Tài liệu giúp học sinh 12 tốt vấn đề: Ứng dụng của tích phân - Lê Văn Hùng

ố đó.
b/ Tính diện tích của hình phẳng (màu đen ) ở Hình 15.
Hình 15
Giải 
a/ Vì y’ = -3x2 – 1 < 0 " xÎ (- ∞ ; + ∞)
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( - ∞ ; + ∞)
b/ Vì -x3 –x + 1 ≥ 0 " x Î [ - 1 ; 0 ]
 (đvdt)
Bài toán 16 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = xlnx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = e . Hình 16
Hình 16
Giải
Trục tung có phương trình x = 0
Diện tích S cần tìm là 
Đặt 
Do đó (đxdt)
Bài toán 17. Cho hàm số có đồ thị ( C ).
a/ Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị (C ) với trục hoành .
b/Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) và các đường thẳng y =0 , x = 0 , x = 3 .
Hình 17
Giải :a/ Ta có 
Đồ thị (C ) cắt trục hoành tại hai điểm có toạ độ lần lượt là ( - 2 ; 0) và ( 1 ; 0)
b/ Diện tích S cần tìm là 
 (đvdt)
Bài toán 18 . 
Tính diện tích hình phẳng sau,biết rằng đồ thị (C ) là đồ thị của hàm số y = e2x .
Hình 18
Giải :
 Hình phẳng trên được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = e2x , trục hoành y = 0 , trục tung x = 0 và đường thằng x = -1 . 
 Vì e2x > 0 với mọi x thuộc R nên e2x > 0 nên diện tích S của hình phẳng đã cho là :
 (đvdt)
Bài toán 19. 
Tính diện tích của hình phẳng sau , biết rằng đồ thị (C ) là đồ thị của hàm số 
Hình 19
Giải
 Hình phẳng trên được giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành , và hai đường thẳng x = 0 , x = 1 .
 Vì ≥ 0 với mọi 
 . Đặt u = 5x + 4 => du = 5dx 
Khi x = 0 => u = 4
Khi x =1 => u = 9
Do đó (đvdt)
Bài toán 20. Tính diện tích của hình phẳng sau đây :
Hình 20
Giải :
 Hình phẳng đã cho được giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 0 , x = 1 .
 (đvdt)
Bài toán 21 . 
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 3 
Hình 21
Giải
Ta có 
Vì và 
 (đvdt)
Bài toán 22 . Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành , và hai đường thẳng x = - 4 , x = 0.
Hình 22
Giải :
Diện tích S cần tìm là 
Ta có và 
Mà 
4/ Diện tích hình tròn , hình elip :
Diện tích hình tròn : Trong hệ toạ độ Oxy cho đường tròn có phương 
x2 + y2 = r2 ( r > 0) 
Khi đó hình tròn đó có diện tích là : 
Giải : Ta có 
Hình 23
Với y ≥ 0 ta có : có đồ thị là nửa đường tròn phía trên trục hoành.
 Và có diện tích 
 Do đó 
Diện tích của elip
Trong hệ toạ độ Oxy cho elíp có phương trình : , 
Hình 24 a
 Chứng minh tương tự ta có diện tích của elip là : (đvdt) 
Bài toán 23 . Cho hình phẳng sau . Biết rằng hình phẳng đó được giới hạn bởi parabol (P) : ; nửa elip ( E ) và trục tung .
Hình 24 b 
a/ Hãy viết phương trình của (E) .
b/ Tính diện tích của hình phẳng đó .
Giải : Nửa elíp (E) cắt trục hoành tại các điểm ( - 3 ; 0) và ( 3 ; 0) .
 (E ) cắt trục tia Oy tại điểm ( 0 ; 1) .
Suy ra (E ) có nửa trục lớn a = 3 , và nửa trục bé b = 1 .
Phương trình của nửa (E ) là : với y ≥ 0 hay (E ) : 
Gọi S1 là diện tích của hình phẳng giới hạn bửa nửa elip (E) , trục hoành , trục tung .
Ta có (đvdt)
Gọi S2 là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) , trục hoành và hai đường thẳng x = 0 ; x = 3 .
