SKKN Sử dụng sơ đồ đoạn thẳng để dạy học sinh lớp 4,5 giải các bài toán có lời văn

g toán này, trước hết giáo viên cần hướng dẫn học sinh xác định đâu là tổng và đâu là hiệu số? Nhìn chung, những bài toán trong sách lớp 4 đều cho biết tổng và hiệu hai số cần tìm, nhưng cũng có những bài chưa cho biết trực tiếp tổng và hiệu của hai số cần tìm mà thông qua một đại lượng trung gian đòi hỏi học sinh phải tìm. Khi giáo viên hướng dẫn học sinh, cần lưu ý cách biểu thị số lớn, số bé, biểu thị tổng, hiệu tránh trường hợp học sinh vẽ sơ đồ quá rườm rà không làm rõ được yếu tố cơ bản.
Bài toán: Một lớp học có 28 học sinh. Số học sinh trai hơn số học sinh gái là 4 em. Hỏi lớp học đó có bao nhiêu học sinh trai, bao nhiêu học sinh gái? 
 (Bài tập 2 trang 47- Toán 4 - NXBGD)
Yêu cầu học sinh đọc kĩ đề bài, hiểu được:
+ Phần đã cho: Tổng và hiệu số học sinh trai và học sinh gái của lớp học.
+ Phần cần tìm: Số học sinh trai và học sinh gái.
Để nhận ra mối quan hệ giữa hai phần, ta tóm tắt bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng: 
 ?HS
v Cách 1: HS trai: 
 4HS 28HS 	
 HS gái:	
? HS
Bài giải:
Hai lần số học sinh gái là:
28 – 4 = 24 (học sinh)
Số học sinh gái là:
24 : 2 = 12 (học sinh)
Số học sinh trai là:
 28 – 12 = 16 (học sinh)
Đáp số: 12 học sinh gái;
 16 học sinh trai. 
 ?HS
v Cách 2: HS trai: 
 4HS 28HS 
 HS gái:	 
?HS
Bài giải:
Hai lần số học sinh trai là:
28 + 4 = 32 (học sinh)
Số học sinh trai là:
32 : 2 = 16 (học sinh)
Số học sinh gái là:
 28 – 16 = 12 (học sinh)
Đáp số: 12 học sinh gái;
 16 học sinh trai. 
Để phát triển tư duy của học sinh giáo viên có thể hướng dẫn học sinh giải theo các cách khác ngoài hai cách đã trình bày trên. 
 ?HS
v Cách 3: HS trai: 
 4HS 28HS 
 HS gái:	 
?HS
Bài làm:
Nửa hiệu của học sinh trai và học sinh gái là:
4 : 2 = 2 (học sinh)
Nửa tổng của học sinh trai và học sinh gái là:
28 : 2 = 14 (học sinh)
Số học sinh gái là:
14 - 2 = 12 (học sinh)
Số học sinh trai là:
28 – 12 = 16 (học sinh)
 Đáp số: 16 học sinh trai;
 12 học sinh gái. 
 Khi làm bài học sinh thường làm theo cách 1 hoặc cách 2 giống SGK đã trình bày, nhưng khi giải giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh cách suy luận tìm nhiều cách giải khác nhau để tăng khả năng tư duy cho học sinh và sau đó học sinh chọn cách giải ngắn gọn, dễ hiểu hơn. 
1.3. Phương pháp giải toán “Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của chúng”
- Dạng toán “Tìm hai số khi biết tổng và tỉ của chúng” có liên quan đến tỉ số là một vấn đề tương đối trừu tượng đối với học sinh tiểu học. Chính vì vậy, trước khi cho học sinh giải dạng toán này giáo viên cần hình thành cho học sinh khái niệm vững chắc về tỉ số. Để đạt được điều đó, sau khi cung cấp khái niệm về tỉ số giáo viên phải đưa ra những ví dụ phù hợp với cách suy nghĩ của học sinh và yêu cầu học sinh tự tìm ra những ví dụ.
- Ở chương trình toán 4 hiện nay chúng ta cần hiểu biết:
 w Tổng và tỉ của hai số phải tìm có thể là số tự nhiên, phân số, các dạng số đo đại lượng.
 w Tỉ số của hai số có thể được nêu dưới những dạng thức sau:
 + Số này gấp số kia mấy lần.
 + Số này bằng mấy phần số kia.
+ Thương của hai số phải tìm hoặc thương của hai số có liên quan đến các số phải tìm.
+ Phân số được coi là thương của số chia và số bị chia.
+ Tỉ số của hai số.
w Các bước chủ yếu của việc giải bài toán này:
+ Xác định tổng của hai số phải tìm (hoặc tổng của hai số có liên quan đến các số phải tìm).
+ Xác định tỉ số của hai số phải tìm (hoặc tỉ của hai số có liên quan đến các số phải tìm). Biểu thị từng số đó thành các phần bằng nhau tương ứng.
