Bài tập Nguyên hàm và tích phân - Tính đối xứng của đồ thị

Tính đối xứng của đồ thị
Chúng ta sẽ sử dụng hai bổ đề sau để giải một số bài toán( nếu cần).
Định nghĩa 1: Đường thẳng (d) : x = x0 được gọi là trục đối xứng của đồ thị (C) : y = f(x)
nếu như f(x0 − x) = f(x0 + x) với mọi x thuộc tập xác định.
Bổ đề 1: Khi đó x0 là nghiệm chung của hệ phương trình sau{
f ′(x) = 0
f ′′′(x) = 0
Định nghĩa 2: Điểm M(x0; y0) ∈ (C) được gọi là tâm đối xứng của đồ thị (C) : y = f(x)
nếu như f(x0 − x) + f(x0 + x) = 2y0 với mọi x thuộc tập xác định.
Bổ đề 2: Khi đó x0 là nghiệm chung của hệ phương trình sau{
f ′′(x) = 0
f (4)(x) = 0
Bài 1. Chứng minh rằng đồ thị các hàm số sau nhận Oy làm trục đối xứng
a) y = f(x) = x4 − 3x2 + 5 ; b) y = f(x) = sin2x− cos2x ;
c) y = f(x) = 2|x|+m+ 1
x2
; d) y = f(x) = ln2(x+
√
1 + x2)
Bài 2. Chứng minh rằng đồ thị các hàm số sau nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng
a) y = f(x) = x3 − x ; b) y = f(x) = |1− x| − |1 + x||1 − x|+ |1 + x| ;
c) y = f(x) = ln3
(
1 + x
1 − x
)
;
Bài 3. Chứng tỏ rằng đồ thị (C) của các hàm số
a) y = f(x) =
x2 − 4x + 1
x− 4 nhận I(4; 4) làm tâm đối xứng.
b) y = f(x) =
mx− 2
x+ 1
nhận điểm I(−1;m) làm tâm đối xứng với mọi m.
c) y = f(x) = mx3 − (2m+ 1)x+ 2 nhận I(0;2) làm tâm đối xứng.
Bài 4. Chứng tỏ rằng đồ thị (C) của các hàm số
a) y = f(x) = x4 + 4x3 + 4x2 − 2 nhận đường thẳng (d) : x = −1 làm trục đối xứng.
b) y = f(x) = x2 − 2x+ 5 có một trục đối xứng.
c) y = f(x) = x4 − 4x3 − 2x2 + 12x − 1 có một trục đối xứng.
Bài 5. Tìm a để phương trình x4 + 4ax3 − 2x2 − 12ax = 0 có 4 nghiệm lập thành một
cấp số cộng .
Bài 6. Tìm a để phương trình x4 − 2x3 − x2 + 2ax = 0 có 4 nghiệm lập thành một cấp
số cộng .
Bài 7. Cho hàm số y =
−x3
m
+ 3mx2 − 2. Tìm m để đồ thị hàm số nhận I(1; 0) làm tâm
đối xứng.
Bài 8. Tìm trục đối xứng của các đường cong sau
1
a) y = x4 + 4x3 + 3x2 − 2x; b) y = 5
x2 − 4x + 5
tính đơn điệu và cực trị
Bài 1. Tìm m để hàm số y = x3 + 3x2 − 2mx+ 1 nghịch biến trong khoảng (1;2).
Bài 2. Tìm m để hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m nghịch biến trong khoảng có độ dài
bằng 1.
Bài 3. Biết rằng hàm số y =
1
3
x3− (m+ 2)x2 +4mx+ 1 nghịc biến trong khoảng (x1;x2)
và đồng biến trên các khoảng còn lại. Nếu như |x1 − x2| = 4 thì m bằng bao nhiêu?
Bài 4. Tìm m để hàm số y = −mx3 + 2m2x2 + 5 đạt cực trị tại x = 4
3
. Khi đó x =
4
3
là
điểm cực đại hay cực tiểu?
Bài 5. Cho hàm số y = x4 − 4
3
mx3 − 2x2. Gọi x1, x2 là hai điểm cực tiểu, tìm m để
x31 + x
3
2 < 4.
Bài 6. Cho hàm số y =
2
3
x3 + (cos a− 3 sin a)x2 − 8(cos 2a + 1)x + 1. Giả sử hàm số đạt
cực trị tại hai điểm x1, x2, chứng minh rằng x21 + x
2
2 ≤ 18.
Bài 7. Cho hàm số y = x3 − (m+ 1)x2 − (2m2 − 3m+ 2)x+ 2m(m− 1).
a) Chứng minh rằng hàm số không thể đồng biến với mọi m.
b) Tìm m để hàm số đồng biến khi x ≥ 2.
