Ứng dụng đạo hàm trong các bài toán chứa tham số

số nghiệm của phương trình tuỳ thuộc vào giá trị m như sau :
 m ≤ -1 hoặc m > phương trình vô nghiệm
 -1<m≤ 1hoặc m = Phương trình có một nghiệm
 1 < m < Phương trình có hai ngiệm phân biệt
 Ví dụ 2 : Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : 
 Giải : 
 * Phương trình xác định với mọi x ỴR
 Phương trình đưa về dạng 
 Nhân hai vế phương trình với ta được : (1)
 * Dễ thấy x = 0 là một nghiệm của phương trình (1)
 * x≠ 0 , chia hai vế x2 , đưa phương trình về dạng :
 * Xét hàm số , trên . Hàm số liên tục trên từng khoảng xác định
 * Dễ dàng tính được và 
 Þ Hàm số nghịch biến trên các khoảng 
 Bảng biến thiên 
 x - 0 +
 f’(x) - -
 -1 + 
 f(x)
 - 1
 Dựa vào bảng biến thiên, số nghiệm phương trình 1 tuỳ theo giá trị m như sau:
 m 1 Phưong trình có 1 nghiệm
 -1 ≤ m ≤ 1 Phương trình vô nghiệm
 Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m phương trình sau luôn có hai nghiệm thực phân biệt ( Đề ĐH khối B -2007)
 Giải 
 * Giả thiết m>0 , do đó điều kiện 
 * Với Þ x2 +2x +8 ≥ 0, bình phương hai vế phương trình ta được:
 (1)
 Phương trình (1) luôn có một nghiệm x= 2
 * Xét hàm số f(x) = (x+4)2(x-2) = x3+ 2x2 + 8x - 32 trên ( 2; +¥ ), là hàm số liên tục
 Ta có Þ hàm số luôn đồng biến
 f(2) = 0, .
 Bảng biến thiên :
 x 0 2 +¥ 
 f’(x) +
 +¥
 f(x) 0
 -32
 Dựa vào bảng biến thiên, dễ thấy với m > 0 đồ thị hàm số y= m cắt đồ thị y = f(x) tại một điểm duy nhất , do đó với m > 0 phương trình (2) luôn có nghiệm duy nhất .
 Vậy, với m > 0 phương trình đã cho có đúng hai nghiệm thực dương phân biệt
 F Nhận xét : Những bài toán tương tự thế này học sinh thường mắc lỗi khi không xác định giá trị giới hạn của hàm số khi x tiến ra hoặc x tiến đến giá trị không xác định của hàm số . Do đó ta cần nhấn mạnh phải kiểm tra giới hạn của hàm số trước khi lập bảng biến thiên .
 * Tiếp theo ta xét thêm các bài toán phải đặt ẩn phụ
 Ví dụ 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: (1)
 Giải:
 Nhận xét: Trong một phương trình chứa tổng và tích, thông thường ta đặt t bằng tổng khi đó tích có thể biểu diễn qua tổng. Điều này có thể khắc sâu trong lối mòn tư duy cho học sinh. Bài toán trên có thể giải như sau:
 * Điều kiện xác định của phương trình : 
 * Đặt 
 Vì t là hàm số theo x, nên ngoài cách tìm điều kiện của t qua đánh giá chúng ta có thể sử dung đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của t
 Ta có : ; trên đoạn , 
 Bảng biến thiên :
 x -3 6
 t’(x) + 0 - 
 t(x)
 3 3
 Dựa vào bảng biến thiên ta có điều kiện t 
 Ta có phương trình theo t: (2)
 * Xét hàm số trên đoạn 
 do đó hàm số nghịch biên trên đoạn ; 
 Þ 
 Phương trình (1) có nghiệm Û phương trình (2) có nghiệm trên đoạn 
 Điều đó có khi 
 Ví dụ 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
 (1)
 Giải:
 Nhận xét: Bài toán chứa hiệu và tích của . Do đó có thể đặt t bằng hiệu, tích hoàn toàn có thể biểu diễn qua hiệu.