+ Thực hiện phép chia tổng của hai số phải tìm cho tổng các phần biểu thị của tỉ số để tìm một giá trị của phần đó.
+ Tìm mỗi số theo số phần đã được biểu thị.
w Có nhiều phương pháp để giải loại toán này, nhưng ở đây chúng tôi chỉ đề cập đến phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng và nếu có dùng phương pháp khác thì để so sánh với phương pháp giải dùng sơ đồ đoạn thẳng, từ đó cho chúng ta thấy được vai trò quan trọng của việc giải toán bằng sơ đồ đoạn thẳng.
Bài toán1: Một hình chữ nhật có chu vi là 350m, chiều rộng bằng chiều dài. Tìm chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật đó. 
(Bài 4 trang 148 – Toán 4 - NXBGD)
* HD Phân tích bài toán:
* Hướng dẫn bài toán:
 Vì chu vi của hình chữ nhật là 350m nên tổng chiều dài và chiểu rộng bằng chu vi chia cho 2: 350 : 2 = 175 (m)
Tỉ số giữa chiểu rộng và chiểu dài là .
Tổng số phần bằng nhau là :
3 + 4 = 7 (phần)
Vì thế một phần bằng 175 : 7 = 25 (m)
Bài giải cụ thể:
Nửa chu vi hình chữ nhật là:
350 : 2 = 175 (m)
 Ta có sơ đồ: ? m
 Chiều rộng: 	
 175 m
 Chiều dài: 
 ? m
Theo sơ đồ, tổng số phần phần bằng nhau là:
3 + 4 = 7 (phần)
Chiều rộng hình chữ nhật là:
175 : 7 3 = 75 (m)
Chiều dài hình chữ nhật là:
175 – 75 = 100 (m)
 Đáp số: Chiều rộng: 75m;
 Chiều dài: 100m. 
Thử lại : (75 + 100) 2 = 350
 = 
Bài toán2: Tuổi bà, mẹ và Lan cộng lại bằng 100. Biết Lan bấy nhiêu ngày thì mẹ bấy nhiêu tuần. Lan có bấy nhiêu tháng thì bà có bấy nhiêu năm. Tính tuổi mỗi người? 
(Tuyển chọn các bài toán có lời văn – NXBTH TPHCM)
* Phân tích bài toán:
+ Phần đã cho biết: 
- Tổng : 100 tuổi.
+ Phần cần phải tìm:
Số tuổi của mỗi người?
Nhưng tỉ số tuổi của mỗi người đang ẩn nên chúng ta cần lí luận để tìm được tỉ số.
Bài giải cụ thể:
- Vì 1 tuần lễ có 7 ngày nên tuổi mẹ gấp 7 lần luổi Lan.
- Cứ 1 năm có 12 tháng nên tuổi bà gấp 12 lần luổi Lan.
Đến đây, ta có sơ đồ:
100 tuổi
Tuổi Lan:
Tuổi mẹ:	
Tuổi bà:
Tổng số phần bằng nhau là:
1 + 7 + 12 = 20 (phần)
 Tuổi Lan là:
100 : 20 x 1 = 5 (tuổi)
Tuổi mẹ là:
100 : 20 x 7 = 35 (tuổi)
 Tuổi bà là:
100 : 20 x 12 = 60 (tuổi)
 Đáp số: Lan: 5 tuổi; Mẹ: 35 tuổi; Bà: 60 tuổi.
Qua bài toán trên chúng ta có thể khẳng định rằng vai trò của phương pháp giải toán dùng sơ đồ đoạn thẳng là phương pháp đặc biệt quan trọng trong giải toán tiểu học. Nhờ có sơ đồ đoạn thẳng mà các khái niệm và quan hệ trừu tượng của số học như các phép tính và các quan hệ trực quan hơn.
1.4. Phương pháp giải toán “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ của chúng”
- Ở chương trình toán 4 hiệu số và tỉ số của hai số phải tìm có thể là số tự nhiên, phân số, các dạng số đo đại lượng.
 w Tỉ số của hai số có thể được nêu dưới những dạng thức sau:
 + Số này gấp mấy lần số kia.
 + Số này bằng mấy phần số kia.
+ Thương của hai số phải tìm hoặc thương của hai số có liên quan đến các số phải tìm.
+ Phân số được coi là thương của số chia và số bị chia.
+ Tỉ số của hai số.
w Các bước chủ yếu của việc giải bài toán này:
+ Xác định hiệu của hai số phải tìm (hoặc hiệu của hai số có liên quan đến các số phải tìm).
+ Xác định tỉ số của hai số phải tìm (hoặc tỉ số của hai số có liên quan đến các số phải tìm). Biểu thị từng số đó thành số các phần bằng nhau tương ứng.
+ Thực hiện phép chia hiệu của hai số phải tìm cho hiệu các phần biểu thị của tỉ số để tìm một giá trị của 1 phần đó.
