Các dạng bài tập luyện thi Đại học về Số phức hay và khó

 Trang 1 
S
 PHuchoasacC – LUYN THI I HC 
CÁC PHÉP TOÁN TRÊN S
 PHuchoasacC 
Bài 1. Gọi 1 2z , z là hai nghiệm phức của phương trình: 2z 4z 20 0+ + = . 
Tính giá trị của biểu thức 2 21 2A z z= + và 
2 2
1 2
2 2
1 2
z zB
z z
+
=
+
. 
Bài 2. Gọi 1 2z , z là hai nghiệm phức của phương trình: 2z 2z 10 0+ + = . Tính giá trị của biểu 
 thức 2 21 2A z z= + . 
(Chính thức.khối A năm 2009) 
Bài 3. Gọi 1 2z , z là hai nghiệm phức của phương trình: ( )2z 1 i 2 z 2 3i 0− + + − = . Không giải 
phương trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau: 
1) 2 21 2A z z= + 2) 2 21 2 1 2B z z z z= + 
3) 3 31 2C z z= + 4) 3 31 2 1 2D z z z z= + 
5) 1 2
2 1
z zE
z z
= + 6) 1 2
2 1 1 2
1 2 1 2F z z
z z z z
   
= + + +   
   
Bài 4. Cho số phức z thỏa mãn: 2z 6z 13 0− + = . Tính 6z
z i
+
+
. 
Bài 5. Cho 1 2z , z C∈ , sao cho 1 2 1 1z z 3; z z 1+ = = = . Tính 1 2z z− . 
Bài 6. Cho số phức z là một nghiệm của phương trình: 2z z 1 0+ + = . Rút gọn biểu thức 
2 2 2 2
2 3 4
2 3 4
1 1 1 1P z z z z
z z z z
       
= + + + + + + +       
       
. 
TÌM S
 PHuchoasacC z THÕA IU KIN CHO TRuchoa	C 
Bài 1. Tìm số phức z thỏa mãn ñồng thời: z 1 1
z i
−
=
−
 và z 3i 1
z i
−
=
+
. 
Bài 2. Tìm số phức z thỏa mãn ñồng thời: ( )z 2 i 10− + = và z.z 25= . 
(Chính thức.khối B năm 2009) 
Bài 3. Tìm số phức z thỏa mãn ñồng thời: z 1= và ( )22z z 1+ = . 
Bài 4. Tìm số phức z thỏa mãn: 2z z= . 
 Trang 2 
Bài 5. Trong tất cả các số phức z thỏa mãn z 2 2i 1− + = , tìm số phức z sao cho z nhỏ nhất. 
GI
I PHuchoaNG TRÌNH – H PHuchoaNG TRÌNH 
TRÊN TP S
 PHuchoasacC 
Bài 1. Giải phương trình sau trên tập phức: 2 8 1 63 16 0− − + − =z ( i)z i . 
Bài 2. Giải phương trình sau trên tập số phức: 4 3 2z z 6z 8 16 0z− + − − = . 
Bài 3. 
1) Tìm các số thực a, b sao cho: z4 – 4z2 – 16z – 16 = (z2 – 2z – 4)(z2 + az + b), ∀ z ∈C. 
2) Giải phương trình: z4 – 4z2 – 16z – 16 = 0. 
Bài 4. Giải hệ phương trình sau trên tập số phức: 2 2
z w zw 8
z w 1
− − =

