Tổng hợp kiến thức Phương trình, bất phương trình logarit, hệ bất phương trình mũ, logarit

 195
BÀI 2. 
PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH 
LOGARIT. HỆ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT 
PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LOGARIT 
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ. 
A. PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT: 
Đặt điều kiện cho log f(x) là: 
0 a 1
f(x) 0
⎩
1. Dạng cơ bản: b
0 a 1
log f(x) b
f(x) a
< ≠⎧⎪= ⇔ ⎨ =⎪⎩
2. Đưa về cùng cơ số: 
Biến đổi phương trình về dạng: a alog f(x) log g(x) (*)= 
Ta có: 
0 a 1
(*)
f(x) g(x) 0
⎩
3. Đặt ẩn số phụ: 
Đặt t = log x để đưa phương trình logarit về phương trình đại số 
đối với t. 
4. Đoán nhận nghiệm và chứng minh nghiệm đó là duy nhất. 
B. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT. 
Ta có thể dùng các phương pháp biến đổi như đối với phương trình 
logarit và sử dụng các công thức sau: 
. Nếu a > 1 thì: a alog f(x) log g(x) f(x) > g(x) > 0> ⇔ 
a alog f(x) log g(x) f(x) g(x) > 0≥ ⇔ ≥ 
. Nếu 0 ⇔ < 
a alog f(x) log g(x) 0 f(x) g(x)≥ ⇔ < ≤ 
Tổng quát ta có: 
[ ]
a a
a 0
log f(x) log g(x) f(x) 0,g(x) 0
(a 1) f(x) g(x) 0
⎧ >⎪> ⇔ > >⎨⎪ − − >⎩
 196
[ ]
a a
0 a 1
log f(x) log g(x) f(x) 0, g(x) 0
(a 1) f(x) g(x) 0
⎧ >⎨⎪ − − ≥⎩
II. CÁC VÍ DỤ: 
Ví dụ 1: 
Tìm tất cả m để phương trình: m m( 2 x) ( 2 x) 2 2+ + − = là hệ 
quả của phương trình: 
3
2
2
log (9 x ) 3
log (3 x)
− =− (1) 
(ĐH Bách Khoa TPHCM năm 1994) 
Giải 
Điều kiện 
3
3
9 x 0
x 93 x 0
x 2x 2
⎧ − > ⎧⎪ ⇔⎨ ⎨ ≠⎪⎪ ⎩≠⎩
3 3 2(1) 9 x (3 x) 9x 27x 18 0⇔ − = − ⇔ − + = x 1⇔ = 
Thế x = 1 vào phương trình: m m( 2 x) ( 2 x) 2 2+ + − = 
ta được: m m( 2 x) ( 2 x) 2 2+ + − = (2) 
Đặt 
m
2t ( 2 1)= + ( )( 2 1)( 2 1) 1+ − = 
21(2) t 2 2 t 2 2t 1 0
t
⇔ + = ⇔ − + = t 2 1
t 2 1
⎡ = +⇔ ⎢ = −⎢⎣
m
2 mt 2 1: ( 2 1) 2 1 1 m 2
2
= + + = + ⇔ = ⇔ = 
m
12 1t 2 1: ( 2 1) 2 1 ( 2 1)
2 1
−= − + = − = = ++
m 1 m 2
2
⇔ = − ⇔ = − 
Vậy m 2 m 2= ∨ = − 
 197
Ví dụ 2: 
Giải bất phương trình: 
2
2
2
log (x 9x 8) 2
log (3 x)
− + <− (*) 
(ĐH Tổng hợp TPHCM năm 1964) 
Giải 
Điều kiện 
