Tuyển tập Đề thi vào lớp 10 các trường chuyên - năng khiếu năm học 2013 - 2014 - Trần Trung Chính

   
 
 
 
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được: 
1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 3
S
4 3a 3b 3c a b c 4 3 a b c a b c
    
                  
 (3) 
Áp dụng (1), (2) vào bất đẳng thức (3) trên ta được: 
1 1 3 1
S S
4 3 9 6
 
    
 
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 3. 
----- HẾT ----- 
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN - NĂNG KHIẾU, NĂM HỌC 2013 - 2014. 
Trần Trung Chính (Sưu tầm). 
ĐỀ SỐ 38 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 
 NAM ĐỊNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG 
 NĂM HỌC 2013 - 2014 
 ĐỀ CHÍNH THỨC 
Môn: Toán (chung) 
(Dành cho thí sinh đăng ký thi chuyên) 
Thời gian làm bài: 120 phút. 
Đề thi này có 01 trang 
Câu 1: (1,5 điểm) 
 1. Cho phương trình: x2 + 4x - m = 0. Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm. 
 2. Tìm tọa độ của điểm thuộc đồ thị hàm số y = 4x2. Biết rằng điểm đó có tung độ bằng 4. 
 3. Cho hàm số y = (m + 5)x + 3m (với m ≠ -5). Tìm m để hàm số đồng biến trển R. 
 4. Cho đường tròn đường kính BC = 5cm và điểm A thuộc đường tròn đó sao cho AC = 4cm. 
 Tính tan ABC ? 
Câu 2: (2,0 điểm) 
 Cho biểu thức: 
33 3x 1 3x 1
M 3 :
x 4x 3 x
  
  
   
 với x > 0 
 1. Rút gọn M. 
 2. Chứng minh rằng với x > 0 thì M ≥ 4. Tìm x để M = 4. 
Câu 3: (2,5 điểm) 
 1. Tìm hai số dương biết rằng tích của hai số đó bằng 180 và nếu tăng số thứ nhất thêm 5 đơn 
 vị đồng thời bớt số thứ hai đi 3 đơn vị thì tích hai số mới vẫn bằng 180. 
 2. Cho hệ phương trinh: 
 
 
2 x y m x 2m 2
m 5x 5y 2 x m
    

  
 (1) 
 a) Giải hệ phươn trình khi m = 1. 
 b) Chứng minh rằng nghiệm (x; y) của hệ phương trình thỏa mãn: 
(x + y - 1)(5x + 5y - 1) = 2|x| - x
2
. 
Câu 4: (3,0 điểm) 
 Cho tam giác ABC nhọn. Nửa đường tròn đường kính AB cắt các đoạn thẳng CA, CB lần lượt 
 tại M, N (khác A, B). Gọi H là giao điểm của AN và BM. 
 1. Chứng minh tứ giác CMHN nội tiếp và   0BAC NAM 90 .  
 2. Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Kẻ đường kính CD của đường tròn (O). 
 Chứng minh: AH = BD. 
 3. Gọi I là trung điểm của AB. Đường thẳng đi qua H và vuông góc với H cắt các cạnh CA, CB 
 lần lượt tại P, Q. Chứng minh H là trung điểm của PQ. 
Câu 5: (1,0 điểm) 
 Tìm x và y thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện sau: 
x < y + 2 và x
4
 + y
4
 - (x
2
 + y
2
)(xy + 3x - 3y) = 2(x
3
 - y
3
 - 3x
2
 - 3y
2
) 
............. Hết ............. 
Họ và tên thí sinh: ............................................................ Số báo danh: ........................... 
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! 
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN - NĂNG KHIẾU, NĂM HỌC 2013 - 2014. 
Trần Trung Chính (Sưu tầm). 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 
 NAM ĐỊNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG 
 NĂM HỌC 2013 - 2014 
 ĐỀ CHÍNH THỨC 
Môn: Toán (chuyên) 
(Dành cho thí sinh đăng ký thi chuyên) 
Thời gian làm bài: 150 phút. 
Không kể thời gian giao đề 
Câu 1: (2,0 điểm) 
 1. Cho đa thức: P(x) = 2(x - 1)5 + 3(x + 1)3 - 4(x + 2)2. Nếu viết P(x) dưới dạng: 
P(x) = ax
5
 + bx
4
 + cx
3
 + dx
2
 + ex + f 
 Hãy tính tổng: S = a + b + c + d + e + f. 
 2. Cho các số a, b, c, x, y, z thỏa mãn x = by + cz; y = ax + cz; z = ax + by; x + y + z ≠ 0. 
 Chứng minh rằng: 
1 1 1
1 a 1 b 1 c
 
  
 = 2. 
Câu 2: (2,5 điểm) 
 1. Giải phương trình: 2 x 1 x x 2    
 2. Giải hệ phương trình: 
3 2
3 2
x y 5y 8y 3
y 2x 10x 16x 9
    

    
Câu 3: (3,5 điểm) 
 1. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O; R), có đường cao AA'. Gọi E, F lần lượt là 
 hình chiếu của A' trên AB, AC và J là giao điểm của EF với đường kính AD của đường tròn 
 (O; R). 
 a. Chứng minh rằng tứ giác BEJD là tứ giác nội tiếp và A'A2 = AJ.AD 
 b. Giả sử (O; R) cố định, A' là điểm cố định, hai điểm B, C di động trên đường tròn (O; R) và 
 A'A = R 2 . Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định. 
 2. Trên mặt phẳng cho lục giác lồi A1A2A3A4A5A6. Biết rằng mỗi đỉnh đều nhìn các cạnh 
 không đi qua nó dưới cùng một góc. Chứng minh rằng lục giác đã cho là lục giác đều. 
Câu 4: (1,0 điểm) 
 Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn phương trình: 
(x + y)(x + y - xy - 2) = 3 - 2xy 
Câu 5: (1,0 điểm) 
 Cho 9 số nguyên dương lớn hơn 1, đôi một khác nhau và có tính chất: Ước nguyên của mỗi số 
 trong chúng thuộc tập {3; 5; 7}. Chứng minh rằng trong 9 số đó luôn tồn tại 2 số mà tích của 
 chúng là một số chính phương. 
. 
............ Hết ............. 
Họ và tên thí sinh: ............................................................ Số báo danh: ........................... 
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! 
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN - NĂNG KHIẾU, NĂM HỌC 2013 - 2014. 
Trần Trung Chính (Sưu tầm). 
ĐỀ SỐ 39 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 
 HÀ NAM TRƯỜNG THPT CHUYÊN BIÊN HÒA - HÀ NAM 
 NĂM HỌC 2013 - 2014 
 ĐỀ CHÍNH THỨC 
Môn: Toán 
Thời gian làm bài: 150 phút. 
Không kể thời gian giao đề 
Câu 1: Cho biểu thức: 
   2 a a 2a 3b 3b 2 a 3b 2a 2
M
a 2 3ab
    


. 
 a) Tìm điều kiện của a, b để M xác định và rút gọn M. 
 b) Tính giá trị của M khi 
11 8
a 1 3 2; b 10
3
    
Câu 2: Cho phương trình: x3 - 5x2 + (2m + 5)x - 4m + 2 = 0 (m là tham số) 
 a) Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt x1, x2, x3. 
 b) Tìm m để 2 2 21 2 3x x x 11   . 
Câu 3: Cho số nguyên n và các số A 44 ... 44
2n ch÷ sè 4
 và B 88 ... 88
n ch÷ sè 8
. Chứng minh rằng: A + 2B + 4 là số 
 chính phương. 
Câu 4: Cho đường tròn (O) và đường thẳng d cắt (O) tại hai điểm C, D. Từ điểm M tùy ý trên d kẻ các 
 tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm CD. 
 a) Chứng minh tứ giác MAIB nội tiếp. 
 b) Giả sử MO và AB cắt nhau tại H. Chứng minh H thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác 
 COD. 
 c) Chứng minh AB đi qua 1 điểm cố định khi M thay đổi trên d. 
 d) Chứng minh: 
2
2
MD HA
MC HC
 
Câu 5: Cho 3 số dương a, b, c và a + b + c = 2013. Chứng minh: 
a b c
1
a 2013a bc b 2013b ac c 2013c ab
  
     
. 
 Chỉ rõ dấu đẳng thức xảy ra khi nào? 
............. Hết ............. 
Họ và tên thí sinh: ............................................................ Số báo danh: ........................... 
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN - NĂNG KHIẾU, NĂM HỌC 2013 - 2014. 
Trần Trung Chính (Sưu tầm). 
ĐÁP ÁN MÔN TOÁN 
ĐỀ THI VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN BIÊN HÒA - HÀ NAM 
NĂM HỌC 2013 - 2014 
Câu 1: 
a) 
   
 
2 a a 2a 3b 3b 2 a 3b 2a 2 2a 2a 2 2 3ab 2 3ab 3b 2a 2
M
a 2 3ab a 2a 3b
         
 
 