Sự tương quan của các đường cong
Bài 1. Cho (Hm) : y =
mx− 3
x+m− 4
a) Định m để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.
b) Khảo sát và vẽ đồ thị (H) với m nguyên vừa tìm được.
c) Tìm trên (H) những điểm mà tại đó tiếp tuyến của (H) lập với Ox một góc 1350. Viết
các phương trình tiếp tuyến đó.
Bài 2. Cho hàm số y =
ax+ b
x− 1
a) Tìm a, b để đồ thị hàm số cắt trục tung tại A(0;-1) và tiếp tuyến với đồ thị tại A có
hệ số góc bằng -3. Khảo sát hàm số vừa tìm được.
b) Xét đường (d) có hệ số góc m đi qua B(-2;2) , với giá trị nào của m thì (d) cắt đồ
thị hàm số ở a) tại hai điểm M1,M2 phân biệt.
c) Các đường thẳng đi qua M1,M2 song song với các trục tọa độ tự cắt nhau tạo thành
hình chữ nhật. Tính các cạnh của hình chữ nhật đó theo m, khi nào thì hình chữ nhật
đó là hình vuông?
Bài 3.Cho hàm số y =
x+ 1
x− 2(C). Tìm trên (C) điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M
đến các trục tọa độ là nhỏ nhất.
Bài 4. Cho (C) : y = x3 + 3x2 − 9x + 1 và (d) : y = ax+ b. Tìm điều kiện của a và b để
(d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, B, C với B là điểm giữa A và C.
Bài 5.Cho hai hàm số y = −x2 + 2x+ 3(1) và y = 1
2
x2 + 4x + 3(2)
2
a) Tìm m để đường thẳng y=m cắt cả hai đồ thị vừa kể trên.
b) Giả sử m thỏa mãn điều kiện câu a), gọi các giao điểm của y=m và (1) là A và B,
của y=m và (2) là C và D. Tìm m để AB=CD, tính đoạn AB.
Bài 6.Cho đường cong (C) : y = x3−6x2+9x. Tìm tất cả những đường thẳng qua A(4;4)
và cắt (C) tại 3 điểm phân biệt.
Bài 7. Cho (Cm) : y = x3 − 3mx2 + 4m3.
a) Tìm m để cực đại và cực tiểu của (Cm) đối xứng nhau qua đường thẳng y = x .
b) Tìm m để đường thẳng y = x cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt A, B, C thỏa mãn
AB=BC.
Bài 8. Cho (Cm) : y = x4 − 2mx2 +m3 −m2. Tìm m để đồ thị (Cm) tiếp xúc trục hoành
tại hai điểm phân biệt.
Bài 9. (Cm) : y = x3+mx2+1. Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng (d) : y = 1−x tại 3 điểm
phân biệt là A(0;1), B và C sao cho tiếp tuyến với (Cm) tại B và C vuông góc với nhau.
Bài 10. Cho hàm số f(x) = x4 − 2x2 − (m− 1)x+m. Tìm m để f(x) ≥ 1
x
, ∀x 6= 0
Bài 11. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt nằm
trong đoạn [−3; 0] (
x2 + 2x
)2 − (m+ 1)(x2 + 2x) +m+ 1 = 0
Bài 12. Cho (Cm) : y = x3 + 3x2 +mx+ 1
a) Chứng minh rằng với mọi m (Cm) luôn cắt đồ thị hàm số y = x3+2x2+7 tại hai điểm
phân biệt A và B. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn AB.
b) Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0;1), D và E.
Tìm m để tiếp tuyến tại D và E đến (Cm) vuông góc với nhau.
Bài 12. Tìm số a nhỏ nhất để bất đẳng thức a(x2 + x− 1) ≤ (x2 + x+ 1)2 thỏa mãn với
mọi x ∈ [0; 1]
Bài 13. Cho (Cm) : y = (m + 1)x3 − (2m + 1)x2 + (m − 1)x = 1. Chứng tỏ rằng có một
đường thẳng là tiếp tuyến chung cho mọi đường cong (Cm).
Bài 14. Xác định m để đường cong y =
3x + 2
x− 1 cắt đường thẳng y = 2x+m tại hai điểm
phân biệt A và B. Tìm m để đoạn thẳng AB có độ dài bé nhất.
Bài 15. Xác định m để đường cong y =
−x2 + 3x− 3
2(x− 1) cắt đường thẳng y = m tại hai
điểm phân biệt A và B. Tìm m để đoạn thẳng AB có độ dài bằng 1.
3