Sáng kiến kinh nghiệm Lớp 8: Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh qua giảng dạy phần chứng minh bất đẳng thức

hỉ khi".
Dựa trên những lý luận về yêu cầu giải một bài toán và xuất phát từ thực tế giảng dạy trong nhà trường tôi đã cố gắng và tìm hiểu nghiên cứu để từ đó gợi ý hướng dẫn các em học sinh từng bước hình thành phương pháp suy nghĩ, khả năng thực hiện yêu cầu này trong các bài tập cụ thể. Trên cơ sở những ví dụ đã chọn tôi viết sáng kiến kinh nghiệm :"Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh qua giảng dạy phần chứng minh bất đẳng thức" áp dụng cho học sinh lớp 8.
pHần 2. Nội dung - Biện pháp thực hiện
A. Cơ sở lý thuyết.
I- Những kiến thức cần nhớ:
	Trước hết để chứng minh được các bất đẳng thức toán học thì học sinh phải nắm được định nghĩa và các tính chất sau đây:
1. Định nghĩa: Ta gọi hệ thức dạng a > b (hay dạng a < b; a Ê b; a ³ b) là bất đẳng thức
 Nếu a > b Û a - b > 0;
 Nếu a ³ b Û a - b ³ 0;
2. Tính chất:
- Nếu a a;
- Nếu a < b, "c ị a + c < b + c;
- Nếu a bc;
- Nếu a 0 ị ac < bc;
- Nếu a 0 ị 
1
> 
1
a
b
 A(x) 2 ³ 0 " A(x) dấu "=" Û A(x) = 0; 
- A(x) 2 Ê 0 " A(x) dấu "=" Û A(x) = 0;
Trên cơ sở định nghĩa và tính chất của bất đẳng thức xây dựng đường lối tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức.
a) m là giá trị lớn nhất của f(x) trên miền (D) nếu như hai điều kiện sau đồng thời xảy ra:
1.	 f(x) Ê m " x ẻ(D)
2. 	$ x0 ẻ (D) : f(xo) = m.
Khi đó kí hiệu m = max f(x) 
b) m gọi là giá trị nhỏ nhất trên miền (D) của f(x) nếu như hai điều kiện sau đồng thời thoả mãn:
1.	 f(x) ³ m " x ẻ(D).
2. 	$ x0 ẻ (D) sao cho f(xo) = m.
Khi đó kí hiệu m = min f(x)
II. Một số bài toán minh hoạ
Đầu tiên cho học sinh nắm biết được:
 A(x) 2 ³ 0 " A(x) dấu "=" Û A(x) = 0; 
- A(x) 2 Ê 0 " A(x) dấu "=" Û A(x) = 0;
ị (a ± b)2 ³ 0 dấu "=" Û a = ± b;
 (ay - bx)2 ³ 0 dấu "=" Û ay = bx;
Trên cơ sở các bất đẳng thức đó học sinh xây dựng các bất đẳng thức sau:
*/ Cách xây dựng:
Từ : (a - b)2 ³ 0	Û a2 + b2 - 2ab ³ 0
	Û a2 + b2 ³ 2ab 	(1)
1. Cộng hai vế của (1) với a2 + b2 ta được:
	2(a2 + b2) ³ (a + b)2
ị 
a2 + b2
³ (
a + b
)
2
2
2
2. Cộng hai vế của (1)với 2ab ta được:
(a + b)2 ³ 4ab
 ab Ê (
a + b
)
2
2
	Û 	
1
Ê 
1
(a + b)2
4ab
3. Cho a, b > 0 từ 
(a + b)2 ³ 4ab
ị
1
+
1
³ 
1
a
b
a +b
Û 
(a + b) Ệ 2(a2 + b2) 
Từ 	2(a2 + b2) ³ (a + b)2 	ị 	 (*)
(*) là bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki
với a, b > 0; thì từ 
a + b Ệ 2ab 
(a + b)2 ³ 4ab
	ị 	Bất đẳng thức Cô-si
Để vận dụng một số cách thành thạo các bất đẳng thức trên cho học sinh làm một số bài tập sau:
Bài toán 1.1: 
Cho a, b > 0; c > 0; 	Chứng minh rằng:
A =
a + b
+
a + c
+
b + c
³ 6
c
b
a
Hướng dẫn:
A =
a 
+
b
+
b
+
c
+
a
+
c
c
c
a
a
b
b
A = (
a
+
c
) + (
b
+
c
) + (
a
+
b
) ³ 6
c
a
c
b
b
a
(Lưu ý:a, b > 0; c > 0; )
ị
a
+
c
³ 2;
b
+
c
³ 2;
a
+
b
³ 2; 
c
a
c
b
b
a
	Nâng dần mức độ bài toán 1. 1 thành bài 1.2.