+ Tìm mỗi số theo số phần đã được biểu thị.
w Để khẳng định vai trò của phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng để giải loại toán này chúng ta đi vào bài toán cụ thể sau:
Bài toán: Số thứ nhất kém số thứ hai là 123. Tỉ số của hai số đó là . Tìm hai số đó. (Bài 1 trang 151 – Toán 4 - NXBGD).
Bài giải cụ thể:
Ta có sơ đồ: ?
 Số thứ nhất: 123
 Số thứ hai:
 ?
Theo sơ đồ, hiệu số phần phần bằng nhau là:
5 – 2 = 3 (phần)
Số thứ nhất là: 
123 : 3 x 2 = 82 
Số thứ hai là: 
123 + 82 = 205
 Đáp số: Số thứ nhất : 82;
 Số thứ hai: 205. 
* Nhận xét: Qua phương pháp giải này chúng ta thấy phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng dễ hiểu hơn nhiều so với phương pháp không dùng sơ đồ đoạn thẳng.
2. Vận dụng vào giải các bài toán khó ở lớp 4;5 dành cho HS năng khiếu tham gia các cuộc giao lưu tri thức
2.1. Bài toán tính tuổi sử dụng kĩ năng vẽ sơ đồ ngược
Một số bài toán tính tuổi có các dữ liệu ở 2 thời điểm khác nhau về tỉ lệ tuổi của hai người ta cần sử dụng cách vẽ sơ đồ ngược để tìm ra tỉ số giữa số tuổi của hai người hiện tại từ đó tìm được đáp án.
 Bài 1. Cách đây 10 năm, tuổi bố gấp 10 lần tuổi con. 22 năm sau, tuổi bố gấp 2 lần tuổi con. Tìm tuổi bố hiện nay.
Cách làm
Theo bài toán, ta có sơ đồ tuổi hai bố con cách đây 10 năm là :
 Bố
 Con
 Hiệu
 Theo sơ đồ, tuổi con kém tuổi bố 9 phần. Vậy 22 năm sau hiệu số tuổi hai bố con vẫn là 9 phần nên ta vẽ tiếp sơ đồ về bên trái ta được :
 22 năm H.nay 10 năm
 Bố
 22 năm sau 10 năm Con
	 Hiệu
Vì 22 năm sau tuổi bố gấp 2 lần tuổi con, mà hiệu số tuổi hai người không đổi theo thời gian nên khi đó hiệu vẫn là 9 phần nên bố có 18 phần bằng nhau, con có 9 phần bằng nhau.
Theo sơ đồ ta thấy (22 + 10) tuổi tương ứng với 8 phần bằng nhau. Hay 8 phần ứng với 32 tuổi nên mỗi phần ứng với 32 : 8 = 4 (tuổi)
Vậy hiện nay tuổi bố hiện nay là : 4 x 10 + 10 = 50(Tuổi) 
 Đ/S : Hiện nay bố 50 tuổi 
2.2. Bài toán về công việc chung
Bài toán mẫu : An và Bình nhận làm chung một công việc. Nếu một mình An làm thì sau 3 giờ sẽ xong việc, còn nếu Bình làm một mình thì sau 6 giờ sẽ xong việc đó. Hỏi cả 2 người cùng làm thì sau mấy giờ sẽ xong việc đó?	
Cách 1 :
	Biểu thị công việc thành 6 phần bằng nhau thì sau 1 giờ An làm được 2 phần và Bình làm được 1 phần đó. Do đó, sau 1 giờ cả 2 người cùng làm được :
	 2 + 1 = 3 (phần)
 1 giờ Thời gian để 2 người cùng làm xong việc 
	|	|	|	|	|	|	| đó là: 6: 3 = 2 (giờ)
	I II Đáp số: 2 giờ
Cách 2 : Nếu An làm một mình thì sau 1 giờ làm được công việc, nếu Bình làm 1 mình thì sau 1 giờ làm được công việc. Do đó, Nếu cả 2 người cùng làm thì sau 1 giờ sẽ làm được số phần công việc là : + = (công việc)
Thời gian để 2 người cùng làm xong việc đó là 1:=2 (giờ) 
 Đáp số 2 giờ.
2.3. Bài toán "chia kẹo"
Thừa 5 chiếc
VD: Có một số kẹo chia cho một nhóm học sinh. Nếu chia mỗi em 3 chiếc thì còn thừa 5 chiếc. Nếu chia mỗi em 4 chiếc thì còn thiếu 12 chiếc. Hỏi có bao nhiêu kẹo?
Bài giải Theo bài toán ta có sơ đồ: 
Số kẹo chia đủ mỗi em 3 chiếc
Theo sơ đồ, số kẹo đủ để chia một em 
Thiếu 12 chiếc
Số kẹo ban đầu
 4 cái kẹo nhiều hơn số kẹo đủ để chia
cho mỗi em 3 cái kẹo là: 5 + 12 = 17(cái)
Số kẹo chia đủ mỗi em 4 chiếc
 Mà mỗi em được 4 cái kẹo nhiều hơn
mỗi em 3 cái kẹo là: