Tổng hợp các Chuyên đề Đại số ôn thi Đại học

ớng dẫn:
Biểu diễn . Tính hệ số của 
Biểu diễn Tính hệ số 
Tính tổng theo đạo hàm
Chú ý
Các hệ số đứng trước tổ hợp và lũy thừa tăng dần từ 1 đến n (hoặc giảm từ n đến 1) (không kể dấu).
Hai khai triển thường dùng:
 (1)
 (2)
a) Đạo hàm 2 vế của (1) hoặc (2).
b) Cộng hoặc trừ (1) và (2) sau khi đã đạo hàm rồi thay số thích hợp.
 Bài 1.6 Tính các tổng sau
 a. .
 b. 
 Bài giải :
 a. Ta có khai triển:
 (1)
 Đạo hàm 2 vế của (1) ta được:
 (2) 
 Thay x = – 2 vào (2) ta được:
 .
 Vậy .
 b. Ta có khai triển:
 (1) 
 Đạo hàm 2 vế của (1) ta được:
 (2) 
 Thay x = 2 và x = – 2 lần lượt vào (2) ta được:
 (3) 
 (4) 
 Cộng hai đẳng thức (3) và (4) ta được:
 Vậy .
 Bài 1.7 
 Tính tổng sau :.
 Bài giải
 Ta có khai triển:
 (1) 
 Nhân 2 vế (1) với x ta được:
 (2) 
 Đạo hàm 2 vế của (2) ta được:
 (3) = 
 Thay x = 1 vào (3) ta được:
 .
 Cách khác:
 Ta có khai triển:
 (1) 
 Đạo hàm 2 vế của (1) ta được:
 = (2)
 Thay x = 1 vào (1) và (2) ta được:
 (3)
 (4)
 Cộng (3) và (4) ta được:
 .
 Vậy.
 Bài 1.8
 Tính tổng sau 
 Với n=? để S= 320
 Bài giải
 Ta có khai triển:
 (1)
 Nhân 2 vế (1) với x2 ta được:
 (2) 
 Đạo hàm 2 vế của (2) ta được:
 (3) =
 Thay x = 1 vào (3) ta được:
 .
 .
 Bài 1.9
 a. Tính tổng sau S=
 b. 
 Bài giải
 (1)
 a. Đạo hàm 2 vế của (1) ta được:
 (2)
 Tiếp tục đạo hàm 2 vế của (2) ta được:
 (3)
 S=
 b. Nhân x vào 2 vế của (2) ta được:
 (4)
 Đạo hàm 2 vế của (4) ta được:
 (5)
 Bài 1.20
 Tính các tổng sau:
 a. .
 b. 
 Bài giải
 a. Ta có khai triển:
 (1)
 Đạo hàm 2 vế của (1) ta được:
 (2)
 Đạo hàm 2 vế của (2) ta được:
 (3)
 Thay x = – 1 vào đẳng thức (3) ta được:
 .
 Vậy S = 0.
 b.Ta có khai triển:
 Đạo hàm 2 vế của (1) ta được:
 (2) 
 Nhân x vào 2 vế của (2) ta được:
Đạo hàm 2 vế của (3) ta được:
Thay x = 1 vào đẳng thức (4) ta được
.
Vậy .
Bài 1.21
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
h. 
Tính tổng theo tích phân
Chú ý
Các hệ số đứng trước tổ hợp (và lũy thừa) giảm dần từ 1 đến hoặc tăng dần từ đến 1.
Xét khai triển:
 (1).
Lấy tích phân 2 vế của (1) từ a đến b ta được:
.
Trong thực hành, ta dễ dàng nhận biết giá trị của n.
Để nhận biết 2 cận a và b ta nhìn vào số hạng .
Bài 1.22 Tính các tổng sau
a. 
b. 
c. 
Bài giải
a.Ta có khai triển:
.
Vậy .
b. Ta có khai triển:
.
Vậy .
c.Ta có khai triển:
.
