tiến đồ thị :
Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) , cho trước điểm I(a,b) . Phép tịnh tiến hệ trục tọa độ (Oxy) theo véc tơ có biểu thức tọa độ : x=X+a,y=Y+b ta được hệ trục tọa độ mới (IXY) 
Với đồ thị (C) có phương trình y=f(x) trong (Oxy) tương ứng phương trình Y+b=f(X+a) trong mặt phẳng (IXY) 
VD1 : Với điểm I(1,2) và (C) y= ,Viết biểu thức tọa độ phép tịnh tiến hệ trục tọa độ theo véc tơ , Xác định phương trình (C) trong (IXY) 
Giải :
Thực hiện tịnh tiến hệ trục tọa độ : x=X+1 , y=Y+2 (1)
Đồ thị (C) : y = =2 +(2)
Thay (1) vào (2) ta có : Y+2=2+ ó Y=
Tâm đối xứng của đồ thị : 
 Nhận xét : Đồ thị của hàm số Y=f(X) là hàm số lẻ nhận I(X=0,Y=0) làm tâm đối xứng 
VD2 : Chứng minh rằng đồ thị của hàm số y=x3-3x2 nhận I(1,-2) là tâm đối xứng 
Giải : Thực hiện tịnh tiến hệ trục tọa độ : x=X+1, y=Y-2
 Phương trình của (C) trở thành : Y-2 =(X+1)3-3(X+1)2
Y=X3-3X
 Ta có Y=X3-3X là hàm số lẻ => I(X=0,Y=0) là tâm đối xứng 
I(x=1,y=-2) là tâm đối xứng ( đpcm)
VD3 : Chứng minh I(1,2) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số y=
 Giải :
Thực hiện tịnh tiến hệ trục tọa độ : x=X+1 , y=Y+2 (1)
Đồ thị (C) : y = =2 +(2)
Thay (1) vào (2) ta có : Y+2=2+ ó Y=
Y= là hàm số lẻ => I(1,2) là tâm đối xứng của (C)
Lưu ý : 
Đồ thị hàm số y=ax3+bx2+cx+d nhận điểm I(x0,y(x0)) , y’’(x0)=0 làm tâm đối xứng 
Đồ thị hàm số hữu tỷ b1/b1, b2/b1 nhận giao điểm của hai tiệm cận làm tâm đối xứng 
3. Trục đối xứng 
Nhận xét : Đồ thị của hàm số Y=f(X) là hàm số chẵn nhận đường thẳng X=0 làm trục đối xứng 
VD 4 : Chứng minh rằng đồ thị hàm số y=x2+2x nhận đường thẳng x=-1 làm tâm đối xứng 
Giải : Thực hiện tịnh tiến hệ trục tọa độ : x=X-1 , y=Y (1)
 Thay (1) vào (C) y=x2+2x ta có : Y=(X-1)2+2(X-1)
 Y= X2-1 là hàm số chẵn 
Đường thẳng X=0 là trục đối xứng 
Đường thẳng x=-1 là tâm đối xứng (đpcm)
VD5 : Tìm các trục đối xứng của đồ thị (C) y=
Giải :
Thực hiện tịnh tiến hệ trục tọa độ : x=X+1 , y=Y+2 (1)
Đồ thị (C) : y = =2 +(2)
Thay (1) vào (2) ta có : Y+2=2+ ó Y=
Đồ thị (C) có hai trục đối xứng : Y=X, Y=-X
các trục đối xứng cần tìm là : y=x+1, y=-x+3
Nhận xét : Đồ thị Y= có hai trục đối xứng : Y=X,Y=-X