Đề thi vào lớp 10 chuyên Nguyễn Trãi - Hải Dương Môn thi : Toán (chuyên) * Khóa thi : 2003 - 2004

ĐỀ THI VÀO LỚP 10 
CHUYÊN NGUYỄN TRÃI - HẢI DƯƠNG
* Môn thi : Toán (chuyên) * Thời gian : 150 phút * Khóa thi : 2003 - 2004
Bài 1 : (1,5 điểm) 
Cho hai số dương a và b. Xét tập hợp T bao gồm các số có dạng : 
T = {ax + by, x > 0 ; y > 0 ; x + y = 1}. 
Chứng minh rằng các số : 
đều thuộc tập T. 
Bài 2 : (2,0 điểm) 
Cho ΔABC, D và E là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp ΔABC với các cạnh AB, AC. Chứng minh đường phân giác trong của góc B, đường trung bình (song song với cạnh AB) của ΔABC và đường thẳng DE đồng quy. 
Bài 3 : (2,5 điểm) 
1) Giải hệ phương trình : 
2) Tìm các số hữu tỉ a, b, c sao cho các số : a + 1/b , b + 1/c , c + 1/a là các số nguyên dương. 
Bài 4 : (1,0 điểm) 
Tìm các đa thức f(x) và g(x) với hệ số nguyên sao cho : 
Bài 5 : (1,5 điểm) 
Tìm số nguyên tố p để 4p2 + 1 và 6p2 + 1 là các số nguyên tố. 
Bài 6 : (1,5 điểm) 
Cho phương trình x2 + ax + b = 0, có hai nghiệm là x1 và x2 (x1 ≠ x2), đặt un = (x1n - x2n)/(x1 - x2) (n là số tự nhiên). Tìm giá trị của a và b sao cho đẳng thức : un + 1un + 2 - unun + 3 = (-1)n với mọi số tự nhiên n, 
từ đó => un + un + 1 = un + 2.