.
Vậy .
Bài 1.23 
Tính 
Rút gọn
Bài giải
 a. Ta có 
 b. Ta xét 
Tích phân hai vế ta có
 Vậy ta có : 
Bài 1.24
Tính 
CMR: 
Bài giải
a. 
b. Ta xét
Nhân cả hai vế với x ta có
Tích phân hai vế ta có
Vậy 
Bài 1.25
Tính 
CMR : 
Bài giải
a. 
b. Ta xét khai triển :
Vậy S
Bài tập tương tự
Bài 1.26
a. 
b. , trong đó:
.
c. 
CÁC BÀI TOÁN TÌM SỐ HẠNG
1. Dạng tìm số hạng hữu tỉ
Chú ý
a. Số hạng tổng quát trong khai triển là ( là hữu tỉ).
b. Giải hệ phương trình .
Số hạng cần tìm là .
Bài 2.1
Tìm số hạng hữu tỉ trong khai triển .
Bài giải
Số hạng tổng quát trong khai triển là .
Số hạng hữu tỉ trong khai triển thỏa điều kiện:
.
+ Với k = 0: số hạng hữu tỉ là .
+ Với k = 6: số hạng hữu tỉ là .
Vậy số hạng cần tìm là và .
Bài 2.2
Trong khai triển củacó bao nhiêu số hạng hữu tỉ
Bài giải
 Ta xét 
 Muốn cho hữu tỉ khi và chỉ khi
 Vậy trong khai triển trên có 32 số hạng hữu tỉ
Bài 2.3
Cho biết 3 hạng tử đầu tiên của khai triển là có các hệ số là 3 số hạng 
Liên tiếp của một cấp số cộng. Tìm tata cả các số hạng hữu tỉ của khai triển đó
Bài giải
Vậy 3 số hạng đầu tiên của khai triển có hệ số là 
Muốn 3 số là các số hạng liên tiếp của CSC
a. không tồn tại số hạng hữu tỉ
b. hữu tỉ khi và chỉ khi
Vậy trong khia triển trên có hai số hạng hữu tỉ
Bài 2.4
a.Tìm số hạng trong khai triển là một số nguyên
b.Tìm số hạng hữu tỉ trong khai triển 
Bài giải
a. Ta có 
 Vậy 
Muốn số nguyên là số nguyên
b. Bài tập tương tự
1. Dạng tìm số hạng không chứa x(Độc lập)
Bài 2.5
 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển .
Bài giải
Số hạng tổng quát trong khai triển là:
.
Số hạng không chứa x ứng với .
Vậy số hạng cần tìm là .
Bài 2.6
Trong khai triển nhị thức . Hãy tìm số hạng không phụ thuộc
 Vào x biết :
Bài giải:
Từ . Ta có
Với n=12, ta có
Vậy không chứa x 
Bài 2.7
Tìm số n bé nhất thuộc N để trong khai triển 
tồn tại số hạng không chứa x
Bài giải
 Ta có khai triển 
Vậy số hạng 
Muốn trong khai triển tồn tại số hạng không chứa x
Vậy số n nhỏ nhất bằng 20
Bài tập tương tự
Bài 2.8 Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển
a.
b.
c. Tìm số n bé nhất thuộc N để trong khai triển 
tồn tại số hạng không chứa x
Chú ý Tương tự ta có thể xét số hạng trong khai triển chứa xk
 ( hoặc số hạng thứ k trong khai triển)
Bài 2.9
Biết tổng tất cả các hệ số của khai triển bằng 1024. Tìm hệ số của
Số hạng chứa x12 trong khai triển
Bài giải
Ta có khai triển
Với x=1 Ta có 
Với n=10 Ta có 
Từ 
Vậy hệ số chứa là 
Bài 2.10
 Tìm số hạng chứa x37 trong khai triển .
Bài giải
Số hạng tổng quát trong khai triển là:
.
Số hạng chứa x37 ứng với .
