Những tình huống điển hình trong dạy học toán

 ; khái quát hóa, đặc biệt hóa và hệ thống hóa những khái niệm đã học)
5, Các con đường tiếp cận khái niệm:
- Con đường suy diễn;
- Con đường quy nạp;
- Con đường kiến thiết;
a, Con đường suy diễn
- Các kn Toán học được đn như là một trường hợp riêng của một khái niệm đã biết. 
- Xuất phát từ một kn đã biết thêm vào nội hàm của kn đó một số đặc điểm mà ta quan tâm.
- Phát biểu đn bằng một cái tên mới và đn nó nhờ một kn tổng quát hơn cùng với những đặc điểm hạn chế một bộ phận trong kn tổng quát ó.
- Đưa ra ví dụ minh họa
Ví dụ: Đn hình chữ nhật, hình thoi như là trường hợp riêng của hình bình hành.
b, Con đường quy nạp
Xuất phát từ đối tượng riêng lẻ, mô hình, hình vẽ  phân tích, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa tìm ra dấu hiệu đăc trưng của khái niệm ở các trường hợp cụ thể đó đi đến định nghĩa từ đó đi đến đĩnh nghĩa tường minh hay một sự hiểu biết trực giác khái niệm đó tùy theo yêu cầu của chương trình.
 Quy trình tiếp cận khái niệm theo con đường quy nạp
- Gv đưa ra một số ví dụ cụ thể để hs thấy sự tồn tại hoặc tác dụng của một loạt đối tượng nào đó.
- Dẫn dắt hs phân tích, so sánh và nêu bật những đặc điểm chung của các đối tượng đang xem xét.
- Gợi mở cho hs phát biểu đn bằng cách nêu tên và đặc trưng của kn.
 Ví dụ: Đn tứ giác( ở lớp 8), hàm số ( ở lớp 9)
c, Con đường kiến thiết
Kết hợp những yếu tố quy nạp lẫn suy diễn.
Quy trình tiếp cận khái niệm theo con đường kiến thiết.
- Xây dựng một hay nhiều đối tượng đại diện cho khái niệm cần được hình thành hướng vào những yêu cầu tổng quát nhất định xuất phát từ nội bộ môn toán.
- Khái quát hóa quá trình xây dựng những đối tượng đại diện, đi tới đặc điểm đặc trưng cho kn cần hình thành.
- Phát biểu biểu đn theo gợi ý kết quả bước 2.
(Con đường kiến thiết không thấy xuất hiện ở Toán THCS)
Ví dụ: Kn lũy thừa số mũ âm, Vận tốc tức thời của chuyển động.
6, Dạy học phân chia khái niệm
“Đn một khái niệm (ở dạng tường minh hoặc không tường minh), thì nội hàm và ngoại diên của nó được xác định. Ngoại diên của khái niệm được sáng tỏ hơn nữa nhờ sự phân chia khái niệm. Biết phân chia khái niệm là một trong những biểu hiện của việc nắm vững những khái niệm toán học” 
	Để học sinh biết phân chia khái niệm, trước hết cần cho họ hiểu đúng thế nào là phân chia khái niệm. Một khái niệm có ngoại diên tương ứng là A được phân chia thành các khái niệm có ngoại diên tương ứng là A1, A2, An có nghĩa là các điều kiện sau đây thõa mãn:
	i) A1 ≠ ặ với i = 1, 2, n;
	ii) A1 ầ Aj ặ với i ≠ j
 iii) 
Ví du: Số phức phân thành số thực và số ảo, số thực phân thành số vô tỉ và số hửu tỉ
III. Dạy học định lý toán học:
	Việc dạy học các định lý Toán học nhằm đạt được các yêu cầu sau đây:
	- Học sinh nắm được hệ thống định lý và những mối liên hệ giữa chúng, từ đó có khả năng vận dụng chúng vào hoạt động giải toán cũng như giải quyết các vấn đề trong thực tiễn;
	- Học sinh thấy được sự cần thiết phải chứng minh định lý, thấy được chứng minh định lý là một yếu tố quan trọng trong phương pháp làm việc trên lĩnh vực Toán học;
	- Học sinh hình thành và phát triển năng lực chứng minh Toán học, từ chỗ hiểu chứng minh, trình bàylại được chứng minh, nâng lên đến mức độ biết cách suy nghĩ để tìm ra chứng minh, theo yêu cầu chương trình phổ thông.