Bài toán 1.2: 
Cho a, b , c > 0; 	Chứng minh rằng:
A =
(a + b)2
+
(a + c)2
+
(b + c)2
³ 4(a + b + c)
c
b
a
Hướng dẫn:
áp dụng bất đẳng thức Côsi
(a + b)2
+ 4c ³ 2
ệ(a + b)2
4c
 = 4 (a + b )
c
c
Tương tự:
(a + c)2
+ 4b ³ 4 (a + c)
b
(b + c)2
+ 4a ³ 4 (b + c)
a
Cộng vế với vế ta được điều phải chứng minh.
Từ bài toán 1.2 ị bài toán 1.3
Bài toán 1.3: 
Cho a, b , c > 0; 	Chứng minh rằng:
A = 
(a + b)
+
(a + c)
+
(b + c)
> 4
c
b
a
Hướng dẫn:
(a + b)
=
(a + b)
c
c (a + b)
với a, b , c > 0 
có c (a + b) Ê 
(a + b + c)
2
Û
1
³ 
2
dấu "=" Û c = a + b
c (a + b )
a + b + c
Û
a + b
³ 
2 (a + b)
dấu "=" Û c = a + b
c (a + b )
a + b + c
Tương tự: 
Û
c + a
³ 
c + a
dấu "=" Û b = c + a
b (c + b )
a + b + c
Û
b + c
³ 
2
dấu "=" Û a = b + c
a (b + c )
a + b + c
cộng vế của bất đẳng thức ta được điều phải chứng minh.
Chú ý: Trong bài này dấu "=" không xảy ra vì: 
a, b , c > 0; 	ị	a + b + c > 0; 
*/ Ta có thể áp dụng bài toán 1.1 để giải bài toán sau đây:
Bài toán 1.4: Cho a, b , c > 0; Chứng minh rằng:
D = 
(a + b)
+
(a + c)
+
(b + c)
³ 3 2 
c
b
a
Hướng dẫn: Ta có:
D2 = 
(a + b)
+
(a + c)
+
(b + c)
c
b
a
+ 
(a+b) (b+c)
+
(a + b)(b+c)
+
(c+a)(b + c)
bc
ac
ab
Theo kết quả bài toán 1.1 ta có:
a + b
+
a + c
+
b + c
³ 6
dấu "=" Û a = b = c
c
b
a
mặt khác ta lại có:
 (a + b)(c + a) ³ a + bc
 (a + b)(b + c) ³ b + ac
 (b + c)(a + c) ³ c + ab
D2 ³ 6 + 2 (
a + bc
+
b + ac
+
c + ab
)
 bc
ac
ab
Û D2 ³ 6 + 2 + 2 +2 + 2( 
a 
+
b
+
c 
)
 bc
ac
ab
mà
a 
+
b 
+
c 
³ 3
 bc
ac
 ab
ị D2 ³ 12 + 2 . 3 Û D2 ³ 18 Û D ³ 3 2
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
 a = b = c;
Khai thác bài toán này ta thấy:
Cho a, b , c > 0; thì :
Min D = 3 2 khi và chỉ khi a = b = c
với 
D = 
(a + b)
+
(a + c)
+
(b + c)
c
b
a
Ta có thể đưa bài toán sau về bài toán 1.1
Bài toán 1.5: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác. Chứng minh:
E = 
a
+
b
+
c
³ 3 
b+c-a
a+c-b
c+a-b
Dùng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa bài toán trên về dạng quen thuộc bài 1.1.
