Lý thuyết và các dạng bài tập điển hình về cực trị hàm số bậc ba

 Cực trị hàm bậc ba
I,Tóm tắt lý thuyết:
 1.Hàm số ()
 2.Đạo hàm : 
 3.Điều kiện tồn tại cực trị
 Hàm số có cực trị có cực đại và cực tiểu có hai nghiệm phân biệt.
 4.Kỹ năng tính nhanh cực trị:
 Bước1:Thực hiện phép chia cho ta có:
 Tức là:
 Bước 2:Do nên 
.Hệ quả:Đường thẳng đi qua CĐ,CT có phương trình là:
 hay 
II.Các dạng bài tập:
Dạng 1:Sự tồn tại và vị trí của các điểm cực trị:
Bài tập:
Bài 1:Tìm m để hàm số : có cực đại và cực tiểu
Giải:Hàm số có cực đại và cực tiểu phương trình có hai nghiệm phân biệt 
có hai nghiệm phânbiệt 
Bài 2:Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu
Giải: 
Hàm số có cực đại và cực tiểu phương trình có hai nghiệm phân biệt có hai nghiệm phân biệt
Bài 3:Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x1,x2 thỏa mãn điều kiện x1<-1<x2
Giải: yêu cầu bài toán có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn điều kiện x1<-1<x2
Bài 4:Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x1,x2 thỏa mãn điều kiện -1<x1<<x2
Giải: yêu cầu bài toán có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn điều kiện -1<x1<x2 
Bài 5: Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x=2.
Giải: 
*Điều kiện cần:
Giả sử hàm số đạt cực tiểu tại x=-2 suy ra ta có suy ra 
*Điều kiện đủ:
Nếu m=3 thì 
Nếu m=1 thì nhưng lúc đó ta có 
Hàm số không có cực trị
*Kết luận:m=3
Dạng 2:phương trình đường thẳng đi qua cực đại và cực tiểu
Bài 1:Tìm cực trị và viết phương trình đường thẳng đi qua cực đại,cực tiểu của hàm số 
Giải:
.Ta có 
suy ra hàm số đạt cực trị tại x1,x2
.Thực hiện phép chia cho ta có do 
nên 
.
.Phương trình đường thẳng đi qua CĐ,CT là 
Bài 2:Tìm m để hàm số có đường thẳngđi qua CĐ,CT song song với đường thẳng 
Giải:
.Đạo hàm 
hàm số có CĐ,CT có hai nghiệm phân biệt
.Thực hiện phép chia cho ta có 
Với thì có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đạt cực trị tại x1,x2
do nên 
suy ra đường thẳng qua CĐ,CT là():
 ta có () song song với đường 
vậy nếu thì không tồn tại m;nếu a<0 thì 
Bài 3: Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu nằm trên đường thẳng 
Giải:
.Đạo hàm 
hàm số có CĐ,CT có hai nghiệm phân biệt
.Thực hiện phép chia cho ta có 
Với thì có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đạt cực trị tại x1,x2
do nên 
suy ra đường thẳng qua CĐ,CT là():
Ta có CĐ,CT nằm trên đường thẳng 
Bài 4: Tìm m để hàm số có đường thẳng đi qua cực đại và cực tiểu vuông góc với đường thẳng 
Giải:
Hàm số có CĐ,CT có hai nghiệm phân biệt
.Thực hiện phép chia cho ta có 
Với thì có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đạt cực trị tại x1,x2
do nên 
suy ra đường thẳng qua CĐ,CT là():
ta có () vuông góc với đường thẳng 
dạng 3:sử dụng định lý viét cho các điểm cực trị
bài 1:Cho 
1.CMR:hàm số luôn có cực đại và cực tiểu.
2.Giả sử hàm số đạt cực trị tại x1,x2.CMR:x1+x2
Giải:
1.Xét phương trình:
Ta có 
Nếu thì vôlý
Từ đó suy ra có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đạt cực trị tại x1,x2.
2.Theo định lý Viét ta có
Suy ra x1+x2=(x1+x2)-2x1x2=
Khi đó BĐT:x1+x2 luôn đúng
Bài 2: Cho 
1.Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
2.Tìm m để hàm số đạt cực trị tại ít nhất 1 điểm >1.
3.Gọi các điểm cực trị là x1,x2.tìm max của A=
Giải:
Đạo hàm 
1.-5<m<-1
2.hàm số đạt cực trị tại ít nhất 1 điểm >1 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn
3.Theo định lý viét ta có
Khi đó A=
Với m=-4 thì Max A=