Trọn bộ công thức về đạo hàm

ĐẠO HÀM 
( )
( )
( )
2
//
2
///
//
///
///
..5
)0(...4
...3
....2
.1
v
vC
v
C
v
v
uvvu
v
u
vCvC
vuvuvu
vuvu
−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
≠−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
=
+=
±=±
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
x
x
x
x
xx
xx
x
x
ax
x
ee
aaa
x
x
xx
xx
x
C
a
xx
xx
2
/
2
/
/
/
/
/
/
/
/
2
/
1/
/
/
sin
1cot.18
cos
1tan.17
sincos.16
cossin.15
1ln.14
ln.
1log.13
.12
ln..11
.2
1.10
11.9
...8
1.7
0.6
−
=
=
−=
=
=
=
=
=
=
−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
=
=
=
−αα α
 ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
sin
cot
cos
tan
sin.cos
cos.sin
ln
ln.
log
.
.ln.
.2
1
...
2
/
/
2
/
/
//
//
/
/
/
/
//
//
//
2
//
/1/
u
uu
u
uu
uuu
uuu
u
uu
au
uu
uee
uaaa
u
uu
v
v
v
uxu
a
uu
uu
−
=
=
−=
=
=
=
=
=
=
−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
= −αα α
dcx
baxy +
+=.19 ta có 2/ )( dcx
bcady +
−= 
22
2
2
11
2
1.20
cxbxa
cxbxay ++
++= ta có 
 ( )22222
22
11
22
112
22
11
/
2
cxbxa
cb
cb
x
ca
ca
x
ba
ba
y ++
++
= 
 • Tìm m để hàm số tăng (giảm) 
1.Hàm số bậc 3 ( hàm số hữu tỷ )
  Tập xác định 
  Đạo hàm y/
  Hàm số tăng trên R ( trong từng khoảng xác 
định): y/ ≥ 0 ∀x ∈ R 
 Giải tìm m ⎩⎨
⎧
≤Δ
>
0
0a
  Chú ý:Nếu hệ số a của y/ có chứa tham số thì phải 
xét khi a = 0 
 Tương tự cho hàm số giảm: 
y/ ≤ 0 ∀x∈ R ⎩⎨
⎧
≤Δ
<⇔
0
0a
2.Hàm số nhất biến : 
dcx
baxy += + 
  Tập xác định 
  Đạo hàm y/
  Hàm số tăng (giảm) trong từng khoảng xác 
định : y/ > 0 ( y/ < 0 ) . Giải tìm m 
  Chú ý : Nếu hệ số c có chứa tham số ta xét thêm c 
= 0 
 • Tìm m để hàm số có cực đại , cực tiểu 
 Tập xác định 
 Đạo hàm y/
 Hàm số có cực đại,cực tiểu khi y/ = 0 có hai 
nghiệm phân biệt ⎩⎨
⎧
>Δ
≠
0
0a
  Giải tìm m 
• Dùng dấu hiệu 2 tìm cực trị 
 Tập xác định 
 Đạo hàm y/
 Giải phương trình y/ = 0 tìm nghiệm x0
 Đạo hàm y//.Tính y//(x0) 
 * Nếu y//(x0) > 0 : hàm số đạt cực tiểu tại x0
 * Nếu y//(x0) < 0 : hàm số đạt cực đại tại x0 
• Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x0 
Cách 1:  Tập xác định 
  Đạo hàm y/
  Hàm số đạt cực trị tại x0 : 
 y/(x0) = 0 
 y/ đổi dấu khi x qua x0
  Chú ý:
 Hàm số đạt cực tiểu tại x0 : 
 y/ (x0) = 0 
 y/ đổi dấu từ “ – “ sang “ +”
 Hàm số đạt cực đại tại x0 : 
 y/ (x0) = 0 
 y/ đổi dấu từ “ + “ sang “–”
Cách 2:  Tập xác định 
  Đạo hàm y/ 
  Đạo hàm y//
  Hàm số đạt cực trị tại x0 : 
⎩⎨
⎧
≠
=
0)(
0)(
0
//
0
/
xy
xy
  Cực đại: { y/ (x0) = 0 và y// (x0) < 0 } 
  Cực tiểu : { y/ (x0) = 0 và y// (x0) > 0 } 
 • Hàm số đạt cực trị bằng y0 tại x0 
  Tập xác định 
  Đạo hàm y/ = f/ (x) 
  Hàm số đạt cực trị bằng y0 tại x0 khi 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≠
=
=
0)(
)(
0)(
0
//
00
0
/
xf
yxf
xf
