100 câu khảo sát hàm số - Trần Sĩ Tùng

ố. 
 2) Gọi E là tâm đối xứng của đồ thị (C). Viết phương trình đường thẳng qua E và cắt (C) tại 
ba điểm E, A, B phân biệt sao cho diện tích tam giác OAB bằng 2 . 
 · Ta có: E(1; 0). PT đường thẳng D qua E có dạng y k x( 1)= - . 
 PT hoành độ giao điểm của (C) và D: x x x k2( 1)( 2 2 ) 0- - - - = 
 D cắt (C) tại 3 điểm phân biệt Û PT x x k2 2 2 0- - - = có hai nghiệm phân biệt khác 1 
www.VNMATH.com
100 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng 
Trang 16 
 Û k 3> - 
 OABS d O AB k k
1 ( , ). 3
2D
= D = + Þ k k 3 2+ = Û k
k
1
1 3
é = -
ê = - ±ë
 Vậy có 3 đường thẳng thoả YCBT: ( )y x y x1; 1 3 ( 1)= - + = - ± - . 
Câu 46. Cho hàm số y x mx3 2= + + có đồ thị (Cm) 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = –3. 
 2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất. 
 · Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) với trục hoành: 
 x mx3 2 0+ + = m x x
x
2 2 ( 0)Û = - - ¹ 
 Xét hàm số: xf x x f x x
x x x
3
2
2 2
2 2 2 2( ) '( ) 2 - += - - Þ = - + = 
 Ta có bảng biến thiên: 
f x( )¢
f x( )
-¥ +¥
-¥
+¥
-¥ -¥ 
 Đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất m 3Û > - . 
Câu 47. Cho hàm số y x m x mx3 22 3( 1) 6 2= - + + - có đồ thị (Cm) 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 
 2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất. 
 · m1 3 1 3- < < + 
Câu 48. Cho hàm số y x x x3 26 9 6= - + - có đồ thị là (C). 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Định m để đường thẳng d y mx m( ) : 2 4= - - cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt. 
 · PT hoành độ giao điểm của (C) và (d): x x x mx m3 26 9 6 2 4- + - = - - 
 Û x x x m2( 2)( 4 1 ) 0- - + - = Û x
g x x x m2
2
( ) 4 1 0
é =
ê = - + - =ë
 (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt Û PT g x( ) 0= có 2 nghiệm phân biệt khác 2 Û m 3> - 
Câu 49. Cho hàm số y x x3 2– 3 1= + . 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Tìm m để đường thẳng (D): y m x m(2 1) – 4 –1= - cắt đồ thị (C) tại đúng hai điểm phân 
biệt. 
 · Phương trình hoành độ giao của (C) và (D): x x m x m3 2– 3 – (2 –1) 4 2 0+ + = 
 Û x x x m2( 2)( – – 2 –1) 0- = x
f x x x m2
2
( ) 2 1 0 (1)
é =
Û ê = - - - =ë
 (D) cắt (C) tại đúng 2 điểm phân biệt Û (1) phải có nghiệm x x1 2, thỏa mãn:
x x
x x
1 2
1 2
2
2
é ¹ =
ê = ¹ë
www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng 100 Khảo sát hàm số 
Trang 17 
 Û 
b
a
f
0
2
2
0
(2) 0
D
D
éì =ïêíê - ¹ïîê
êì >
íê =îë
 Û 
m
m
m
8 5 0
1 2
2
8 5 0
2 1 0
éì + =ïêíê ¹ïîê
ìê + >
íê - + =îë
 Û 
m
m
5
8
1
2
é
= -ê
ê
ê =
ë
 Vậy: m 5
8
= - ; m 1
2
= . 
Câu 50. Cho hàm số 3 23 2y x m x m= - + có đồ thị (Cm). 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 
 2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại đúng hai điểm phân biệt. 
 · Để (Cm) cắt trục hoành tại đúng hai điểm phân biệt thì (Cm) phải có 2 điểm cực trị 
 Þ 0¢=y có 2 nghiệm phân biệt 2 23 3 0x mÛ - = có 2 nghiệm phân biệt Û 0m ¹ 
 Khi đó ' 0y x m= Û = ± . 
 (Cm) cắt Ox tại đúng 2 điểm phân biệt Û yCĐ = 0 hoặc yCT = 0 
 Ta có: + 3( ) 0 2 2 0 0y m m m m- = Û + = Û = (loại) 
 + 3( ) 0 2 2 0 0 1y m m m m m= Û - + = Û = Ú = ± 
 Vậy: 1m = ± 
Câu 51. Cho hàm số y x mx m4 2 1= - + - có đồ thị là ( )mC 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m 8= . 