 
  
 
2a 3b 2a 3b2a 3b 2a 3b 3b
2
aaa 2a 3b a 2a 3b
  
    
 
b) Thay 
11 8
a 1 3 2; b 10
3
    
  30 22 2 3 2 13b 30 22 2
a 18 11 3 2
 
  

  
290 2 30 132 22 2 102 68 2
6 4 2 2 2 2 2
17 17
   
        
Suy ra: M =  2 2 2 2.    
Câu 2: 
a) x
3
 - 5x
2
 + (2m + 5)x - 4m + 2 = 0 
 (x - 2)(x2 - 3x) + (2m - 1)(x - 2) = 0 
 (x - 2)(x2 - 3x + 2m - 1) = 0 
 
 2
x 2 0 1
2x 3x 2m 1 0
 
 
   
Để phương trình có 3 nghiệm phân biệt x1, x2, x3 thì phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt 
13
9 8m 4 0 m
8
       . 
b) Gọi x1, x2 là nghiệm của (2). 
Khi đó: 
 
21 2 2 2
1 2 1 2 1 2
1 2
x x 3
x x x x 2x x 11 6m
x x 2m 1
 
      
 
Vì x3 = 2 nên 
2 2 2
1 2 3
2
x x x 11 15 6m 11 m
3
        (thỏa mãn) 
Câu 3: 
2n10 1
A 44 ... 44 4.11 ... 111 4. .
9

   
2n ch÷ sè 4 2n ch÷ sè 4
n10 1
B 88 ... 88 8.11 ... 111 8.
9

   
n ch÷ sè 8 n ch÷ sè 8
Suy ra: 
 
2
n2n n 2n n 2 10 210 1 10 1 10 10 16
A 2B 4 4. 16. 4 4. 16.
9 9 9 9 9 3
  
         
  
Vì n10 2 3  nên A + 2B + 4 là một số chính phương. 
Câu 4: 
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN - NĂNG KHIẾU, NĂM HỌC 2013 - 2014. 
Trần Trung Chính (Sưu tầm). 
J
H
I
B
A
M DCd
O
a) Vì I là trung điểm của CD nên OI  CD và MA, MB là tiếp tuyến. 
Suy ra:    0MAO MBO MIO 90   
Do đó: 5 điểm M, A, I, O, B cùng nằm trên đường trong đường kính MO hay tứ giác MAIB nội tiếp. 
b)  MAC MDA  MAC ∽MDA (g.g) 
MA MC
MD MA
  
Hay 
MA
2
 = MC. MD (1) 
 OMA OMB ; MA = MB (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) 
Suy ra: MAB cân tại M có MO là đường phân giác. 
Do đó: MO là đường cao (tính chất tam giác cân) 
 MO  AH. 
Áp dụng hệ thức cạnh và góc cho tam giác vuông MAO, đường cao AH, ta có: 
MA
2
 = MH.MO (2) 
Từ (1) và (2), suy ra: MO.MH = MC.MD 
MO MD
MC MH
  
MOD ∽MCH (c.g.c)  MCH MOD  
Nên tứ giác ODCH nội tiếp (góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối) 
Hay 
H nằm trên đường tròn ngoại tiếp OCD. 
c) Gọi K, J là giao điểm của AB với OI và CD. 
Ta có: OIM ∽OHK (g.g) 
OI OM
OH OK
  hay OI.OK = OM.OH 
Mà OM.OH = OA
2
 = R
2
 không đổi do CD cố định OI  CD nên OI không đổi. 
Mà OI.OK = R
2
 nên OK không đổi do K cố định. 
Vậy khi M di động trên đường thẳng d thì AB đi qua điểm K cố định. 
d) MC.MD = MA
2
2
2
MD MA
MC MC
  (3) 
Mà 
MA MO MO
HA OA OD
  (MAH ∽MOA) và 
MO MC
OD HC
 (MOD ∽MCH) 
Suy ra: 
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN - NĂNG KHIẾU, NĂM HỌC 2013 - 2014. 
Trần Trung Chính (Sưu tầm). 
MA MC MA HA
HA HC MC HC
   hay 
2 2
2 2
MA HA
MC HC
 (4) 
Từ (3) và (4) ta có: 
2
2
MD HA
MC HC
 
Câu 5: 
Vì a, b, c là số dương nên theo bất đẳng thức Bunyacovski: 
Ta có:        
2
ab ac a b a c a b a c ab ac         
Do vậy: 
      a 2013a bc a a a b c bca a b c a a ab ac a a b c