2 x 1 x 8x 9x 8 0 x 1
x 33 x 0
⎧ ⎧− + >⎪ ⇔ ⇔ ⎪ ⎩⎩
23 x 2 1 log (3 x) 0⇒ − > > ⇒ − > 
2 2
2 2 2(*) log (x 9x 8) 2 log (3 x) log (3 x)⇔ − + < − = − 
2 2 1x 9x 8 (3 x) 3x 1 0 x
3
⇔ − + ⇔ > − 
So với điều kiện 1 x 1
3
⇒− < < 
Ví dụ 3: 
Giải bất phương trình: x
1log x 2
4
⎛ ⎞− ≥⎜ ⎟⎝ ⎠ 
(ĐH Huế năm 1998) 
Giải 
Điều kiện 
0 x 1 1x
41x 0 x 14
⎪ ⎪⇔⎨ ⎨− >⎪ ⎪ ≠⎩ ⎩
2
x x x
1 1log x 2 log x log x
4 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ≥ ⇔ − ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
2 2
1x ,x 1 1x ,x 14 4
1(x 1) x x 0 (x 1)(4x 4x 1) 04
⎧ > ≠ ⎧⎪ > ≠⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨⎛ ⎞⎪ ⎪− − − ≥ − − + ≤⎜ ⎟ ⎩⎪ ⎝ ⎠⎩
2
1x ,x 1 1 1x ,x 1 x4
4 41(x 1) x x 0 x 1 0 x 1
4
⎧ > ≠ ⎧ ⎧⎪ > ≠ >⎪ ⎪ ⎪⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨⎛ ⎞⎪ ⎪ ⎪− − − ≤ − ≤ <⎩ ⎩⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩
1 x 1
4
⇔ < < 
 198
Ví dụ 4: 
Giải hệ phương trình: 
2 2
1 x 1 y
1 x 1 y
log 1 2y y ) log (1 2x x ) 4 (1)
log (1 2y) log (1 2x) 2 (2)
+ −
+ −
⎧ − + + + + =⎪⎨ + + + =⎪⎩
(ĐH Quốc Gia TPHCM năm 1997) 
Giải 
Điều kiện 
0,1 y 1 x 1
0 1 x 1 y 1
− ≠ > −⎧ ⎧⇔⎨ ⎨< + ≠ <⎩ ⎩
2 2
1 x 1 y(1) log (1 y) log (1 x) 4+ −⇔ − + + = 
1 x 1 ylog (1 y) log (1 x) 2 (3)+ −⇔ − + + = 
Đặt 1 x 1 y
1 x
1 1t log (1 y) , log (1 x)
log (1 y) t+ − +
= − + = =− 
21(3) t 2 t 2t 1 0
t
⇔ + = ⇔ − + = 
2(t 1) 0 t 1⇔ − = ⇔ = 
1 xlog (1 y) 1 1 y 1 x x y(x 1)+⇔ − = ⇔ − = + ⇔ = − > − 
Thay y = - x vào phương trình (2): 
1 x 1 xlog (1 2x) log (1 2x) 2+ +− + + = 
2 2 2
1 xlog (1 4x ) 1 4x (1 x) (x 0)+⇔ − =⇔ − = + ≠ 
2 2 25x 2x 0 5x 2 0 x y
5 5
⇔ + = ⇔ + = ⇔ = − ⇒ = 
Vậy nghiệm của hệ: 
2x
5
2y
5
⎧ = −⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩
 199
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ. 
2.1. Giải bất phương trình: x x2log (7.10 5.25 ) 2x 1− > + 
(ĐH Thủy Sản 1999). 
2.2. Giải hệ phương trình: 
x y
y x
3 3
4 32
log (x y) 1 log (x y)
+⎧⎪ =⎨⎪ − = − +⎩
(Học Viện Công nghệ bưu chính viễn thông 1999). 
2.3. Giải hệ phương trình: 
2 2
3 3
x y ( log y log x) (2 xy) (1) 
 x y 16 (2)
− = − +⎧⎪⎨ + =⎪⎩
(ĐH Ngoại Thương năm 1999). 