 • Tìm GTLN,GTNN trên đoạn [a,b] 
 Tìm xi ∈[a,b]: f/(xi) = 0 hoặc f/(xi) không xác định 
 Tính f(a), f(xi) , f(b) 
 Kết luận { })();();(maxmax bfxfafy i=
 { })();();(minmin bfxfafy i=
 • Tiếp tuyến của đường cong ( C) 
1.Tiếp tuyến tại M(x0,y0): y = f/ (x0).(x – x0 ) + y0
2.Tiếp tuyến đi qua A(xA ,yA):
  (d): y = k.(x – xA) + yA = g(x) 
  Điều kiện tiếp xúc: ⎩⎨
⎧
=
=
)()(
)()(
// xgxf
xgxf
3.Tiếp tuyến sg sg (d) dtt kxfk == )( 0/
4.Ttuyến vuông góc (d) : 1. −=dtt kk 
 • Biện luận số giao điểm của ( C) và d 
  (d): y = k(x – xA) + yA = g(x) 
  Ptrình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x) (*) 
 • Nếu (*) là phương trình bậc 2:
 1) Xét a= 0:kết luận số giao điểm của (C) và(d) 
 2) Xét a ≠ 0 : + Lập Δ = b2 – 4ac 
 + Xét dấu Δ và kết luận 
(Chú ý: (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt 
 ⎩⎨
⎧
>Δ
≠⇔
0
0a
 • Nếu (*) là phương trình bậc 3:
 1) Đưa về dạng (x – x0)(Ax2 + Bx + C) = 0 
 ⎢ ⎣
⎡
==++
=
(2) )(02
0
xgCBxAx
xx
 2) Xét trường hợp (2) có nghiệm x = x0
 3) Tính Δ của (2), xét dấu Δ và kết luận 
(Chú ý: (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt khi 
phương trình (2) có 2 no pb x1 , x2 khác x0) 
 ⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≠
>Δ
≠
0)(
0
0
0
)2(
xg
A
 • Dùng đồ thị (C) biện luận số 
 nghiệm phương trình f (x) – g(m) = 0 
 Đưa phương trình về dạng : f(x) = g(m) (*) 
  Ptrình (*) là ptrình hoành độ giao điểm của 
 (C) :y = f(x) và (d): y = g(m) ( (d) // Ox ) 
  Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương 
trình. 
 LŨY THỪA 
aaaa n .... =• 
 ( n thừa số) 
n
m
nm
nmnm
n
n
a
aa
aaa
a
a
a
=•
=•
=•
=•
−
+
−
. 
1 
1 0
nn
n mn
m
nmmnnm
n
nn
nnn
aa
aa
aaa
b
a
baba
=•
=•
==•
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛•
=•
1
.
)()( 
b
a 
.).( 
 PHƯƠNG TRÌNH MŨ 
⎩⎨
⎧
∩
=∨
⎩⎨
⎧
=
≠<⇔=
)()(
)()( 1
)()(
10
xgxf
xgxf
DD
a
xgxf
a
aa
 [ ]⎩⎨
⎧
>−−
>⇔>
0)()().1(
0)()(
xgxfa
a
aa xgxf
)()( thì1a0 
)()( ì th1a 
)()(
)()(
xgxfaa
xgxfaa
xgxf
xgxf
<<•
>⇔>>•
 LOGARIT 
) 1 a , 0 N a, ( 
log a
≠>
=⇔=• NaMN M
Na Na =• log 
01log =• a 
1log =• aa 
NN =• aloga 
NkNN
k
N
a
N
NNa
a
NN
NN
N
N
NNNN
a
k
aa
N
a
ba
b
b
a
aa
aa
log.log log1log 
log
1log 
loglog.log 
log
loglog 
logloglog 
loglog.log 
ka
b
21
2
1
a
2121a
=•=•
=•
=•=•
−=•
+=•
)()(0)(log)(log thì1a0 
0)()()(log)(log thì1a 
a
a
xgxfxgxf
xgxfxgxf
a
a
<<•
>>⇔>>• 
 ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
>>
≠<
⇔=
g(x)f(x)
) 0g(x) ( 0)(
10
)(log)(log xf
a
xgxf aa 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>
>
>≠
0g(x)]-1)[f(x)-(a
 0g(x) 
 0)(
10
)(log)(log
xf
a
xgxf aa 
SỐ PHỨC 
* 12 −=i
* 2
1
z
z
z
= 
*
22. baibaz +=+= 
*
ibazibaz .. −=⇒+= 
* 22 bazz +== 
⎩⎨
⎧
=
=⇔+=+
db
ca
idciba .. 
*
).)(.(
).)(.(
.