Vậy số hạng cần tìm là .
Bài 2.11
Cho biết hệ số của số hạng thứ 3 trong khai triển nhị thức bằng 36
Tìm số hạng thứ 7.
Bài giải:
 Với k+1=3 suy ra k=2. Ta có
Với n=9 Ta có 
Bài 2.12
Tìm các giá trị của số thực x sao cho trong khai triển 
Tổng số hạng thứ 3 và thứ 5 là 45. Tổng các hệ số của 3 số hạng cuối là 22
Bài giải
Ta xet khai triển 
Vậy số hạng thứ (k+1)trong khai triển là
Từ tổng của của 3 số hạng cuối bằng 22 Ta có
Với n=6 Ta có
Từ T3+T5=45 Ta có 
Trả lời x=2 thỏa mãn
Bài 2.13(Tham khảo)
Tìm giá trị thực x biết hạng tử thứ 4 trong khai triển bằng 200
Bài giải
Ta có khai triển 
Vậy số hạng thứ (k+1) trong khai triển có dạng 
Vậy số hạng thứ 4 ( k=3) ta có 
Bài tập tương tự
Bài 2.14
Tìm số n nguyên dương , cho biết trong khai triển Tỉ số của số hạng thứ 7 kể từ hạng tử đầu và hạng tử 7 kể từ hạng tử cuối bằng 1/6
Bài 2.15
Xét khai triển . Gọi T3;T5 là hạng tử thứ 3;5 của khai triển.
Hệ số của hạng tử thứ 4 và 2. Tìm số thực x thỏa mãn:
B. CÁC BÀI TOÁN ĐẾM
Qui tắc
+Qui tắc cộng: có n cách chon phần tử x; có m cách chọn phần tử y 
Vậy có (n+m) cách chon (x;y)
+Qui tắc nhân:Có n cách chon phần tử x ; ửng với mỗi phần tử x có
M cách chọn phần tử y . Vậy có m.n cách chọn (x;y)
Định nghĩa
+Cho A gồm có n pt. Tập con của A gồm n pt sắp thứ tự được gọi là 
 Một hoán vị của n pt . Số các hoán vị 
+ Cho A gồm có n pt. Tập con của A gồm k pt sắp thứ tự được gọi là 
 Một chỉnh hợp chập k của n pt . Số các chỉnh hợp chập k 
+Cho A gồm có n pt. Tập con của A gồm k pt không sắp thứ tự được
 gọi là một tổ hợp chập k của n pt . Số các tổ hợp chập k 
1.Các bài toán số
Bài 3.1
Cho X={1;2;5;7;8} Có thể lập được bao nhiêu số gồm có 3 chữ số (đôi một khác nhau)
Thuộc X sao cho
a.Nhỏ hơn hoặc bằng 278
b. Là một số chẵn và nhỏ hơn hoặc bằng 278
Bài giải:
a. Gọi .Vì nên ta có
 + a=1 có 1 cách chọn
 Chọn bc trong X\{1} có 
 +a = 2 có 1 cách chọn
 Chọn b trong X\{2,8} có 3 cách chọn
 Chọn c trong X\{2,b} có 3 cách chọn. 
 Vậy ta có 1.3.3=9 cách chọn
 + Nên ta có 12+9= 21 số x
b.Gọi với x số chẵn và nên ta có
 + Với a = 1 Vậy chọn c có 2 cách chọn
 Chọn b trong X\{1,c} có 3 cách chọn . 
