Trọng tâm kiến thức Hàm số mũ - Hàm số logarit

nghịch biến) 
 3. Định lý 3: Với a > 1 thì : aM < aN ⇔ M < N (đồng biến ) 
 4. Định lý 4: Với 0 0;N > 0 thì : loga M = loga N ⇔ M = N 
 5. Định lý 5: Với 0 N (nghịch biến) 
 6. Định lý 6: Với a > 1 thì : loga M < loga N ⇔ M < N (đồng biến) 
f(x)=ln(x)/ln(1/2)
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x
y
 y=log2x 
x
y
x
y
f(x)=ln(x)/ln(2)
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x
y
xy
2
1log=
1O 1O
 32
III. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG: 
 1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : aM = aN (đồng cơ số) 
 Ví dụ : Giải các phương trình sau : 
 1) x 1 2x 19 27+ += 
 2) 
2x 3x 22 4− + = 
 2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số 
 Ví dụ : Giải các phương trình sau : 
 1) 2x 8 x 53 4.3 27 0+ +− + = 2) x x x6.9 13.6 6.4 0− + = 3) x x( 2 3 ) ( 2 3 ) 4− + + = 
 4) 322
222 =− −+− xxxx 5) 027.21812.48.3 =−−+ xxxx 6) 07.714.92.2 22 =+− xxx 
 Bài tập rèn luyện: 
 1) 4)32()32( =−++ xx ( 1±x ) 
 2) xxx 27.2188 =+ (x=0) 
 3) 13250125 +=+ xxx (x=0) 
 4) 1221025 +=+ xxx (x=0) 
 5) x x( 3 8 ) ( 3 8 ) 6+ + − = ( )2±=x 
 6) xxx 8.21227 =+ (x=0) 
 3 Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B=0,.. 
 Ví dụ : Giải phương trình sau : 
 1) 8.3x + 3.2x = 24 + 6x 2) 0422.42 2
22 =+−− −+ xxxxx 
IV. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG: 
1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a alog M log N= (đồng cơ số) 
 Ví dụ : Giải các phương trình sau : 
1) 22 1
2
1log log (x x 1)
x
= − − 
2) [ ]2log x(x 1) 1− = 
3) 2 2log x log (x 1) 1+ − = 
2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số. 
 Ví dụ : Giải các phương trình sau : 
 1) 2
2 2
6 4 3
log 2x log x
+ = 2) 051loglog 2323 =−++ xx 
 33
3 Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B=0,.. 
 Ví dụ : Giải phương trình sau : log x 2. log x 2 log x. log x7 72 2+ = + 
V. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG: 
 1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : aM ≥ ) 
 Ví dụ : Giải các bất phương trình sau : 
3 6x
4x 11
2x 6x 8
1) 2 1
12) 2
2
−
− −
+ +
>
⎛ ⎞ >⎜ ⎟⎝ ⎠
 2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số. 
 Ví dụ : Giải các bất phương trình sau : 
x x
2x 1 x
1) 9 2.3 3
2) 5 5 4+
< +
> + 
VI. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG: 
 1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a alog M log N ≥ ) 
 Ví dụ : Giải các bất phương trình sau : 
 1) 22 2log (x x 2) log (x 3)+ − > + 
 2) 20,5 0,5log (4x 11) log (x 6x 8)+ < + + 
 3) 21 3
3
log (x 6x 5) 2 log (2 x) 0− + + − ≥ 
 2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số 
 Ví dụ : Giải bất phương trình sau : 
 22 2log x log x 2 0+ − ≤ 
 34
VII. HỆ PHƯƠNG TRÌNH: 
 Ví dụ : Giải các hệ phương trình 
 1) 
2 3
9 3
x 1 2 y 1
3log (9x ) log y 3
