Tuyển tập Đề thi Cao học môn Toán (năm 1998 – 2008)

 S(n) lµ tËp con c¸c ma trËn ®èi
xøng vµ A(n) lµ tËp con c¸c ma trËn ph¶n ®èi xøng cña M(n,R).
a) Chøng minh r»ng, S(n) vµ A(n) lµ nh÷ng kh«ng gian con cña M(n,R)
vµ x¸c ®Þnh sè chiÒu cña chóng.
b) Chøng tá M(n,R) = S(n)⊕A(n).
C©u 4. XÐt kh«ng gian vector Kn gåm c¸c bé n phÇn tö cña tr­êng K (n lµ
sè nguyªn d­¬ng). Chøng minh r»ng,
a) TËp nghiÖm cña mét hÖ ph­¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt n Èn, h¹ng
r víi c¸c hÖ tö thuéc tr­êng K lËp thµnh mét kh«ng gian con cña Kn cã sè
chiÒu lµ d = n− r.
b) Víi mäi kh«ng gian con W cña Kn sao cho dimW = d, tån t¹i mét hÖ
ph­¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt n Èn, h¹ng r = n − d víi hÖ tö thuéc K
sao cho tËp nghiÖm trïng víi kh«ng gian con ®· cho./.
18
bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o
®¹i häc huÕ
Hä vµ tªn thÝ sinh:.....................................
Sè b¸o danh:........................
Kú thi tuyÓn sinh sau ®¹i häc n¨m 2007
M«n thi: Gi¶i tÝch
(Dµnh cho Cao häc)
Thêi gian lµm bµi: 180phót
C©u I.
a. T×m miÒn héi tô cña chuçi hµm :
∞∑
n=1
1
n lnn x
.
b. Kh¶o s¸t sù héi tô ®Òu cña chuçi hµm
∞∑
n=1
1
(x+ n)(x+ n+ 1)
trªn miÒn (0;+∞).
c. TÝnh tÝch ph©n: ∫∫
D
(x2 + y2)dxdy
trong ®ã: D = {(x; y) ∈ R2/2ax 6 x2 + y2 6 2bx}, 0 < a < b.
C©u II. Cho X lµ tËp gåm tÊt c¶ c¸c tËp con compact kh¸c ∅ cña R.
a. Víi mäi x ∈ R, ®Æt d(x,A) = inf{|x − y| : y ∈ A}. Chøng minh r»ng, víi mäi
x ∈ R, A ∈ X , tån t¹i x0 ∈ A sao cho |x− x0| = d(x,A).
b. Gäi d : X ×X → R lµ ¸nh x¹ ®−îc x¸c ®Þnh nh− sau:
d(A,B) := inf{δ : A ⊂ Bδ, B ⊂ Aδ},
trong ®ã, Aδ = inf{x ∈ R : d(x,A) 6 δ}. Chøng minh r»ng d lµ mét metric trªn X .
C©u III. Ký hiÖu X = C[0,2] lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn c¸c hµm sè liªn tôc trªn [0, 2] víi
chuÈn:
‖x‖ = max{|x(t)| : t ∈ [0, 2]}
vµ kh«ng gian con Y = x ∈ X : x(0) = 0 cña X .
Cho ¸nh x¹ A : X → Y, x 7→ Ax x¸c ®Þnh bëi:
Ax(t) =
t∫
0
x(s)ds; t ∈ [0, 2]
a. Chøng minh r»ng A lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc tõ X vµo Y .
b. TÝnh ‖A‖. ¸nh x¹ A cã ph¶i lµ mét toµn ¸nh kh«ng ?
C©u IV. Cho kh«ng gian Hilbert phøc H vµ tËp hîp {φn|n ∈ N} ⊂ H tháa m·n ‖φn‖ = 1
víi mäi n ∈ N vµ sao cho víi mäi f ∈ H , ta cã:
‖f‖2 =
∞∑
n=1
|〈f, φn〉|2.
Chøng minh r»ng:
a. {φn|n ∈ N} lµ mét c¬ së trùc chuÈn cña H .
b. D·y (φn)n∈N héi tô yÕu ®Õn 0.
bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o
®¹i häc huÕ
Hä vµ tªn thÝ sinh:.....................................
Sè b¸o danh:........................
Kú thi tuyÓn sinh sau ®¹i häc n¨m 2007
M«n thi: ®¹i sè
(Dµnh cho Cao häc)
Thêi gian lµm bµi: 180phót
C©u I.
1. Cho x1, x2, . . . , xn lµ c¸c vect¬ kh¸c kh«ng cña mét kh«ng gian vect¬ vµ A lµ mét phÐp
biÕn ®æi tuyÕn tÝnh cña kh«ng gian vect¬ ®ã sao cho:
Ax1 = x1, Axk = xk + xk−1, k = 2, 3, . . . , n.