 2) Định m để đồ thị ( )mC cắt trục trục hoành tại bốn điểm phân biệt. 
 · m
m
1
2
ì >
í ¹î
Câu 52. Cho hàm số ( )4 22 1 2 1y x m x m= - + + + có đồ thị là ( )mC . 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi 0=m . 
 2) Định m để đồ thị ( )mC cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số 
cộng. 
 · Xét phương trình hoành độ giao điểm: ( )4 22 1 2 1 0x m x m- + + + = (1) 
 Đặt 2 , 0t x t= ³ thì (1) trở thành: ( )2( ) 2 1 2 1 0f t t m t m= - + + + = . 
 Để (Cm) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt thì f t( ) 0= phải có 2 nghiệm dương phân biệt 
 ( )
2' 0 1
2 1 0 2
02 1 0
m
m
S m
mP m
ìD = > ì > -ï ïÛ = + > Ûí í
ï ï ¹î= + >î
 (*) 
 Với (*), gọi 1 2t t< là 2 nghiệm của f t( ) 0= , khi đó hoành độ giao điểm của (Cm) với Ox lần 
lượt là: 1 2 2 1 3 1 4 2; ; ;x t x t x t x t= - = - = = 
 x x x x1 2 3 4, , , lập thành cấp số cộng 2 1 3 2 4 3 2 19x x x x x x t tÛ - = - = - Û = 
 ( ) ( )
45 4 4
1 9 1 5 4 1 45 4 4
9
=é= +é êÛ + + = + - Û = + Û Ûê ê- = + = -ë ë
mm m
m m m m m m
m m m
www.VNMATH.com
100 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng 
Trang 18 
 Vậy 44;
9
m ì ü= -í ý
î þ
 Câu hỏi tương tự đối với hàm số y x m x m4 22( 2) 2 3= - + + - - ĐS: m m 133,
9
= = - . 
Câu 53. Cho hàm số y x m x m4 2– (3 2) 3= + + có đồ thị là (Cm), m là tham số. 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 
 2) Tìm m để đường thẳng y 1= - cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ 
hơn 2. 
 · Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và đường thẳng y 1= - : 
 x m x m4 2– (3 2) 3 1+ + = - Û x m x m4 2– (3 2) 3 1 0+ + + = Û x
x m2
 1 
3 1 (*)
é = ±
ê = +ë
 Đường thẳng y 1= - cắt (Cm) tại 4 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2 khi và chỉ khi 
phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác ±1 và nhỏ hơn 2 
 Û 
m
m
0 3 1 4
3 1 1
ì < + <ï
í
+ ¹ïî
 Û 
m
m
1 1
3
0
ì
- < <ï
í
ï ¹î
Câu 54. Cho hàm số ( )4 22 1 2 1y x m x m= - + + + có đồ thị là (Cm), m là tham số. 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 
 2) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 3. 
 · Xét phương trình hoành độ giao điểm: ( )4 22 1 2 1 0x m x m- + + + = (1) 
 Đặt 2 , 0t x t= ³ thì (1) trở thành: ( )2( ) 2 1 2 1 0f t t m t m= - + + + = . 
 (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3 
 ( )f tÛ có 2 nghiệm phân biệt 1 2,t t sao cho: 1 2
1 2
0 3
0 3
t t
t t
= < <é
ê < < £ë
( )
( )
( )
2
2
' 0
' 0
3 4 4 0 1(0) 2 1 0 1
22 1 0
2 1 3
2 1 0
ìD = >
ìD = > ï
= - £ï ïÛ = + = Û = - Ú ³í í
= + >ï ï= + î
m
m
f m
f m m m
S m
S m
P m
 Vậy: 1 1
2
m m= - Ú ³ . 
Câu 55. Cho hàm số 4 2 2 42 2y x m x m m= - + + (1), với m là tham số. 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi 1m = .. 
 2) Chứng minh đồ thị hàm số (1) luôn cắt trục Ox tại ít nhất hai điểm phân biệt, với mọi 
0m < . 
 · Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (1) và trục Ox: 
 4 2 2 42 2 0x m x m m- + + = (1) 
 Đặt ( )2 0t x t= ³ , (1) trở thành : 2 2 42 2 0t m t m m- + + = (2) 
 Ta có : ' 2 0mD = - > và 22 0S m= > với mọi 0m > . Nên (2) có nghiệm dương 
 Þ (1) có ít nhất 2 nghiệm phân biệt Þ đồ thị hàm số (1) luôn cắt trục Ox tại ít nhất hai 
điểm phân biệt. 
www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng 100 Khảo sát hàm số 
Trang 19 
Câu 56. Cho hàm số xy
x
2 1
2
+
=
+
 có đồ thị là (C). 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Chứng minh rằng đường thẳng d: y x m= - + luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, 
B. Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất. 