⎧ − + − =⎪⎨ − =⎪⎩
 6) 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−+−
= −−
4)(log)(log
)
3
1()3(
22
2
yxyx
yxyx
 2) 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=−−
25
11log)(log
22
4
4
1
yx
y
xy
 7) 
y
3
3 4 x( x 1 1)3
x
y log x 1
⎧ −+ − =⎪⎨⎪ + =⎩
 3) 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
+
−=
+
y
yy
x
xx
x
22
24
452
1
23
 8) ⎪⎩
⎪⎨⎧ =+
=−
2)(log
11522.3
5 yx
yx
 4) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=
3
644.2
yx
yx
 9) x 4 y 3 0
log x log y 04 2
− + =
− =
⎧⎨⎩
 5) 
⎩⎨
⎧
=+
=+
4loglog2
5)(log
24
22
2
yx
yx
 35
BÀI TẬP RÈN LUYỆN 
Bài 1: Giải phương trình: ( ) ( ) ( )1 1 1
2 2 2
log x 1 log x 1 log 7 x 1 (1)− + + − − = 
Bài giải: 
Điều kiện: 
x 1 0 x 1
x 1 0 x 1 1 x 7
7 x 0 x 7
⎧ ⎧⎪ ⎪− > >⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪+ > ⇔ >− ⇔ <⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎩
Khi đĩ: 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
1 1 1
2 2 2
22
1 1
2 2
22
2 2
2
1 log x 1 log x 1 log 7 x 1
1 log x 1 log 7 x
2
1 x 1 7 x
2
 2x 1 49 14x x
 x 14x 50 0
x 3
x 17
⇔ − + + − − =
⎡ ⎤⇔ − = −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
⇔ − = −
⇔ − = − +
⇔ + − =
⎡ =⎢⇔ ⎢ = −⎢⎣
So với điều kiện ta cĩ nghiệm của pt(1) là x 3= 
Bài 2: Giải phương trình: ( ) ( ) ( )2 3 31 1 1
4 4 4
3 log x 2 3 log 4 x +log x 6 (1)
2
+ − = − + 
Bài giải: 
Điều kiện: 
x 2 0 x 2
6 x 4
4 x 0 x 4
x 2
x 6 0 x 6
⎧ ⎧⎪ ⎪+ ≠ ≠ −⎪ ⎪ ⎧− ⇔ >−⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎩
Khi đĩ: 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )[ ]
( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
1 1 1
4 4 4
1 1 1
4 4 4
1 1
4 4
2
2
1 3 log x 2 3 3 log 4 x 3 log x 6
 log x 2 1 log 4 x log x 6
 log 4 x 2 log 4 x x 6
 4 x 2 4 x x 6
x 2 x 84 x 2 4 x x 6 x 6x 16 0
4 x 2 4 x x 6 x 1 33x 2x 32 0
⇔ + − = − + +
⇔ + − = − + +
⇔ + = − +
⇔ + = − +
⎡ ⎡ = ∨ = −⎡ + = − + + − =⎢ ⎢⎢⇔ ⇔ ⇔⎢ ⎢⎢ + = − − + = ±− − =⎢ ⎢⎢⎣ ⎣⎣
So với điều kiện ta cĩ nghiệm của pt(1) là x 2 x 1 33= ∨ = − 
 36
Bài 3: Giải phương trình: ( ) ( )2 12 4
2
log x 2 3 log x 5 log 8 2 (1)+ − + − − = 
Bài giải: 
Điều kiện: 
x 2 0 x 2
x 5x 5 0
⎧ + > ⎧ > −⎪ ⎪⎪ ⎪⇔⎨ ⎨ ≠− ≠⎪ ⎪⎪ ⎪⎩⎩
Khi đĩ: 
( ) ( )
( )[ ]
( )
( )( )
( )( )
2 2 2
2 2
2
2
1 log x 2 log x 5 log 8
 log x 2 x 5 log 8
 x 2 x 5 8
x 5x 5x 5
x 3 x 6x 2 x 5 8 x 3x 18 0
 2 x 52 x 5 2 x 5
3 17x 2 5 x 8 x 3x 2 0 x
2
⇔ + + − =
⇔ + − =
⇔ + − =
>⎧⎪⎡ >⎡ ⎧>⎧ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎪⎢ ⎨⎨⎨ = − ∨ =⎪⎢⎢ ⎪⎪⎪ + − = − − = ⎩⎢⎢ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎩⎢⎢⇔ ⇔ ⇔ ⎧− < <⎢⎢⎧ ⎧− < < − < <⎪ ⎪⎢⎢⎪ ⎪⎨ ⎢⎨⎢ ±⎪ ⎪+ − = − − =⎢ =⎢⎪ ⎪⎪⎩ ⎪⎣ ⎩⎣
x 6
3 17x
2
⎡⎢⎢ ⎡ =⎢ ⎢⎢ ⎢⇔⎢ ±⎪ ⎢⎪⎢ =⎪ ⎢⎪⎢ ⎣⎨⎢⎪⎪⎢⎪⎪⎩⎣
Vậy nghiệm của phương trình (1) là 
x 6
3 17x
2
⎡ =⎢⎢ ±⎢ =⎢⎣
Bài 4: Giải phương trình: 12 2
2
log x 2 log x 5 log 8 0− + + + = (1) 
Bài giải: 
Điều kiện: 