Chøng minh r»ng c¸c vect¬ x1, x2, . . . , xn ®éc lËp tuyÕn tÝnh.
2. Cho B lµ ma trËn vu«ng cÊp n x¸c ®Þnh trªn tr−êng F sao cho Bk = 0, víi k lµ mét
sè tù nhiªn nµo ®ã. T×m (En −B)−1, trong ®ã En lµ ma trËn vu«ng ®¬n vÞ cÊp n.
3. TÝnh
(
0 1
−1 0
)2000
víi
(
0 1
−1 0
)
lµ ma trËn x¸c ®Þnh trªn tr−êng F .
C©u II.
1. Cho ϕ vµ ψ lµ hai tù ®ång cÊu cña mét kh«ng gian vect¬ h÷u h¹n chiÒu trªn tr−êng sè
phøc C sao cho ϕ ◦ ψ = ψ ◦ ϕ. Chøng minh r»ng ϕ vµ ψ cã chung mét vect¬ riªng.
2. Cho E lµ mét kh«ng gian vect¬ Euclid h÷u h¹n chiÒu vµ (v1, v2, . . . , vn) lµ mét hÖ trùc
chuÈn trong E. Chøng minh r»ng nÕu víi mäi v ∈ E ta ®Òu cã:
|v|2 =
n∑
i=1
〈v, vi〉2
th× (v1, v2, . . . , vn) lµ mét c¬ së cña E.
C©u III. Cho G lµ mét nhãm nh©n h÷u h¹n sao cho G cã mét tù ®¼ng cÊu ϕ tháa
ϕ(a) 6= a,∀a 6= 1G. Chøng minh r»ng:
1. Víi mäi α ∈ G tån t¹i g ∈ G sao cho α = g−1ϕ(g);
2. NÕu ϕ cã cÊp b»ng 2, tøc lµ ϕ 6= id vµ ϕ2 = id, th× ϕ(g) = g−1 víi mäi g ∈ G
vµ G lµ mét nhãm aben cã cÊp lµ mét sè lÎ.
C©u IV.
1. Cho R lµ mét vµnh giao ho¸n víi ®¬n vÞ 1 6= 0 vµ I lµ mét i®ªan cña R. Chøng minh
r»ng víi mçi a ∈ R, tËp con J = {ax + I|x ∈ R} ⊂ R/I lµ mét i®ªan cña R/I sinh
bëi a+ I ∈ R/I . Tõ ®ã suy ra r»ng khi I lµ i®ªan tèi ®¹i cña vµnh R th× mäi phÇn tö
kh¸c kh«ng cña R/I ®Òu kh¶ nghÞch.
2. Chøng minh r»ng tËp hîp c¸c sè h÷u tû d¹ng
m
n
víi mÉu sè lµ mét sè nguyªn lÎ t¹o
thµnh mét miÒn nguyªn chÝnh.
bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o
®¹i häc huÕ
Hä vµ tªn thÝ sinh:.....................................
Sè b¸o danh:........................
Kú thi tuyÓn sinh sau ®¹i häc n¨m 2006
M«n thi: Gi¶i tÝch
(Dµnh cho Cao häc)
Thêi gian lµm bµi: 180phót
C©u I.
a. Chøng minh :
∞∑
n=1
1
(n+ 1)
√
n
< 2.
b. T×m miÒn héi tô vµ xÐt sù héi tô ®Òu trªn miÒn ®ã cña chuçi
∞∑
n=0
x(1− x)n.
C©u II.
a. XÐt d·y hµm sè (fn)n∈N x¸c ®Þnh bëi
fn(x) = e
−(x−n)2 , x ∈ R.
Chøng minh r»ng d·y hµm (fn)n héi tô ®iÓm kh¾p n¬i (trªn R) nh−ng kh«ng héi tô
theo ®é ®o Lebesgue trªn R.
b. Cho kh«ng gian ®é ®o (X,A, µ). Gi¶ sö f : X → R sao cho c¶ f vµ f 2 ®Òu kh¶ tÝch
trªn X . Chøng tá r»ng nÕu 1 6 p 6 2 th× |f |p kh¶ tÝch trªn X .
C©u III. ChoX lµ mét kh«ng gian Banach vµ F lµ mét tËp con ®ãng cña X cã tÝnh chÊt
sau: víi mäi x ∈ X ®Òu tån t¹i mét sè  > 0 (phô thuéc vµo x) sao cho λx ∈ F,∀λ ∈ [0, ].