2.4. Giải bất phương trình: 
3
a
a
log (35 x ) 3
log (5 x)
− >− (a là tham số > 0, khác 1) 
(ĐH Y DƯỢC TPHCM) 
 200
HƯỚNG DẪN VÀ GIẢI TÓM TẮT 
2.1. 
x x
2log (7.10 5.25 ) 2x 1− > + 
x x 2x 1
2 2log (7.10 5.25 ) log 2
+⇔ − > 
x 2x 2x 1
2x x x 2x
7.10 5.5 2
5.5 7.2 .5 2.2 0
+⇔ − >
⇔ − + <
2x x5 55. 7 2 0
2 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ − + <⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (1) 
Đặt 
x5t 0
2
⎛ ⎞= >⎜ ⎟⎝ ⎠ 
2 2(1) 5t 7t 2 0 t 1
5
⇔ − + < ⇔ < < 
x 0 1 x 02 5 5 5 5 5
5 2 2 2 2 2
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ < < ⇔ < <⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
1 x 0⇔ − < < (vì 5a 1
2
= > ) 
2.2. 
x y
y x
3 3
4 32(I)
log (x y) 1 log (x y)
+⎧⎪ =⎨⎪ − = − +⎩
x y 5
y x 2
3 3 3 3
4 4
3log (x y) log 3 log (x y) log
x y
+⎧⎪ =⎪⇔ ⎨⎪ − = − + =⎪ +⎩
2 2
x y 5 x y 5 (1)y x 2 y x 2
3x y x y 3 (2)
x y
x y (3)
x y
⎧ ⎧+ =⎪ + =⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⇔ − = ⇔ − =⎨ ⎨+⎪ ⎪ >⎪ ⎪>⎪ ⎪⎩⎩
 201
Giải (∆): Đặt xt
y
= 
2
1t1 5(1) t 2t 5t 2 0 2
t 2 t 2
⎡ =⎢⇔ + = ⇔ − + = ⇔ ⎢ =⎢⎣
2 2 2
1 x 1t : y 2x
2 y 2
(2) x 4x 3 3x 3 VN
= ⇒ = ⇔ =
⇔ − = ⇔ − =
t = 2 x 2 x 2y
y
⇒ = ⇔ = 
2 2 2 y 1 x 2(2) 4y y 3 y 1
y 1 x 2 (loại)
= =⎡ ⎡⇔ − = ⇔ = ⇔ ⇒⎢ ⎢= − = − <⎣ ⎣
Vậy 
x 2
y 1
=⎧⎨ =⎩
 là nghiệm của hệ. 
2.3. 2 2
3 3
x y (log y log x)(2+xy) (1) 
(I)
x y 16 (2)
− = −⎧⎪⎨ + =⎪⎩
(1) có điều kiện: 
x 0
xy 2 0
y 0
>⎧ ⇒ + >⎨ >⎩
. Nếu x > y: (1) 
VT 0
(1) VN
VP 0
>⎧⇒ ⇒⎨ <⎩
. Nếu x < y: 
VT 0
(1) (1) VN
VP 0
⎩
Vậy x = y (từ (1)) 
Thế vào (2): 3 32x 16 x 8 x 2 y 2= ⇔ = ⇔ = ⇒ = 
(I)⇒ có nghiệm x 2
y 2
=⎧⎨ =⎩
 202
2.4. 
3
a
a
log (35 x ) 3
log (5 x)
− >− (*) (0 a 1)< ≠ 
Điều kiện 
3 3
3x 35 3,2735 x 0 x 35
x 55 x 0
⎧ ⎧ ⎪ ⎪⇔ ⇔ ⎪⎪ ⎩⎩
∼ 
(*) 
3
35 x
5 x
5 x a
log (35 x ) 5 x 1 3 log (35 x ) 3
log a.log (5 x)
− −
−
− ⇒ − >⇔ > ⇔ − >− 
3 3
3 2 3
2 3
35 x (5 x)
35 x 125 75x 15x x
x 5x 6 0 2 x 3 35
2 x 3
⇔ − > −
⇔ − > − + −
⇔ − + < ⇔ < < <
⇒ < <