 · PT hoành độ giao điểm của (C) và d: x x m
x
2 1
2
+
= - +
+
 Û x
f x x m x m2
2
( ) (4 ) 1 2 0 (1)
ì ¹ -
í
= + - + - =î
 Do (1) có m2 1 0D = + > và f m m m2( 2) ( 2) (4 ).( 2) 1 2 3 0,- = - + - - + - = - ¹ " 
 nên đường thẳng d luôn luôn cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt A, B. 
 Ta có: A A B By m x y m x;= - = - nên B A B AAB x x y y m
2 2 2 2( ) ( ) 2( 12)= - + - = + 
 Suy ra AB ngắn nhất Û AB2 nhỏ nhất Û m 0= . Khi đó: AB 24= . 
 Câu hỏi tương tự đối với hàm số: 
 a) 2
1
xy
x
-
=
-
 ĐS: m = 2 b) xy
x
1
2
-
= ĐS: m 1
2
= 
Câu 57. Cho hàm số 3
1
xy
x
-
=
+
. 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm ( 1;1)-I và cắt đồ thị (C) tại hai điểm M, N 
sao cho I là trung điểm của đoạn MN. 
 · Phương trình đường thẳng ( ): 1 1d y k x= + + 
 d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M, N 3 1
1
-
Û = + +
+
x kx k
x
 có 2 nghiệm phân biệt khác 1- . 
 Û 2( ) 2 4 0= + + + =f x kx kx k có 2 nghiệm phân biệt khác 1- 
 Û 
0
4 0 0
( 1) 4 0
¹ì
ïD = - > Û <í
ï - = ¹î
k
k k
f
 Mặt khác: 2 2M N Ix x x+ = - = Û I là trung điểm MN với 0k" < . 
 Kết luận: Phương trình đường thẳng cần tìm là 1y kx k= + + với 0k < . 
Câu 58. Cho hàm số 2 4
1
xy
x
+
=
-
 (C). 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Gọi (d) là đường thẳng qua A(1; 1) và có hệ số góc k. Tìm k để (d) cắt (C) tại hai điểm M, 
N sao cho 3 10MN = . 
 · Phương trình đường thẳng ( ) : ( 1) 1.d y k x= - + 
 Bài toán trở thành: Tìm k để hệ phương trình sau có hai nghiệm 1 1 2 2( ; ), ( ; )x y x y phân biệt 
sao cho ( ) ( )2 22 1 2 1 90- + - =x x y y (a) 
2 4 ( 1) 1
1
( 1) 1
+ì = - +ï
- +í
ï = - +î
x k x
x
y k x
 (I). Ta có: 
2 (2 3) 3 0
( )
( 1) 1
kx k x k
I
y k x
ì - - + + =
Û í
= - +î
www.VNMATH.com
100 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng 
Trang 20 
 (I) có hai nghiệm phân biệt Û PT 2 (2 3) 3 0 ( )- - + + =kx k x k b có hai nghiệm phân biệt. 
 Û 30, .
8
k k¹ < 
 Ta biến đổi (a) trở thành: ( ) ( )2 22 22 1 2 1 2 1(1 ) 90 (1 ) 4 90é ù+ - = Û + + - =ë ûk x x k x x x x (c) 
 Theo định lí Viet cho (b) ta có: 1 2 1 2
2 3 3, ,k kx x x x
k k
- +
+ = = thế vào (c) ta có phương 
trình: 3 2 28 27 8 3 0 ( 3)(8 3 1) 0k k k k k k+ + - = Û + + - = 
 3 41 3 413; ;
16 16
- + - -
Û = - = =k k k . 
 Kết luận: Vậy có 3 giá trị của k thoả mãn như trên. 
Câu 59. Cho hàm số 2 2
1
xy
x
-
=
+
 (C). 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Tìm m để đường thẳng (d): y x m2= + cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho 
5=AB . 
 · PT hoành độ giao điểm: 2 2 2
1
-
= +
+
x x m
x
 Û x mx m x22 2 0 ( 1)+ + + = ¹ - (1) 
 d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B Û (1) có 2 nghiệm phân biệt x x1 2, khác –1 
 Û m m2 8 16 0 - - > (2) 
 Khi đó ta có: 
1 2
1 2
2
2
2
mx x
mx x
ì + = -ïï
í +ï =
ïî
. Gọi ( ) ( )A x x m B x x m1 1 2 2;2 , ;2 + + . 
 AB2 = 5 Û 2 21 2 1 2( ) 4( ) 5x x x x- + - = Û 
2
1 2 1 2( ) 4 1xx x x+ - = Û m m
2 8 20 0- - =