 * Điều kiện: 
 * Đặt ; t≥ 0
 Vậy điều kiện theo t : 
 Ta có phương trình theo t : m(t+2) = 2-t2 +t 
 (2)
 * Xét , trên đoạn . Hàm số liên tục
 Þ trên , f’(t) < 0 , hàm số nghịch biến trên 
 Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm trên đoạn . Điều đó có khi 
 Ví dụ 6: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: (1)
 Giải :
 * Điều kiện x ≥ 1
 * Đặt . Ta có phương trình theo t 
 m =-3t2 +2t (2)
 * Xét f(t) = -3t2 +2t trên ; f’(t)= -6t+2 , f’(t) =0 Þ 
 Bảng biến thiên 
 x 0 1
 f’(t) + 0 -
 f(t)
 0 -1
 (1) có nghiệm khi phương trình (2) có nghiệm trên nửa khoảng . Dựa vào bảng biến thiên, điều đó có khi 
 3/ Dạng phương trình mũ và logarít
 Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 
 (1)
 có hai nghiệm thoả mãn điều kiện 
 Giải :
 * Điều kiện x > 2
 * Đặt ; 
 Ta có phương trình theo t: (m-1)t2 – (m-5)t +m-1 = 0
 Û (t2 - t+1)m = t2 -5t+1
 Û (2)
 *Xét hàm trên khoảng .
 f(t) là hàm số liên tục và xác định trên 
 ; , trên f’(t)=0 Þ t=1
 Ta có bảng biến thiên 
 t -1 1 +¥
 f’(t) 0 - 0 + 
 1
 f(t) -3 
 (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả , khi (2) có hai nghiệm t1, t2 thoả 
 -1< t1≤t2 . Dựa bào bảng biến thiên ta được -3≤ m <1
 Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
 (1)
 Giải: 
 * Điều kiện : 
 * Đặt , 3≤ t ≤ 9
 Ta có phương trình theo t:
 (*) 
 Vì 3≤ t ≤ 9 nên t-2 ≠ 0 (*) 
 * Xét ; trên . Ta có ; f’(t) =0 Þ t=1 hoặc t=3
 Trên đoạn , Ta có bảng biến thiên
 t 3 9 
 f’(t) 0 +
 f(t) 
 4
 Phương trình (1) có nghiệm Û (2) có nghiệm tỴ
 Dựa vào bảng biến thiên, ta được 
 4/ Dạng phương trình lượng giác
 Ví dụ 1: Cho phương trình 
 Xác định m để phương trình trên có nhiều hơn một nghiệm thuộc đoạn 
 Giải :
 * Biến đổi phương trình về dạng : 
 * Với 
 * Đặt t = cos2x 
 Ta có phương trình theo t: -2t3 –t2 +8t = m
 * Xét hàm số f(t)= -2t3 –t2 +8t ; 
 Ta có f’(t) = -3t2 -2t +8 ; f’(t) = 0 Þ t=1 hoặc t=
 Do đó "t
 Þ f(t) đồng biến trên đoạn 
 * Bảng biến thiên: 
 t 
 f’(t) + 
 f(t) 
 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình theo t có đúng một 
 Vì mỗi , tương ứng duy nhất một giá trị x Ỵ
 Vậy không tồn tại giá trị m để phương trình đã cho có nhiều hơn một nghiệm thuộc .
 Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
 Giải:
 * Điều kiện 
 * Biến đổi lượng giác ta được 
 Do đó phương trình viết thành :
 (1)
 * Đặt t= sin2x thì tỴ (-1;1) ( do cos2x ≠ 0 ) và ta có phương trình 3t2 +8mt -4 = 0 (2)
 Để phương trình (1) có nghiệm thì (2) có nghiệm tỴ (-1;1) 
 Vì t = 0 không là nghiệm của (2) nên (2) 
 * Xét hàm số trên 
 Đạo hàm 
 * Ta có bảng biếng thiên:
 t -1 0 1 
 f’(t) - -
 +¥ 
 -¥ 
 Dựa vào bảng biến thiên thì khi thì phương trình sẽ có nghiệm
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
 1/ Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 
 Có ba nghiệm dương phân biệt
 2/ Tìm m để phương trình : (x2+2x)2 –(m+1) (x2+2x)+m +1=0 có 3nghiệm phân biệt x
 3/ Chứng minh rằng với n là số tự nhiên chẵn và a là số lớn hơn ba thì phương trình
 Vô nghiệm
 4/ Tìm các giá trị m để phương trình sau có đung hai nghiệm thực phân biệt: 
 ( ĐH Khối A 2008)
 5/ Tìm m để phương trình sau sau có nghiệm 
 6/ Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 
 7/ Tìm m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 
 8/ Tìm m để phương trình : 
 có nghiệm thuộc nửa khoảng 
 9/ Cho phương trình : 
 Xác định m để phương trình có duy nhất một nghiệm thuộc đoạn 
II/ SỬ DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ XÉT NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA THAM SỐ
 1/ Bất phương trình vô tỉ
 Ví dụ 1 : Tìm m để bất phương trình : (1)
 có nghiệm thuộc đoạn ( Đề dự bị ĐH Khối A 2007 )
 Giải
 * Vì x2-2x +2 =(x-1)2+1 ≥1 , nên bất phương trình xác định với mọi x
 Bất phương trình được viết lại dạng 
 * Đặt , (t≥1); 
 Ta có bất phương trình theo t: (2)
 * Xét hàm số trên đoạn 
 Ta có Þ f(t) đồng biến trên đoạn 
 Phương trình (1) có nghiệm trên Û (2) có nghiệm trên đoạn 
 Điều đó có khi 
 Ví dụ 2 : Tìm m để bất phương trình có nghiệm
 Giải :
 * Điều kiện x ≥ 1
 * Û (1)
 * Xét các hàm số 
 + h(x)= x3 +3x2 +1, xác định trên và h’(x)= 3x2 +6x Þ h’(x) >0 ,"xỴ 
 Þ h(x) đồng biến trên 
 + , xác đinh trên , 
 Þ g(x) đồng viến trên 
 Do đó hàm số f(x)= h(x).g(x) đồng biến trên 
 Bất phương trình (1) có nghiệm Û 
 2/ Bất phương trình mũ và logarit
 Ví dụ 1 : Tìm tất cả các giá trị tham số m để bất phương trình 
 nghiệm đúng với mọi x thuộc R
 Giải 
 * Bất phương trình các định với mọi x thuộc R
 * Đặt t = 2x , (t >0)
 * Ta có bất phương trình theo t: mt2 +4(m-1)t +m-1 >0 Û (t2 + 4t +1)m > 4t+1
 Với t >0 thì t2+4t+1 >0. Chia hai vế bất phương trình với t ta được 
 * Xét hàm số , trên khoảng 
 Dễ thấy 
 Ta có Þ f(t) giảm trên 
 * Bảng biến thiên : 
 t 0 +
 f’(t) - 
 1
 f(t)
 0
 Dựa vào bảng biến thiên
 Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x Û (2) nghiệm đúng "t > 0
 Điều đó có khi m >1
 Ví dụ2 : Cho bất phương trình : (1)
 Tìm tất cả các giá trị tham số m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thoả 
 Giải 
 * Bất phương trình (1) xác định "xỴR
 * Chai hai vế cho , ta được
 * Xét hàm số g(x) = 2x2 –x , g’(x) = 4x-1; g’(x) = 0 Û x=1/4
 Trên , ta có bảng biến thiên 
 x - + 
 f’(x) - 0 + 
 + + 
 f(x)
 1 0
 Þ g(x) ≥ 0, "x thoả 
 * Đặt , vì nên t≥1
 * Ta có bất phương trình mt2 – (2m+1)t +m ≤ 0 Û (t-1)2m ≤ 2t
 t=1 là một nghiệm của bất phương trình 
 t> 1, (t-1)2 >0. Chia hai vế bất phương trình cho (t-1)2 ta được 
 (2)
 * Xét hàm số , Hàm số f(t) liên tục trên (1; +¥)
 * 
 Þ Hàm số nghịch biến trên (1; +¥) 
 * Bảng biến thiên 
 t 1 + 
 f’(t) - 
 +
 f(t)
 0
 Dựa bào bảng biến thiên
 Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x thoả 
 Û (2) nghiệm đúng với mọi t≥1. Điều đó có khi m > 0 
 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: 
 1/ Tìm m để bất phương trình 
 Nghiệm đúng với mọi x thuộc 
 2/ Cho bất phương trình 
 Tìm tất cả các giá trị tham số m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x≤ 0
 3/ Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x
 a/ ; 
 b/ 
 c/ 
 4/ Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x thoả 
 III/DÙNG ĐẠO HÀM ĐỂ XÉT NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA THAM SỐ
 1