Chøng minh r»ng F ph¶i chøa mét h×nh cÇu më B(x0, r) nµo ®ã.
C©u IV. Chøng minh r»ng:
f(x) =
0∫
−1
x(t)dt−
1∫
0
x(t)dt, x ∈ C[−1,1]
lµ mét phiÕm hµm tuyÕn tÝnh bÞ chÆn trªn C[−1,1] víi chuÈn "max". TÝnh ‖f‖.
C©u V.
a. Gi¶ sö H lµ kh«ng gian Hilbert, A : H → H lµ mét to¸n tö tuyÕn tÝnh tháa m·n ®iÒu
kiÖn:
〈Ax, y〉 = 〈x,Ay〉,∀x, y ∈ H.
Chøng minh r»ng A liªn tôc.
b. Khi H lµ mét kh«ng gian Hilbert phøc, A ∈ L(H) vµ 〈Ax, x〉 = 0,∀x ∈ H .
Chøng minh r»ng A = 0.
bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o
®¹i häc huÕ
Hä vµ tªn thÝ sinh:.....................................
Sè b¸o danh:........................
Kú thi tuyÓn sinh sau ®¹i häc n¨m 2006
M«n thi: ®¹i sè
(Dµnh cho Cao häc)
Thêi gian lµm bµi: 180phót
C©u I.
1. Cho G lµ mét nhãm h÷u h¹n. Mét phÇn tö x ∈ G ®−îc gäi lµ kh«ng sinh nÕu tÝnh chÊt
sau ®−îc tháa m·n: víi mäi tËp con S cña G, ®¼ng thøc G = 〈S, x〉 kÐo theo G = 〈S〉.
Mét nhãm con thùc sù K cña G ®−îc gäi lµ cùc ®¹i nÕu kh«ng tån t¹i nhãm con L
nµo cña G chøa K sao cho L 6= K,L 6= G. §Æt:
Φ(G) = {x ∈ G|x lµ kh«ng sinh}
M = {K ⊂ G|K lµ nhãm con cùc ®¹i cña G}
Chøng tá r»ng Φ(G) =
⋂
K∈M
K. Suy ra Φ(G) lµ mét nhãm con cña G.
2. Chøng minh r»ng nÕu G lµ nhãm chØ cã 2 nhãm con tÇm th−êng lµ {e} vµ G th× G lµ
xiclic h÷u h¹n cÊp nguyªn tè.
C©u II. Cho R lµ mét vµnh cã nhiÒu h¬n mét phÇn tö. Chøng minh c¸c kh¼ng ®Þnh sau:
1. NÕu R h÷u h¹n cã ®¬n vÞ th× mäi phÇn tö cña R kh«ng ph¶i lµ −íc cña 0 ®Òu kh¶
nghÞch.
2. NÕu víi mäi a ∈ R, a 6= 0, tån t¹i duy nhÊt b ∈ R (phô thuéc a) tháa aba = a th× R lµ
mét thÓ.
C©u III. Gi¶ sö A lµ mét ma trËn vu«ng cÊp n trªn tr−êng sè thùc R cã d¹ng:
α1 1 0 . . . 0
α2 0 1 . . . 0
. . . . . . .
αn−1 0 0 . . . 1
αn 0 0 . . . 0

1. H·y chØ ra mét vect¬ x ∈ Rn sao cho c¸c vect¬ x,Ax,A2x,An−1x ®éc lËp tuyÕn tÝnh.
2. Chøng minh r»ng nÕu ma trËn A chÐo hãa thµnh ma trËn cã β1, β2, . . . , βn trªn ®−êng
chÐo chÝnh th× tÊt c¶ c¸c sè β1, β2, . . . , βn ®Òu kh¸c nhau tõng ®«i mét.
C©u IV. Gäi V n+1 lµ kh«ng gian vect¬ c¸c ®a thøc hÖ sè phøc, bËc bÐ h¬n hoÆc b»ng n. XÐt
¸nh x¹ ϕ : V n+1 → V n+1 x¸c ®Þnh bëi:
[ϕ(g)](x) = g(x+ 1)− g(x),∀g ∈ V n+1.
Chøng tá:
1. HÖ u0 = 1, u1(x) = x, u2(x) = x(x− 1), . . . , un(x) = x(x− 1) . . . (x− n + 1) lµ mét
c¬ së cña kh«ng gian vect¬ V n+1.
2. ¸nh x¹ ϕ lµ mét tù ®ång cÊu tuyÕn tÝnh. X¸c ®Þnh Im(ϕ) vµ Ker(ϕ).
bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o
®¹i häc huÕ
Hä vµ tªn thÝ sinh:.....................................
Sè b¸o danh:........................