Đặt: 	x = b + c - a > 0;
y = a + c - b > 0;
z = a + b - c > 0;
ị
y + z
+
x + z
+
x + y 
³ 6 
x
y
z
 Bài toán 1.1
Û
2a
+
2b
+
2c
³ 6 
b+c-a
a+c-b
c+a-b
2 (
a
+
b
+
c
) ³ 6 
b+c-a
a+c-b
c+a-b
Û 	2E ³ 6 	Û	 E ³ 3
Sử dụng kết quả của bài toán 1.1 để làm bài tập sau:
Bài toán 1.6: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác. Chứng minh:
H = 
a
+
b
+
c
³ 3 
b+c-a
a+c-b
c+a-b
Hướng dẫn:
Đặt: 	x = b + c - a ;
y = a + c - b ;
z = a + b - c ; 
Vì a, b, c là các cạnh của tam giác nên ị x, y, z > 0;
và x + y + z = a + b + c
ị a =
y + z
; b =
x + z
; c = 
x + y
2
2
2
ị H = 
2
(
y + z
+
x + z
+
x + y
) ³ 3
2
x
y
z
áp dụng bài toán 1.4
ị 
(
y + z
+
x + z
+
x + y
) ³ 3 2
x
y
z
ị H = 
2. 
3 2
ị H ³ 3
2
Bài toán 2.1:
	Chứng minh rằng: 	
1
+
1
³ 
4
a
b
a + b
	Với a, b > 0; 
Hướng dẫn:
	Xét hiệu:
H = (
1
+
1
)- 
4
=
b(a+b) + a(a+b) - 4ab
=
a2+ b2 - 2ab
a
b
a + b
ab(a+b)
ab(a+b)
(a-b)2
³ 0 (dấu "=" xảy ra Û a = b) 
ab(a+b)
Vậy 
1
+
1
³ 
4
(dấu "=" xảy ra Û a = b) 
a
b
a + b
	Sử dụng kết quả bài 2.1 để làm bài toán 2.2
Bài toán 2.2:	
1
+
1
+
1
³ 2 (
1
+
1
+
1
) 
p - a
p - b
p - c
a
b
c
Với a, b, c là 3 cạnh của một tam giác và p là nửa chu vi của tam giác đó.
Hướng dẫn:
	Vì a, b, c là 3 cạnh của một tam giác 
nên a, b, c > 0; p - a> 0; p - b> 0; p - c> 0; 
	áp dụng kết qủa bài toán 2.1 ta có:
1
+
1
³ 
4
=
4
p - a
p - b
2p - a- b
c
1
+
1
³ 
4
=
4
p -b
p - c
2p - b- c
a
1
+
1
³ 
4
=
4
p - c
p - a
2p - c- a
b
Cộng từng vế 3 bất đẳng thức trên ta được:
2 (
1
+
1
+
1
)³ 4 (
1
+
1
+
1
) 
p - a
p - b
p - c
a
b
c
Dấu "=" xảy ra Û a = b = c;
Bài toán 3.1:
	Cho a, b > 0; a + b = 2. 
H = (1 - 
4
)( 1-
4
)
a2
b2
Tìm min H? 
Hướng dẫn: Ta có:
H = ( 
a2 - 4
)( 
b2 - 4
)
a2
b2
H = 
a2b2 - 4a2 - 4b2 + 16
a2b2
H = 1 + 
- 4 (a2 + b2) + 16
(*) 
a2b2
Do a + b = 2 ị a 2 + b 2 = 4 - 2ab thay vào (*)
H = 1 + 
- 4 (4 - 2ab) + 16
a2b2
H = 1 + 
- 16 + 8ab - 16
a2b2
mà a, b > 0 và a + b = 2 
ị ab Ê ( 
a + b
)2 theo Cô-si
2
H = 1 + 
8
 Û ab Ê 1
ab
H = 1 + 8 Û 
8
³ 8
ab
Vậy H = (1 - 
4
)( 1-
4
) ³ 9
a2
b2
ị Min H = 9
Khai thác bài toán 3.1 ta đưa ra bài toán 3.2 
Bài toán 3.2 :
Nếu cho a, b > 0 và a + b = 3 
 H' = (1 - 
9
)( 1-
9
) 
a2
b2
Tìm Min H'?