x 2 0 x 2
x 5x 5 0
⎧ − ≠ ⎧ ≠⎪ ⎪⎪ ⎪⇔⎨ ⎨ ≠ −+ ≠⎪ ⎪⎪ ⎪⎩⎩
Khi đĩ: 
( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
2 2
2
2
1 log x 2 x 5 log 8
 x 2 x 5 8
x 3 x 6x 2 x 5 8 x 3x 18 0
 3 17x 2 x 5 8 x 3x 2 0 x
2
⇔ − + =
⇔ − + =
⎡ = − ∨ =⎡⎡ − + = + − = ⎢⎢⎢ ⎢⇔ ⇔ ⇔⎢⎢ ±⎢− + = − − + =⎢ =⎢ ⎢⎣ ⎣ ⎣
So với điều kiện ta cĩ nghiệm của pt(1) là 
x 3 x 6
3 17x
2
⎡ = − ∨ =⎢⎢ ±⎢ =⎢⎣
 37
Bài 5: Giải phương trình: ( )4 2
2x 1
1 1log x 1 log x 2
log 4 2+
− + = + + (1) 
Bài giải: 
Điều kiện: 
x 1x 1 0
12x 1 0 x
2 x 1
2x 1 1 x 0
x 2 0 x 2
⎧ >⎪⎧ − > ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ + > ⎪ > −⎪ ⎪⎪ ⇔ ⇔ >⎨ ⎨⎪ ⎪+ ≠⎪ ⎪ ≠⎪ ⎪⎪ ⎪+ >⎪ ⎪ > −⎪ ⎪⎩ ⎪⎩
Khi đĩ: 
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )[ ] ( )[ ]
( )( ) ( )
2 2 2
2 2
2
1 1 1 11 log x 1 log 2x 1 log x 2
2 2 2 2
 log x 1 2x 1 log 2 x 2
 x 1 2x 1 2 x 2
x 1
 2x 3x 5 0 5x
2
⇔ − + + = + +
⇔ − + = +
⇔ − + = +
⎡ = −⎢⎢⇔ − − = ⇔ ⎢ =⎢⎣
So với điều kiện ta cĩ nghiệm của pt(1) là 5x
2
= 
Bài 6: Giải phương trình: 
2
2 2 2log 2x log 6 log 4x4 x 2.3− = (1) 
Bài giải: 
Điều kiện: x 0> 
Khi đĩ: ( )
2
22 2 2 2 2 2 1 log xlog 2x log 6 log 4x 1 log x log 64 x 2.3 4 x 2.3 ++− = ⇔ − = 
Đặt t2t log x x 2= ⇒ = , phương trình (2) trở thành: 
 38
( ) ( ) ( )2 2 tlog 6 2 1 t1 t t t log 6 t
2t t
t t t
2t t
4 2 2.3 4.4 2 18.9
3 3 4.4 6 18.9 4 18
2 2
3 3 18 4 0
2 2
++ − = ⇔ − =
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎜⇔ − = ⇔ − =⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎜⇔ + − =⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
t
t
3 4
2 9 t 2
3 1 (loai)
2 2
⎡⎛ ⎞⎟⎢⎜ =⎟⎜ ⎟⎢⎝ ⎠⎢⇔ ⇔ =−⎢⎛ ⎞⎢ ⎟⎜ = −⎟⎜ ⎟⎢⎝ ⎠⎣
Với t 2= − ta được nghiệm của phương trình (1) là : 1x
4
= 
Bài 7: Giải phương trình: ( )3 9x
3
42 log x .log 3 1
1 log x
− − =− (1) 
Bài giải: 
Điều kiện: 
3
x 0x 0
19x 1 x
9
log x 1 x 3
>⎧⎪⎧⎪ ⎪>⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ≠ ⇔ ≠⎨ ⎨⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪≠⎪ ⎪ ≠⎪⎩ ⎪⎩
Khi đĩ: 
 ( ) ( )
3 3
3 3 3 3
2 log x 4 2 log x 41 1 1 (2)
log 9x 1 log x 2 log x 1 log x
− −⇔ − = ⇔ − =− + − 
Đặt 3t log x (t 2; t 1)= ≠ − ≠ , phương trình (2) trở thành: 
 2
t 12 t 4 1 t 3t 4 0
t 42 t 1 t
⎡ = −− ⎢− = ⇔ − − = ⇔ ⎢ =+ − ⎢⎣
• Với t 1=− ta được pt : 3 1log x 1 x 3=− ⇔ = 
• Với t 4= ta được pt : 3log x 4 x 81= ⇔ = 
So với điều kiện ta được nghiệm của pt(1) là 1x ; x 81
3
= = 
Bài 8: Giải phương trình: ( ) ( )x x+13 3log 3 - 1 .log 3 - 3 = 6 (1) 
Bài giải: 
Điều kiện: − > ⇔ > ⇔ >x x3 1 0 3 1 x 0 
Khi đĩ: ( ) ( ) ( )⇔ + − =⎡ ⎤⎣ ⎦x x3 31 log 3 - 1 . 1 log 3 1 6 
 39
Đặt: ( )= −x3t log 3 1 , pt trở thành: ( )
=⎡+ = ⇔ + − = ⇔ ⎢ = −⎢⎣
2
t 2
t t 1 6 t t 6 0
t 3
• Với = −t 3 : ( )− = − ⇔ − = ⇔ = ⇔ =x x x3 31 28 28log 3 1 3 3 1 3 x log27 27 27 
• Với =t 2 : ( )− = ⇔ − = ⇔ = ⇔ =x x x3 3log 3 1 2 3 1 9 3 10 x log 10 
Các nghiệm tìm được thỏa điều kiện. 