+ = −
. 
Bài 5. Giải phương trình sau trên tập số phức: 2 i 1 3iz
1 i 2 i
+ − +
=
− +
. 
TÌM TP H
P IM TRONG MT PHNG PHuchoasacC 
Bài 1. Tìm số thực k, ñể bình phương của số phức k 9iz
1 i
+
=
−
 là số thực. 
Bài 2. Tìm tất cả các số phức z sao cho z ' (z 2)(z i)= − + là số thực. 
Bài 3. Tìm tất cả các số phức z sao cho 1z
z
= . 
Bài 4. Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, tìm tập hợp ñiểm biểu diễn các số phức z thõa mãn ñiều 
 kiện ( )z 3 4i 2− − = . 
(Chính thức.khối D năm 2009) 
Bài 5. Xác ñịnh tập hợp các ñiểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thoả mãn ñiều kiện 
 sau: 
1) z k
z i
=
−
, k là 1 số thực dương. 
2) z 5= vµ z 7i
z 1
+
+
 lµ sè thùc. 
Bài 6. Tìm tập hợp các ñiểm biểu diễn trong mặt phẳng phức của số phức 1 3 2ω = + +( i )z 
 biết rằng số phức z thỏa mãn: 1 2− ≤z . 
 Trang 3 
Bài 7. Tìm các ñiểm biểu diễn số phức z sao cho 1z 2
z
+ = . 
CHuchoasacNG MINH 
Bài 1. Chứng minh nếu 1 2 1 2z z 1, z z 1= = ≠ thì 1 2
1 2
z z
1 z z
+
+
 là số thực. 
Bài 2. Cho số phức z 0≠ thỏa mãn 3 3
1
z 2
z
+ ≤ . Chứng minh rằng: 1z 2
z
+ ≤ . 
Bài 3. Chứng minh mọi số phức z, ta ñều có 1z 1
2
+ ≥ hoặc 2z 1 1+ ≥ . 
Bài 4. Cho A và B là hai ñiểm trong mặt phẳng phức lần lượt biểu diễn các số phức z1, z2 khác 
 không thỏa mãn 2 21 2 1 2z z z z+ = . Chứng minh rằng tam giác OAB ñều ( O là gốc tọa ñộ ). 
Bài 5. Xét các ñiểm A, B , C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức 4i
1 i−
; 
 ( )( )1 i 2 i− + ; 2 6i
3 i
+
−
. 
 1) Chứng minh ABC là tam giác vuông cân. 
 2) Tìm số phức biểu diễn bởi ñiểm D, sao cho ABCD là hình vuông. 
DNG Luchoa
NG GIÁC CuhoahoiA S
 PHuchoasacC 
Bài 1. Tìm phần thực và phần ảo của mổi số phức sau 
1) ( )( )
10
9
1 i
3 i
+
+
 . 
2) ( )75π πcos isin .i . 1 3i3 3 + +   . 
3) 2010 2010
1
z
z
+ nếu 
1
z 1
z
+ = . 
Bài 2. Tìm số nguyên dương n sao cho 
n
i33
i.33








−
−
1) là một số thực. 
2) là một số ảo. 
 Trang 4 
Bài 3. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 
n n
1 i 3 1 i 3 2
2 2
   
− + − −
+ =      
   
. 
Bài 4. Cho z = cosϕ + sinϕ. Hãy tìm n n n nz z ; z z , n Z+− + ∈ 
Bài 5. 
1) Cho z = cosϕ + sinϕ, chứng minh rằng ∀ n ∈Z+ ta có: 
n n
n n
1 1
z 2cosnφ ; z 2isinnφ 
z z
+ = − = 
 2) Chứng minh rằng: cos4ϕ = 1
8
(cos4ϕ + 4cos2ϕ + 3). 
 sin5ϕ = 1
16
(sin5ϕ – 5sin3ϕ + 10sinϕ). 
Bài 6. Viết dưới dạng lượng giác của các số phức 
1) ( ) [ ]1 cosφ isinφ . 1 cosφ isinφ− + + +   . 
2) ( )1 cosφ isinφ
1 cosφ isinφ
− +
+ +
. 
Bài 7. Cho 2π 2πα 3 cos i sin
3 3
 
= + 
 
. Tìm các số phức β sao cho 3β α.= 
Bài 8. Xét các số phức z thỏa mãn ñiều kiện: 2z 2 i 2 1− − = 
1) Tìm tập hợp các ñiểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn ñiều kiện ñã cho. 
2) Trong tất cả các số phức z thỏa ñiều kiện ñã cho, tìm số phức z có acgumen dương và 
nhỏ nhất. 
Bài 9. Tìm số phức z sao cho z i 1
z 3i
−
=
+
 và z 1+ có một acgument bằng π
6
− . 
********** HẾT ********** 
Biên soạn: Giáo viên HUỲNH ðỨC KHÁNH 0975120189