Đề thi HSG cấp huyện môn Toán - Huyện Krông Ana

PHÒNG GD&ĐT KRÔNG ANA 	KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN 
ĐỀ CHÍNH THỨC
	Đề thi môn: Toán 9
	Thời gian làm bài: 150 phút
I (4 điểm).
1. Cho n là một số tự nhiên bất kì khác 0. Chứng minh phân thức là tối giản (không thể giản ước được).
2. Chứng minh rằng một số có dạng n4 – 4n3 – 4n2 + 16n (với n là số nguyên chẵn lớn hơn 4) thì chia hết cho 384.
II (3 điểm). Tìm x (x > 0) để biểu thức đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó. 
III (5 điểm).
1. Giải các phương trình sau:
a. 
b. 
2. Dùng đồ thị để kiểm tra lại các kết luận trong câu 1.
IV (3 điểm). Cho tam giác cân ABC (AB = AC) có . I là một điểm ở trong tam giác đó sao cho . Hãy tính số đo góc AIB.
V (5 điểm). Cho tam giác cân ABC (AB = AC) nội tiếp trong đường tròn tâm O và một điểm M di động trên đường tròn đó. Gọi D là hình chiếu của B trên AM và P là giao điểm của BD và CM.
1. Chứng minh rằng tam giác BPM cân.
2. Xác định vị trí của điểm M trên đường tròn tâm O để điểm P cũng nằm trên đường tròn đó.
3. Tìm quỹ tích điểm D khi M di động trên đường tròn tâm O.
______________________
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh: 	............ Số báo danh: .............
Chữ ký giám thị 1
Chữ ký giám thị 2
PHÒNG GD & ĐT KRÔNG ANA
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN LỚP 9
Câu
Nội dung
Điểm
I
1
Ta thấy rằng tối giản thì cũng tối giản.
. Ta thấy tối giản khi tối giản, hay tối giản.
Ta có vì n là số tự nhiên khác 0 nên , do đó tối giản, hay tối giản.
2
4
2
Ta có 384 = 27.3
Với n chẵn và n > 4, đặt n = 2k với k nguyên và k > 2. Từ đó ta có: 
Vì k > 2 nên k – 2 1, k – 1 2, k 3 và k + 1 4
Trong các số sẽ có số chia hết cho 2 và có số chia hết cho 4 nên tích các số đó chia hết cho 23.
Mà tích của 4 số nguyên liên tiếp chia hết cho 3, vậy chia hết cho 27.3 hay chia hết cho 384.
2
II
Theo bài ra ta có x > 0, đạt giá trị lớn nhất khi đạt giá trị nhỏ nhất với y 0.
hay . Vì 4024 không đổi nên ta tìm giá trị nhỏ nhất của . Ta thấy hai số x và đều dương và có tích bằng 20122 không đổi nên tổng của chúng sẽ nhỏ nhất khi chúng bằng nhau, tức là: 
 hay x2 = 20122, x = 2012 (Không lấy giá trị âm).
Vậy với x = 2012 thì y đạt giá trị lớn nhất và giá trị đó là
3
3
III
1a
:
Nếu x 0 thì x = 2x – 1 hay x = 1
Nếu x < 0 thì –x = 2x – 1 hay x = (loại).
Vậy nghiệm của phương trình là x = 1.
1,5
5
1b
:
Nếu x 0 thì x = -x – 5 hay x = -2,5 (loại)
Nếu x < 0 thì –x = -x – 5 hay 0 = -5 (vô lí).
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
1,5
2
O
1
* Vẽ đồ thị của y = |x| và y = 2x -1 trên cùng một hệ trục toạ độ. Giao điểm chung của 2 đồ thị trên là điểm (1; 1).
* Vẽ tiếp đồ thị hàm số y = -x – 5, rõ ràng đồ thị y = |x| và y = -x – 5 không cắt nhau. Phương trình vô nghiệm.
1
IV
3
Vẽ tam giác đều KIC (K và A cùng phía so với BC), khi đó .
.
Ta có .
nội tiếp được trong một đường tròn.
3
3
V
1
Ta có nên . (1)
Kẻ AH vuông góc với BC cắt đường tròn (O) tại I, ta có nên CI = IB và (2)
Từ (1) và (2) ta có . Vì AI là phân giác của góc A nên , vậy nên 
Ta thấy sđ hay sđ. Ta có cho nên hay tam giác MPB cân tại M.
2
5
Ta thấy rằng nếu P ở ngoài đt(O) thì . Tam giác ABC cố định nên P phải nằm trên cung chứa góc bằng vẽ trên BC. Từ đó ta thấy giao của cung nói trên và đt (O) là điểm P. Vì cung này cắt đường tròn tại 2 điểm B và C nên ta có 2 điểm P trên đt (O).
- Nếu P trùng với C, ta có nên lúc này M trùng với I. 
Ngược lại, nếu M trùng với I ta phải chứng minh P trùng với C, tức là P thuộc đt(O).
2
Nối IA, kẻ cắt CI tại C' (C' đóng vai trò như P) khi đó BC' AI. Vì tam giác CIB cân và AI CB nên CB trung với C'B. Vì vậy C' trung với C, tức là P trùng với C.
- Nếu P trùng với B, dựng , vì mà nên , chứng tỏ AB BM
mà AM BP nên M trùng với B
Ngược lại, nếu M trùng với B, ta phải chứng minh P ở trên đường tròn, tức là P trùng với B.
Nối AB, từ B kẻ BP AB; nối CM. Vì M trùng với B nên CM trùng với CB và giao điểm của BP với CB chính là B.
2
3
Thuận:
Vì AB cố định và không đổi, nên B nằm trên đường tròn đường kính AB.
Đảo:
Giả sử có một điểm D' bất kì trên đường tròn vừa tìm được.
 Nối AD' cắt đường tròn (O) tại M'; nối BD'; ta chứng minh
AM' BD', tức là D' là hình chiếu của B trên AM'.
Vì D' thuộc đường tròn đường kính AB nên .
Kết luận: Quỹ tích điểm D khi M di động trên đường tròn tâm O là đường tròn đường kính AB.
1