Ta có (đvdt)
Diện tích của hình phẳng cần tìm là (đvdt) 
Bài tập tương tự :
1/ Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau :
y = x2 , trục hoành và hai đường thẳng x = -2 , x = 1 
y = -x2 + 2 , y = 0 và hai đường thẳng x = - 1 ; x = 1 
y = ex , y = 0 , và hai đường thẳng x = 0 , x = 2
y = x2 – 4 và trục hoành .
y = x2 - 4x + 3 , y = 0 , x = 0 , x = 3
y = x3 - 4x , y = 0 , x = -2 , x = 1
y = x3 – 4x + 3 , y =0 , x = - 2 , x = 1
y = x3 – x2 – 4x + 4 , y =0 
y = x4 – 5x2 + 4 , y = 0 , trục tung và đường thẳng x = 2
2/ Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau :
a/ y = lnx , y = 0 , x = 1 , x = e
b/ y = ln(2x + 1) , y = 0 , x = 0 , x = e
c/ y =2x , y =1
d/ y = sinx , y = 0 , x = , 
II/ HÌNH PHẲNG ĐƯỢC GIỚI HẠN BỞI HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ 
1/ Cách tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số
Cho hai hàm số y = f(x) có đồ thị là (C) , y = g(x) có đồ thị là (C’ ).
 Nếu hai đồ thị (C ) và (C’) có điểm chung là điểm M(x0 ; y0) thì cặp số (x0 ; y0) là nghiệm của hệ phương trình (1)
 < Hoành độ x0 của điểm chung M là một nghiệm của phương trình (*)
 Giải phương tình (*) ta sẽ được hoành độ x0 của giao điểm của hai đồ thị.
 Phương trình (*)được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị.
 Thay x = x0 vào một trong hai phương trình của hệ (1) ta tìm được tung độ của giao điểm .
2/ Một vài ví dụ minh hoạ về cách tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số
Vd1: Tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số và 
Giải :
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là : 
Vậy hai đồ thị trên cắt nhau tại hai điểm phân biệt có toạ độ lần lượt là: 
(1 ; - 2) và (3 ; 0)
Vd 2: Tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y = xlnx và y = x
Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là : 
Vì x > 0 nên 
Vậy hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là x = e .
Vd3: Cho hai hàm số và 
Tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số đã cho.
Giải: Hoành độ giao điểm của hai đồ thị trên là nghiệm của phương trình :
Vậy hai đồ thị của hai hàm số đã cho cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là : 
3/ Công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số :
 Cho hai đồ thị của hai hàm số y = f(x) , y = g(x) và hai đường thẳng x = a , x =b (a<b)
 Hình phẳng giới hạn bởi bốn đường y = f(x) , y = g(x) và hai đường thẳng 
 x = a, x = b có diện tích S được tính theo công thức :
.
Bài toán 23 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = xlnx , y = x và hai đường thẳng x = 1 , x = e
Giải :
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là : 
Vì x > 0 nên 
Vậy hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là x = e .
Trên đoạn phương trình xlnx – x = 0 chỉ có một nghiệm x = e
Hình phẳng giới hạn bởi bốn đường y =xlnx , y = x và hai đường thẳng 
 x = 1, x = e có diện tích S được tính theo công thức :
Vì nên 
 (đvdt)
Bài toán 24 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số :
 , và hai đường thẳng x = 0 , x = 2 .
Giải: 
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị trên là nghiệm của phương trình :
 (đvdt)
Bài toán 25. 
Hình 25
Cho hàm số y = - x4 + 5x2 – 4 có đồ thị ở hình trên.
Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số đó với trục hoành.
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đã cho với trục hoành .
Giải : Xét phương trình : 
Đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại bốn điểm có toạ độ lần lượt là :
(-2 ;0) , (-1;0) , (1 ; 0) , (2 ; 0).
Diện tích hình phẳng cần tìm là : 
Từ hình đồ thị suy ra : và 
 =+ 
Bài toán 26. 
 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x2 -3x + 2 và đường thẳng y = x – 1 .
Hình 26
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = x2 -3x + 2 và đường thẳng 
y = x – 1 là : 
Suy ra diện tích của hình phẳng trên là : 
Cách 1 : Dựa vào đồ thị ta có x2 – 3x + 2 ≤ x – 1 " x Î [1 ; 3 ] .