Vậy pt(1) cĩ hai nghiệm là = =3 328x log ; x log 1027 
Bài 9: Giải phương trình: =x 7log 7x .log x 1 (1) 
Bài giải: 
Điều kiện: 
>⎧⎪⎨ ≠⎪⎩
x 0
x 1
Khi đĩ: ( ) ( ) ⎛ ⎞⇔ = ⇔ + =⎜ ⎟⎝ ⎠x 7 77
1 1 11 log 7x .log x 1 1 .log x 1
2 2 log x
Đặt = 7t log x , pt trở thành: 
>⎧ >⎧⎪ ⎪⎛ ⎞+ = ⇔ ⇔ ⇔ =⎨ ⎨⎜ ⎟ ⎛ ⎞ + − =⎝ ⎠ + =⎜ ⎟ ⎪⎪ ⎩⎝ ⎠⎩
22
t 0 t 01 11 .t 1 t 11 1 t t 2 02 t 1 .t 1
2 t
• Với =t 1 : = ⇔ =7log x 1 x 7 (thỏa điều kiện) 
Vậy pt(1) cĩ nghiệm là =x 7 
Bài 10: Giải phương trình: ( ) ( )− ++ − + − =222x 1 x 1log 2x x 1 log 2x 1 4 (1) 
Bài giải: 
Điều kiện: 
⎧ ⎪⎧ + − > ⎪⎪ ⎪ >− >⎪ ⎧⎪ >⎪ ⎪ ⎪− ≠ ⇔ ≠ ⇔⎨ ⎨ ⎨ ≠⎪ ⎪ ⎪⎩+ > > −⎪ ⎪⎪ ⎪ ≠+ ≠⎩ ⎪⎪⎩
2
1x 1 x
22x x 1 0
1x2x 1 0 12 x
22x 1 1 x 1
x 1x 1 0 x 1
x 0x 1 1
Khi đĩ: 
( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )
− +
−
−
⇔ − + + − =
⇔ + + + =+
2x 1 x 1
2x 1
2x 1
1 log 2x 1 x 1 2 log 2x 1 4
1 1 log x 1 2 4
log x 1
 40
Đặt ( )−= +2x 1t log x 1 , pt trở thành: 
=⎡+ = ⇔ − + = ⇔ ⎢ =⎢⎣
2
t 12t 3 t 3t 2 0
t 2t
• Với =t 1 : ( )− + = ⇔ + = − ⇔ =2x 1log x 1 1 x 1 2x 1 x 2 (thỏa điều kiện) 
• Với =t 2 : ( ) ( )−
=⎡⎢+ = ⇔ + = − ⇔ − = ⇔ ⎢ =⎢⎣
2 2
2x 1
x 0 (loai)
log x 1 2 x 1 2x 1 4x 5x 0 5x
4
Vậy pt(1) cĩ tập nghiệm là { }= 5S 2; 4 
Bài 11: Giải bất phương trình: − + ≥
2
1
2
x 3x 2log 0
x
 (1) 
Bài giải: 
Điều kiện: 
 ⇔ ⎢ >⎢⎣
2 0 x 1x 3x 2 0
x 2x
Khi đĩ: 
( ) − +⇔ ≥
− +⇔ ≤
− +⇔ ≤
<⎡⇔ ⎢ − ≤ ≤ +⎢⎣
2
1 1
2 2
2
2
x 3x 21 log log 1
x
x 3x 2 1
x
x 4x 2 0
x
x 0
2 2 x 2 2
So với điều kiện ta được nghiệm của bpt(