Kú thi tuyÓn sinh sau ®¹i häc n¨m 2005
M«n thi: Gi¶i tÝch
(Dµnh cho Cao häc)
Thêi gian lµm bµi: 180phót
C©u I.
a. Cho d·y sè thùc (an)n mµ chuçi
∞∑
n=1
a2n héi tô. Chøng minh c¸c chuçi sau ®©y còng
héi tô:
∞∑
n=1
an
n3/4
;
∞∑
n=1
(
an +
1
n
)2
.
b. Chøng minh r»ng nÕu hµm f(x, y) liªn tôc theo tõng biÕn x, y vµ ®¬n ®iÖu theo biÕn y
th× sÏ liªn tôc theo hai biÕn.
C©u II. Cho (X,F , µ) lµ kh«ng gian ®é ®o, f lµ hµm ®o ®−îc vµ g lµ hµm kh¶ tÝch trªn
A ∈ F . Chøng minh r»ng víi α, β lµ hai sè thùc cho tr−íc, nÕu α 6 f 6 β hÇu kh¾p A, th×
cã mét sè thùc γ ∈ [α, β] sao cho ∫
a
f |g|dµ = γ
∫
A
|g|dµ
C©u III. Cho (X, d) lµ kh«ng gian metric.
a. Gi¶ söK1, K2 lµ c¸c tËp con compact cñaX . Chøng minh r»ng tån t¹i x1 ∈ K1, x2 ∈ K2
sao cho d(x1, x2) = d(K1, K2), víi d(K1, K2) := inf{d(x, y)/x ∈ K1, y ∈ K2}.
b. Gi¶ sö K lµ tËp compact, F lµ tËp ®ãng trong X sao cho K ∩ F = ∅. Chøng minh
r»ng d(K,F ) > 0. KÕt qu¶ cßn ®óng kh«ng nÕu thay K b»ng tËp ®ãng ?
c. Gi¶ sö K lµ tËp compact vµ F lµ tËp ®ãng cña X = Rk. Chøng minh r»ng tån t¹i
x ∈ K, y ∈ F sao cho d(x, y) = d(K,F ).
C©u IV. Gi¶ sö L vµ M lµ hai kh«ng gian con tuyÕn tÝnh ®ãng cña kh«ng gian Banach X .
Chøng minh r»ng nÕu mçi phÇn tö x ∈ X ®Òu ®−îc biÓu diÔn mét c¸ch duy nhÊt d−íi d¹ng:
x = y + z, x ∈ L, z ∈M th× tån t¹i sè K sao cho: ‖y‖+ ‖z‖ 6 K‖x‖,∀x ∈ X .
C©u V. Gi¶ sö {en} lµ mét hÖ thèng trùc chuÈn trong kh«ng gian Hilbert H , {λn} lµ mét
d·y sè bÞ chÆn. Chøng minh r»ng:
a. Chuçi
∞∑
n=1
λn〈x, en〉en héi tô víi mäi x ∈ H .
b. To¸n tö Ax =
∞∑
n=1
λn〈x, en〉en, x ∈ H lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc vµ tÝnh ‖A‖.
bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o
®¹i häc huÕ
Hä vµ tªn thÝ sinh:.....................................
Sè b¸o danh:........................
Kú thi tuyÓn sinh sau ®¹i häc n¨m 2005
M«n thi: ®¹i sè
(Dµnh cho Cao häc)
Thêi gian lµm bµi: 180phót
C©u I. Cho G = 〈a〉 lµ mét nhãm xiclic cÊp n sinh bëi phÇn tö a vµ b = ak. Ký hiÖu d lµ
−íc chung lín nhÊt cña n vµ k. Chøng minh r»ng:
a. CÊp cña b b»ng
n
d
vµ G = 〈b〉 khi vµ chØ khi d = 1. Suy ra c¸c phÇn tö sinh cña G.
b. NÕu q lµ −íc cña n th× trong G tån t¹i mét nhãm con cÊp q vµ nhãm con nµy lµ xiclic.
C©u II.
a. Cho Z lµ vµnh sè nguyªn vµ R lµ vµnh tïy ý víi phÇn tö ®¬n vÞ e. Chøng minh r»ng
¸nh x¹
ϕ : Z→ R
m 7→ m.e
lµ mét ®ång cÊu vµnh. X¸c ®Þnh ¶nh Imϕ cña ®ång cÊu ϕ.
b. T×m vÝ dô vÒ mét vµnh R cã ®¬n vÞ e 6= 0 sao cho tån t¹i phÇn tö x ∈ R tháa ®iÒu
kiÖn Rx ⊂ xR vµ Rx 6= xR.
C©u III. Cho K lµ mét tr−êng vµ