 Vậy ta có 1.2.3 cách chọn
 + Với a = 2 Vậy chọn c có 1 cách chọn
 Chọn b trong X\{2;8} có 3 cách chọn
 Vậy có 1.1.3 cách chọn
Kết luân có 9 cách chọn
Bài 3.2
 Cho X={0,1,2,3,4,5,6,7} Tìm số các số gồm có 5 chữ số thuộc X đôi một
khác nhau sao cho 3 chữ số đầu tiên phải có số 1
Bài giải
Gọi 
a. Nếu a1=1 chọn a2,a3,a4,a5 phân biệt thứ tự trong X\{1}
 có cách chọn
b. Nếu a2 hoặc a3 bằng 1 có 2 cách chọn
 Vậy chọn a1 trong X\{0,1} có 6 cách chọn
 Nên chon a4,a5;a2 hoặc a4,a5,a3 phân biệt thứ tự trong 6 phần tử 
 Có 
 Vây ta có :2.6.120=1440 cách chọn
Vậy có 1440+840 = 2280 số thỏa mãn
Bài 3.3
Cho X={0,1,2,,9} Có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ sô đôi một khác
nhau lấy trong X sao cho trong các số đó phải có mặt chữ số 0 và 1 
Bài giải
Gọi B ={x: }
 Chọn a1 có 9 cách
 Chọn 5 pt phân biệt thứ tự trong 9 phần tử có . Vậy B=9. cách chọn 
Vậy B có 136.000 phần tử 
Gọi B1 gồm số có 6 chữ số phân biệt lấy từ X trong đó không có chữ sô 0 và 1
 B1 gồmphần tử
Vậy các số thỏa mãn là 136000-20160=115840
Bai tập tương tự 
Bài 3.4
a.Trong {0,1,2,3,4,5} ta có thể lập được bao nhiêu số gồm có 5 chữ số đôi một
khác nhau sao cho phải có mặt chữ số 5
b.Trong {0,1,3,5,7} có thể lập được bao nhiêu số gồm có 4 chữ số đôi một 
khác nhau và không chia hết cho 5
2.Các bài toán phương án
Bài 3.5 
Có 6 đồ vật khác nhau và 8 thùng đồ khác nhau. Người ta lấy 3 đồ vật và 3 thùng đồ 
bỏ mỗi thùng đồ một vật. Hỏi có bao nhiêu cách bỏ đồ vật vào thùng đồ
Bài giải
+ Cách chọn đồ vật : 
+ Cách chọn thùng đồ: 
Vậy có cách chọn vật và thùng
Với 3 vật và 3 thùng có 3! Cách bỏ. Nên ta có cách xếp
Bài 3.6
Trong trường học có 8 giáo viên giỏi và 12 học sinh giỏi . Người ta chọn ra
4 người trong đó có ít nhất 1 GV giỏi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Bài giải
Cách1:
 + 4 người là Gv :
 + 4 người trong đó có 3 GV và 1 HS:
 + 4 người trong đó có 2 GV và 2 HS:
 + 4 người trong đó có 1 GV và 3 HS: 
Vậy tổng số là: 
Cách 2
Trong tổng số 20 người lấy 4 người có cách chọn
Nếu 4 người toàn Hs ( không có GV): cách chọn 
Vậy có cách lấy theo yêu cầu
Bài 3.7
Một tập thể gồm có 14 người trong đó có a và b. Từ tập thể đó người ta chon ra 
6 người trong đó có 1 tổ trường và a,b không đồng thời có mặt .
 Hỏi có bao nhiêu cách chọn với vai trò mọi người bình đẳng như nhau
Bài giải
+ Chọn tổ trưởng cách chọn
+ Chọn tổ viên cách chọn 
Vậy có cách chọn tổ có 6 người trong đó có 1 tổ trưởng
Tổ có 6 người trong đó
 + tổ trường không phải a hoặc b :cách chọn
 + Chọn tổ viên phải có a và b: cách chọn ( chỉ được chọn 3 trong 11 người còn lại)
Vậy có chọn 6 người trong đó có cả a và b (a,b không làm tổ trưởng)
Tổ có 6 người trong đó
+ Tổ trường là a hoặc b : cách chọn
+ Chọn 4 tổ viên trong 12 người 
Vậy có cách chọn 6 người trong đó có a và b với a hoặc b làm tổ trưởng
Vậy số cách chọn a,b không đồng thời có