.
ibaiba
ibaidc
iba
idc
−+
−+=+
+ 
* 2121 zzzz +=+ 
* 2121 zzzz −=− 
*
2
1
2
1
2121 ;.. z
z
z
zzzzz =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛= 
1. iba .+=α .Gọi β là căn bậc 2 của α , ta cĩ: 
 b ≥ 0 : ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++−+++±=
2
.
2
2222 baaibaaβ 
b < 0 : ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++−−++±=
2
.
2
2222 baaibaaβ 
2. 
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
+=
+=
r
b
r
a
bar
irz
ϕ
ϕϕϕ
sin
cos)sin.(cos
22
3. )]sin(.)[cos(. 21212121 ϕϕϕϕ +++= irrzz 
4. )]sin(.)[cos( 2121
2
1
2
1 ϕϕϕϕ −+−= i
r
r
z
z
5. )]sin(.)[cos(11 ϕϕ −+−= i
rz
6. [ ] )sin.(cos)sin.(cos ϕϕϕϕ ninrir nn +=+
 [ ] )sin.(cos)sin.(cos ϕϕϕϕ nini n +=+
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
+−=+−=
+=+=
+=+=
+−=+−=
+=+=
+=+=
++
−=++
−=
++=++=
++
+=+++=
+=+=
+
+
++
++
)cot(1
)(sin
cot
sin
)10
)tan(1
)(cos
tan
cos
)9
)sin(1)cos(sincos)8
)cos(1)sin(cossin)7
ln
1
ln
)6
1)5
)(
11
)(
11)4
ln1ln1)3
1
)(1)(
1
)2
)1
22
22
)(
)(
)()(
22
11
bax
abax
dxx
x
dx
bax
abax
dxx
x
dx
bax
a
dxbaxxxdx
bax
a
dxbaxxxdx
C
a
a
c
dxaC
a
adxa
Ce
a
dxeCedxe
C
baxabax
dxC
x
dx
x
Cbax
abax
dxCxdx
x
Cbax
a
dxbaxCxdxx
CkxkdxCxdx
dcx
dcx
x
x
baxbaxxx
αα
α
α
α
α
TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ 
1. Đặt ∫ )().( /)( dxxuef xu )(xut = 
2. ∫ 1).(ln dxxxf Đặt )ln(xt = 
3. ∫ + ).( dxbaxf n Đặt n baxt += 
4. ∫ dxxxf )cos,(sin
 • Nếu f là hàm lẻ đối với cosx : đặt t = sinx 
 • Nếu f là hàm lẻ đối với sinx : đặt t = cosx 
 • Nếu f là hàm chẵn đối với sinx, cosx dùng công 
thức hạ bậc: 
2
2cos1sin,
2
2cos1cos 22 xxxx −=+= 
 • Nếu f chỉ chứa sinx hoặc cosx đặt 
2
tan xt = 
5. ∫ − ).( 22 dxxaf Đặt tax sin= 
6. ∫ + ).( 22 dxxaf Đặt tax tan= 
7. ∫ − ).( 22 dxaxf Đặt tax cos= 
8. ∫ ± ).
1(
22
dx
ax
f Đặt 22 axxt ±+= 
TÍCH PHN TỪNG PHẦN 
∫∫ −= b
a
b
a
vdxu
a
b
vudxvu // .. 
dxexP bax∫ +).( . 
 Đặt 
baxbax e
a
vev
xPxPu
++ ==
==
1chon 
)(u có ta)(
/
//
dxbaxxP∫ + )cos().( . 
 Đặt: 
)sin(1chon )cos(
)(u có ta)(
/
//
bax
a
vbaxv
xPxPu
+=+=
==
dxbaxxP∫ + )sin().( . 
 Đặt: 
)cos(1chon )sin(
)(u có ta)(
/
//
bax
a
vbaxv
xPxPu
+−=+=
==
dxxuxP∫ )(ln).( . 
 Đặt: 
∫==
==
dxxPvxPv
x
xu
)(chon )(
1u có taln
/
/
Ch ý : Đặt u là hàm mà đạo hàm của nó đơn giản hơn 
cịn v/ l phần cịn lại của biểu thức dưới dấu tích phân 
mà nguyên hàm của phần này đ biết 
 DIỆN TÍCH , THỂ TÍCH 
dxyyV
dxy
bxax
CC
H
b
a
CCOx
C
∫
∫
−=
−=
⎩⎨
⎧
<==
2
2
2
1
b
a
2C1
21
yS
b)(a ,
)( và)(
)(
π
dyxxV
dyx
ddycy
CC
H
d
c
CCOy
C
∫
∫
−=
−=
⎩⎨
⎧
<==
2
2
2
1
d
c
2C1
21
xS
)(c ,
)( và)(
)(
π