Do đó x2 – 4x + 3 ≤ 0 " x Î [1 ; 3] 
 (đvdt)
Cách 2 : Xét dấu tam thức x2 - 4x + 3 ta có :
x
-∞ 1 3 + ∞
x2 – 4x + 3
 + 0 - 0 +
 Do đó x2 – 4x + 3 ≤ 0 " x Î [1 ; 3] 
Cách 3 : 
Bài toán 27 . Cho hình phẳng ở hình 25
a/ Viết phương trình của đường thẳng d .
b/ Tính diện tích của hình phẳng đó , biết rằng đồ thị (C ) có phương trình 
y = x3 – 3x + 2 .
Hình 27
Giải : a/ Phương trình của đường thẳng d có dạng y = ax + b.
Vì đường thẳng d đi qua hai điểm (- 2 ; 0) và ( 0 ;2) nên ta có :
 Vậy đường thẳng d : y = x + 2
b/ Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C ) và đường thẳng d là :
Diện tích của hình phẳng trên là : 
Áp dụng cách đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài ta có :
 (đvdt)
Bài toán 28. Cho hàm số y = x3 – 3x + 2 có đồ thị (C )
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) của hàm số đã cho .
b/ Viết phương trình tiếp tuyến D của đồ thị (C ) tại điểm có hoành độ bằng 2 .
c/ Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) , đường thẳng x = 1 và tiếp tuyến D .
Hinh 28
Giải : 
b/ y = x3 – 3x + 2 
Khi x = 2 ta có y(2) = 8 – 6 + 2 = 4
 y’ = 3x2 - 3
y’(2) = 12 – 3 = 9
Phương trình tiếp tuyến của (C ) tại điểm (2 ; 4 ) là y = 9(x -2) + 4 hay y = 9x - 14
c/ Diện tích của hình phẳng cần tìm là :
Bài toán 29
Hình phẳng sau được giới hạn bởi đồ thị (C ) : và đường thẳng y = x 
Hãy tính diện tích của hình phẳng đó .
Hình 29
 Giải :
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là : 
Diện tích của hình phẳng đã cho là :
 , 
Đặt u = 3x2 + 4 => du = 6xdx
Khi x = 0 => u = 4
Khi x = -2 => u =16
Tương tự ta có 
 (đvdt)
Bài toán 30 . Cho hàm số có đồ thị (C )
a/ Tìm tiệm cận xiên D của đồ thị hàm số đó .
b/ Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) , tiệm cận xiên D và các đường thẳng x = 2 , x = 3 .
Hình 30
Giải :
a/ Ta có 
Đồ thị (C ) có tiệm cận xiên là đường thẳng y = x 
b/Diện tích của hình phẳng cần tìm là : 
 (đvdt) 
Bài tập tương tự :
Bài 1 .Hình phẳng sau được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = , và các đường thẳng 
 y = 2 , y = -2x – 4 (Hình 29).Tính diện tích của hình phẳng đó.
Hình 31
Bài 2 .Tính diện tích của hình phẳng sau :
(D)
(d)
Hình 32
Biết rằng (C ) là đồ thị của hàm số ; đường thẳng d đi qua hai điểm (4 ;0) và ( 0 ; - 4) ; đường thẳng D là tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1
Bài 3. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y = , trục hoành , và hai đường thẳng x = 0 ; x = 2
Thể diện tích của hình phẳng (H) .
Bài 4. 
Hình phẳng sau được giới hạn bởi các đường y = 2x2 - 3x + 2 , y = 0 , x = - 1 , x = 2
Tính diện tích của hình phẳng đó.
Hình 33
Bài 5. Cho hình phẳng sau được giới hạn bởi parabol (P) và trục hoành.Biết rằng (P) đi qua ba điểm (0 , 0) ; (2 , 0) và (2 , 4).
Hình 34
a/ Viết phương trình của parabol (P).
b/ Tính diện tích của hình phẳng đã cho .
Bài 6. Cho hình phẳng (H) được giới hạn bởi hai đường parabol (P) và đường thẳng (d) như hình vẽ sau :
Hình 35
Biết rằng parabol (P) đi qua gốc toạ độ O(0,0) và điểm (2; -4) ; đường thẳng (d) đi qua hai điểm 
(2 ; -4 ) và (-2 ; 0).
a/ Viết phươn