*/ Bằng cách làm tương tự bài toán 3.1 học sinh cũng chứng minh được:
 H' ³ 9. ị min H' = 9
ịTa có bài toán tổng quát như sau:
 Nếu a, b > 0 và a + b = a ẻ R thì bài toán tổng quát có dạng:.
M = (1 - 
a2 
)( 1-
a2 
) 
a2
b2
Tìm Min M?
*/ Kết quả : Min M = 9;
Phần 3. Kết quả
Thông qua một số bài toán về chứng minh bài toán về chứng minh bất đẳng thức học học sinh hiểu biết về các phương pháp chứng minh bất đẳng thức và từ những bài toán đơn giản, cơ bản học sinh đã khái quát lên được những bài toán mang tính chất tổng hợp hơn. Như vậy ta đi từ bài tập mang tính chất cơ bản rồi dần nâng cao lên thì hầu hết học sinh đều nắm được cách làm và hiểu bài.
Trong quá trình giảng dạy, nghiên cứu và áp dụng, cụ thể tôi đã khảo sát chất lượng thực chất lớp 8A :
Với một đề toán: (Thời gian là: 60')
Câu 1:(2 đ) Chứng minh bất đẳng thức (a + b)2 ³ 4 ab;	
Câu 2: (2 đ) Cho a > 2; b > 2; Chứng minh rằng: ab > a + b	
Câu 3: (6 đ) Chứng minh các bất đẳng thức:
a. ( 
a + b
)2 ³ ab a,b > 0
2
b. ( 
a + b + c
)3 ³ abc a,b,c > 0
3
c. ( 
a + b + c + d
)4 ³ abcd a,b,c,d > 0
4
*/ Kết quả đạt được:
- Kiểm tra lớp 8 A - Tổng số học sinh: 33 h/s;
Điểm 1-2
Điểm 3- 4
Điểm 5 - 7
Điểm 8 trở lên
Số bài
0
2
25
6
%
0
6
76
18
Phần 4: Bài học kinh nghiệm
Xuất phát từ thực tiễn giảng dạy và trước bức xúc cuả việc phụ đạo học sinh yếu và bồi dưỡng học sinh khá giỏi. Tôi đã tập trung nghiên cứu thông qua một số tài liệu và qua thực tế giảng dạy để viết đề tài này, hy vọng giúp cho các em học sinh có một công cụ để giải các bài toán về bất đẳng thức và qua đó phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh. Bên cạnh đó tôi hy vọng đem lại sự định hướng cho việc phụ đạo học sinh yếu và bồi dưỡng học sinh khá giỏi cho các bạn đồng nghiệp. 
Phần 5: điều kiện áp dụng
Thông qua kinh nghiệm sáng kiến này và cùng với sự tự nghiên cứu, học hỏi các bạn đồng nghiệp tôi đã rút ra được bài học kinh nghiệm:
- Học sinh của chúng ta có rất nhiều đối tượng các em có lực học trung bình, khá, giỏi... để cho tất cả đối tượng học sinh của chúng ta ham học, học sinh trung bình thì hiểu bài, học sinh khá giỏi không nhàm chán thì chúng ta nên đưa ra các bài tập phù hợp với đối tượng học sinh, đưa các em vào hoàn cảnh có vấn đề. Các bài tập mang tính chất cơ bản dành cho các em trung bình, khai thác nâng cao các bài tập đó lên cho các em khá, giỏi.
Hệ thống các bài tập trên được sắp xếp phù hợp với mọi đối tượng học sinh. Bên cạnh những bài tập dễ dành cho những học sinh yếu còn có những bài toán phát