Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên Nguyễn Trãi môn Toán - Đề dự bị - Năm học 2015-2016 - Sở Giáo dục và Đào tạo Hải Dương (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
ĐỀ DỰ BỊ
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn thi: TOÁN (Chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
 (Đề thi gồm: 01 trang)
Câu I (2,0 điểm)
Giả sử là ba nghiệm của phương trình . Không dùng máy tính, hãy tính giá trị của biểu thức .
Cho các số nguyên thỏa mãn và . Hãy so sánh c và d.	
Câu II (2,0 điểm)
Giải phương trình .
Giải hệ phương trình 
Câu III (2,0 điểm)
Tìm các số nguyên thỏa mãn .
Cho là hai số thực thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của x.
Câu IV (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC). Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại E và D. BD và CE cắt nhau tại H , AH cắt BC tại M. Từ A kẻ tiếp tuyến AP, AQ với (O) (P,Q là tiếp điểm).
Chứng minh bốn điểm A ,P, M, Q thuộc một đường tròn.
Chứng minh ba điểm P, H, Q thẳng hàng.
OH cắt DE tại I. Chứng minh .
Câu V (1,0 điểm) Cho là các số dương. 	Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
.
----------------------------Hết----------------------------
Họ và tên thí sinh....................................................Số báo danh...........................................
Chữ kí của giám thị 1: ..........................................Chữ kí của giám thị 2: ............................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2015 - 2016
 (Hướng dẫn chấm gồm: 04 trang)
Câu
Ý
Nội dung
Điểm
I
1
Giả sử là ba nghiệm của phương trình . Không dùng máy tính, hãy tính giá trị của biểu thức .
1,00
0,25
Giả sử là 2 nghiệm của pt (1)
Theo Viets 
0,25
0,25
0,25
I
2
Cho các số nguyên thỏa mãn và . Hãy so sánh c và d
1,00
a + b = c + d => a =c+d-b thay vào ab+1=cd có
0,25
(c+d-b)b + 1 = cd bc+bd-b2-cd=-1
 (bc-b2)+(bd-cd)=-1
 b(c-b)-d(b-c)=-1
 (c-b)(b-d)=-1
0,25
Vì c, b, d là các số nguyên nên
0,25
0,25
II
1
Giải phương trình .
1,00
Pt .
Do nên điều kiện là 
Pt .
Chia hai vế cho ta được 
0,25
Đặt ta được 
0,25
0,25
0,25
II
2
Giải hệ phương trình 
1,00
Đặt 
Hệ phương trình cho trở thành 
0,25
0,25
 (vì )
0,25
Ta có: 
Vậy phương trình cho có hai nghiệm: .
0,25
III
1
Tìm các số nguyên thỏa mãn .
1,00
Ta có 
0,25
TH1. Nếu 
Ta có (2) vô lý 
( do nên vế phải của (2) là số hữu tỷ ).
0,25
TH2. khi đó (3)
0,25
Giải (3) ra ta được hoặc thỏa mãn BT
0,25
III
2
Cho là hai số thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của x.
1,00
Biến đổi (1) (coi đây là phương trình bậc hai ẩn y và là tham số)
0,25
+ 
+ Để phương trình (1) có nghiệm thì 
0,25
Giải được 
+ Với tìm được 
+ Với tìm được 
0,25
Khẳng định được: - Giá trị nhỏ nhất của x bằng -1 đạt được khi .
 - Giá trị lớn nhất của x bằng 3 đạt được khi .
0,25
IV
1
Chứng minh bốn điểm A ,P, M, Q thuộc một đường tròn
1,00
Ta có tứ giác AMOQ nội tiếp (1)
0,25
 tứ giác APMO nội tiếp (2)
0,25
Từ (1) ,(2) suy ra 5 điểm A,P,M,O,Q thuộc một đường tròn
0,25
Vậy 4 điểm A,P,M,Q thuộc 1 đường tròn
0,25
IV
2
Chứng minh ba điểm P, H, Q thẳng hàng.
1,00
AQ là tiếp tuyến ,AEC là cát tuyến 
0,25
Từ (1),(2) 
0,25
Lại có 
0,25
Tương tự 
Do đó (tứ giác APMQ nội tiếp )
Vậy 3 điểm P,H,Q thẳng hàng
0,25
IV
3
OH cắt DE tại I. Chứng minh .
1,00
Qua O kẻ đường thẳng song song với ED cắt BD tại G và cắt CE tại K . Trên CH lấy điểm N sao cho OK = ON
 (1)
0,25
Ta có 
Mà 
 (2)
0,25
Từ (1) ,(2) (3)
0,25
 (4)
Từ (3), (4) (đpcm)
0,25
V
Cho là các số dương. 	Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1,00
* Ta chứng minh với hai số dương x, y ta luôn có 
(*) Dấu bằng xảy ra khi x = y
0,25
* Áp dụng đẳng thức Côsi : Ta có 
0,25
Ấp dụng bất đẳng thức (*)
Tương tự: 
0,25
Giá trị lớn nhất của M là khi a = b = c
0,25