	 Hai con đường dạy học định lý:
	Mục này được trình bày dựa theo Pietzsch 1980 (tr. 22-23)
	Trong việc dạy học những định lý Toán học, người ta phân chia hai con đường: con đường có khâu suy đoán và con đường suy diễn. Hai con đường này được minh họa bằng sơ đồ sau:
	Sự khác biệt căn bản giữa hai con đường đó là ở chỗ: theo con đường có khâu suy đoán thì việc dự đoán phát hiện trước việc chứng minh định lý, còn ở con đường suy diễn thì hai việc này nhập lại thành một bước.
	Con đường có khâu suy đoán	Con đường suy diễn
Gợi động cơ và phát biểu vấn đề
Dự đoán và phát biểu định lý	Suy diễn dẫn tới định lý
Chứng minh định lý	 Phát biểu định lý
Vận dụng định lý để giải quyết vấn đề
Củng cố định lý
a. Con đường có khâu suy đoán
- Gợi động cơ lập định lý xuất phát từ một nhu cầu nảy sinh trong thực tiễn hoặc trong nội bộ Toán học.
- Dự đoán và phát biểu định lý dựa vào những phương pháp nhận thức mang tính suy đoán: quy nạp không hoàn toàn, lật ngược vấn đề, tương tự hóa, khái quát hóa một định lý đã biết, nghiên cứu trường hợp suy biến, xét mối liên hệ và phụ thuộc,
 - Chứng minh định lý, trong đó đặc biệt chú ý việc gợi động cơ chứng minh và gợi học sinh thực hiện những hoạt động ăn khớp với những phương pháp suy luận, chứng minh thông dụng và những quy tắc kết luận logic thường dùng.
Tùy theo yêu cầu của chương trình, trong những trường hợp nhất định, việc chứng minh một số định lý có thể không đặt ra cho chương trình phổ thông.
- Vận dụng định lý vừa tìm được để giải quyết, khép kín vấn đề đặt ra khi gợi động cơ.
- Củng cố định lý, khâu này được trình bày chung cho cả hai con đường.
Ví dụ:
b. Con đường suy diễn
- Gợi động cơ học tập định lý như ở con đường thứ nhất.
- Xuất phát từ những tri thức Toán học đã biết, dùng suy diễn logic dẫn tới định lý.
- Phát biểu định lý
- Vận dụng định lý, giống như ở con đường có khâu suy đoán.
- Củng cố định lý, khâu này sẽ được trình bày chung cho cả hai con đường.
Ví dụ:
IV. Dạy học các quy tắc và phương pháp
	Thực ra, những quy tắc, phương pháp không hoàn toàn độc lập với định nghĩa và định lý. Có những quy tắc, phương pháp dựa vào một định nghĩa hay định lý, thậm chí có khi chỉ là một hình thức phát biểu khác của một định nghĩa hay định lý. Tuy nhiên, việc dạy học loại hình tri thức này có những nét riêng, vì thế nó được trình bày tách biệt trong mục này.
	a, Những quy tắc, phương pháp có tính chất thuật toán:
	Thuật toán được hiểu như một quy tắc mô tả những chỉ dẫn rõ ràng và chính xác để người (hay máy) thực hiện một loạt thao tác nhằm đạt được mục đích đặt ra hay giải một lớp bài toán nhất định. Đây chưa phải là một định nghĩa chính mà chỉ là một cách phát biểu giúp ta hình dung khái niệm thuật toán một cách trực giác.
	ở trường phổ thông, học sinh được hoạt động với nhiều thuật toán như thuật toán cộng, trừ, nhân, chia các số tự nhiên và số hữu tỷ, thuật toán tìm ước số chung lớn nhất của hai số, bội chung nhỏ nhất của hai số, thuật toán giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, thuật toán giải phương trình bậc hai Người thầy giáo cần có ý thức thông qua việc dạy học các quy tắc trên mà rèn luyện cho học sinh một loại hình tư duy quan trọng: tư duy thuật toán, một yếu tố học vấn phổ thông của con người trong thời đại máy tính.
	Tư duy thuật toán liên hệ chặt chẽ với khái niệm thuật toán đã trình bày ở trên. Do đó, phương thức tư duy này thể hiện ở những khả năng sau đây:
	- Thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với một thuật toán cho trước.
	- Phân tích một hoạt động thành những thao tác thành phần được thực hiện theo một trình tự xác định.
	- Mô tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động.
	- Khái quát hóa một hoạt động trên trên những đối tượng riêng lẻ thành một hoạt động trên một lớp đối tượng.
	- So sánh những thuật toán khác nhau cùng thực hiện một công việc và phát hiện thuật toán tối ưu.
	Để tập luyện cho học sinh thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với một thuật toán cho trước, có thể phát biểu một số quy tắc toán học thành những thuật toán dưới dạng ngôn ngữ tự nhiên hoặc sơ đồ khối (nếu học sinh đã được học phương tiện này) rồi yêu cầu họ thực hiện các quy tắc ấy, thông qua đó nhấn mạnh các bước và trình tự tiến hành các bước trong mỗi quy tắc.
V. Dạy luyện tập toán
ở trường phổ thông dạy toán là dạy hoạt động toán học.Đối với hs có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hạot động toán học. Các bài toán là phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triễn tư duy, hình thành kỷ năng, kỷ xảo ứng dụng toán học vào thực tiễn. Hoạt động giải bài tập toán ở trường phổ thông là điềukiện thực hiện tốt mục dích dạy học bộ môn toán. Vì vậy tổ chức có hiệu quả việc dạy luyện tập toán có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán.
Bài tập toán học có chức năng dạy học, chức năng giáo dục, chức năng phát triển và chức năng kiểm tra 
Chức năng day học: Nhằm hình thành, củng cố cho học sinh những tri thức, kỹ năng, kỷ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học.
 Chức năng giáo dục: Nhằm hình thành cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin và phẩm chất người lao động.
Chức năng phát triển: Nhằm phát triển năng lực tư duy của học sinh, đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất tư duy khoa học.
Chức năng kiểm tra: Nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy và học,đánh giá khả năng độc lập học toán và trình độ phát triển của học sinh [19, tr. 163].
Tác dụng của mỗi bài tập toán phụ thuộc vào nội dung cũng như khả năng khai thác lời giải của nó nhằm góp phần rèn luyện hoạt động toán học.
Theo Polya G. “Trong toán học nắm vững phương pháp bộ môn quan trọng hơn nhiều so với khối lượng kiến thức thuần tuý.
 Học sinh nắm vững môn toán ở bậc phổ thông là phải biết giải toán kể cả những bài tập bình thường và cả những bài tập đòi hỏi có tư duy độc lập, óc phán đoán,..., mục đích chính của dạy học ở phổ thông là dạy cho học sinh suy nghĩ.” 
 Ông dành công sức chủ yếu vào công việc tìm tòi, sắp xếp hệ thống hoá các bài tập toán, hướng suy nghĩ, các phương pháp tìm ra cách giải
 1.Hiểu rõ ý tưởng SGK, dạy sát đối tượng học sinh.
 a. Hiểu được hệ thống BTT trong SGK
Các BTT được các tác giả đưa vào SGK đều có ý tưởng cụ thể của nó GV hiểu được một cách tường minh về tác dụng của BTT đó, khi sử dụng BTT đó cần hiểu rõ chức năng của nó.
Trong hệ thống các BTT đã nêu của từng bài học, một số bài học, của bài tập ôn chương, GV phải biết phân loại các dạng BTT và chức năng của các dạng BTT đó.
 Cách sử dụng các BTT đó cho từng đối tượng học sinh.
 b. Dạy sát đối tượng
Theo L.X. Vygotski, dạy học phải theo đúng chức năng của nó, phải đi trước sự phát triển, nó sẽ thúc