Đề thi chọn HSG cấp thành phố môn Toán lớp 8 năm học 2011-2012 - TP Lạng Sơn

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ LẠNG SƠN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ
LỚP 8 THCS NĂM HỌC 2011 - 2012
ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 17/4/2010
(Đề thi gồm 1 trang, có 5 câu)
Câu 1. (2,5 điểm)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y ta có: x5y – xy5 chia hết cho 30;
Giải phương trình x2 + y2 + z2 = y(x + z).
Câu 2. (2,5 điểm)
Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức 
A = a(a2 + 2b) + b(b2 – a) 
Cho tam giác có nửa chu vi với a, b, c là độ dài ba cạnh.
Chứng minh .
Câu 3. (1,5 điểm)
	Một người đi xe đạp, một người đi xe máy và một người đi ô tô xuất phát từ địa điểm A lần lượt lúc 8 giờ, 9 giờ, 10 giờ với vận tốc theo thứ tự là 10km/h, 30km/h và 50km/h. Hỏi đến mấy giờ thì ô tô ở vị trí cách đều xe đạp và xe máy?
Câu 4. (2 điểm)
	Cho tam giác ABC, I là giao điểm ba đường phân giác. Đường thẳng qua I vuông góc với CI cắt AC và BC theo thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng:
DAIM và DABI đồng dạng.
Câu 5. (1,5 điểm)
Cho hình bình hành ABCD. Điểm E thuộc cạnh BC sao cho , F là trung điểm cạnh CD. Các tia AE và AF lần lượt cắt đường chéo BD tại I và K. Tính diện tích DAIK, biết diện tích hình bình hành ABCD là 48cm2.
--------- Hết ---------
Chú ý: Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ LẠNG SƠN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 8 THCS NĂM HỌC 2011 - 2012
HDC CHÍNH THỨC
Môn thi: Toán
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 17/4/2010
Câu 1. (2,5 điểm)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y ta có: x5y – xy5 chia hết cho 30;
Giải phương trình x2 + y2 + z2 = xy + yz
a) x5y – xy5 = xy(x4 – y4) = xy(x4 – 1 – y4 + 1)
= xy(x4 – 1) – xy(y4 – 1)
Ta có x(x4 – 1) = x(x – 1)(x + 1)(x2 + 1) chia hết cho 2, 3 và 5 
=> xy(x4 – 1) 30 tương tự xy(y4 – 1) 30
=> x5y – xy5 30 
0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ
b) x2 + y2 + z2 = xy + yz 2x2 + 2y2 +2z2 – 2xy – 2yz = 0
 (x – y)2 + (y – z)2 + x2 + z2 = 0
 x – y = y – z = x = z = 0
 x = y = z = 0
0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ
Câu 2. (2 điểm)
Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức 
A = a(a2 + 2b) + b(b2 – b) 
Cho tam giác có nửa chu vi với a, b, c là độ dài ba cạnh.
Chứng minh .
a) a + b = 1 => a = + x, b = + y với x + y = 0
ta có: A = a(a2 + 2b) + b(b2 – a) = a3 + b3 + ab = a2 + b2
= 
=> GTNN(A) = x = y = 0 a = b = 
0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ
Ta có: 
Tương tự ; 
Cộng vế với vế các BĐT cùng chiều 
0,5 đ
0,25 đ
0,5 đ
Câu 3. (1,5 điểm)
	Một người đi xe đạp, một người đi xe máy và một người đi ô tô xuất phát từ địa điểm A lần lượt lúc 8 giờ, 9 giờ, 10 giờ với vận tốc theo thứ tự là 10km/h, 30km/h và 50km/h. Hỏi đến mấy giờ thì ô tô ở vị trí cách đều xe đạp và xe máy?
Gọi thời gian ô tô đi đến vị trí cách đều xe đạp và xe máy là x(h) điều kiện x > 0
=> Thời gian xe đạp đi là x + 2 (h)
 Thời gian xe máy đi là x + 1 (h)
=> Quãng đường ô tô đi là 50x (km)
 Quãng đường xe đạp đi là 10(x + 2) (km)
 Quãng đường xe máy đi là 30(x + 1) (km)
Vì đến 10 giờ thì xe máy đã vượt trước xe đạp => ô tô ở vị trí cách đều xe đạp và xe máy khi x nghiệm đúng phương trình:
 50x – 10(x + 2) = 30(x + 1) – 50x
 x = (h) = 50 phút (TMĐK)
Vậy đến 10h50 phút thì ô tô ở vị trí cách đều xe đạp và xe máy 
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ
Câu 4. (2 điểm)
	Cho tam giác ABC, I là giao điểm ba đường phân giác. Đường thẳng qua I vuông góc với CI cắt AC và BC theo thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng:
DAIM và DABI đồng dạng.
A
B
C
I
M
N
a) (AI là phân giác góc A)
 (t/c góc ngoài D)
 (t/c góc ngoài D)
=> 
=> DAIM và DABI đồng dạng.
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
b) Chứng minh tương tự có DIBN và DABI đồng dạng.
=> DAIM và DIBN đồng dạng.
=> 
Có IM = IN do tam giác MCN cân tại C
=> 
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
Câu 5. (1,5 điểm)
Cho hình bình hành ABCD. Điểm E thuộc cạnh BC sao cho , F là trung điểm cạnh CD. Các tia AE và AF lần lượt cắt đường chéo BD tại I và K. Tính diện tích DAIK, biết diện tích hình bình hành ABCD là 48cm2.
A
B
C
D
E
F
K
I
Ta có 
Nối FI => 
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
Chú ý: 
Học sinh làm theo các cách khác đúng cho điểm tối đa. Trên cơ sở tổng điểm giám khảo chia điểm từng phần sao cho phù hợp, đảm bảo chính xác, công bằng.