Đề thi HSG môn Toán lớp 12 tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2009-2010

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
—————————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2009-2010
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh THPT)
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
————————————
Câu 1. Cho hàm số
2
( 1)
log ( 2)
m x m
y
mx m
    ( m là tham số thực). Tìm tất cả các giá trị
của m để hàm số xác định với mọi 1x  .
Câu 2. Giải phương trình: 22 3 1 3 2 2 5 3 16 ( )x x x x x x R        
Câu 3. Giải hệ phương trình:
3 2
3 2
1 2( )
 ( , )
1 2( )
x x x y
x y R
y y y x
         
Câu 4. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. Hai điểm M, N lần lượt di chuyển trên
cạnh AD và DC sao cho ,AM x CN y  với 0 1; 0 1x y    và 045 MBN (kí
hiệu  là góc).
a) Chứng minh rằng 1  x y xy .
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác BMN.
Câu 5. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ sau có nghiệm thực:
2
2
2
4 2 2
4 5( 2)
8 16 16 32 16 0
x
x
x
x x mx m m
         
Câu 6. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
5 4 1
5 4 2 1 6
a aP
a a
      
 trong đó a là tham số thực và 51
4
a   .
-------------------------Hết-----------------------------
Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: SBD: