Tổng hợp 100 bài hình học hay

Gọi I là điểm bất kỳ trên đường chéo AC.Qua I kẻ các đường thẳng song song với AB;BC,các đường này cắt AB;BC;CD;DA lần lượt ở P;Q;N;M.
C/m INCQ là hình vuông.
Chứng tỏ NQ//DB.
BI kéo dài cắt MN tại E;MP cắt AC tại F.C/m MFIN nội tiếp được trong đường tròn.Xác định tâm.
Chứng tỏ MPQN nội tiếp.Tính diện tích của nó theo a.
C/m MFIE nội tiếp.
1/C/m INCQ là hình vuông:
MI//AP//BN(gt)ÞMI=AP=BN
ÞNC=IQ=PD DNIC vuông ở N có ICN=45o(Tính chất đường chéo hình vuông)ÞDNIC vuông cân ở N
ÞINCQ là hình vuông.
2/C/m:NQ//DB:
Do ABCD là hình vuông ÞDB^AC
Do IQCN là hình vuông ÞNQ^IC
A M D
 F
 E
 P I N
 B Q C
Hình 22
Hay NQ^ACÞNQ//DB.
3/C/m MFIN nội tiếp: Do MP^AI(tính chất hình vuông)ÞMFI=1v;MIN=1v(gt)
Þhai điểm F;I cùng làm với hai đầu đoạn MN…ÞMFIN nội tiếp.
Tâm của đường tròn này là giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật MFIN.
4/C/m MPQN nội tiếp:
Do NQ//PMÞMNQP là hình thang có PN=MQÞMNQP là thang cân.Dễ dàng C/m thang cân nội tiếp.
TÍnh SMNQP=SMIP+SMNI+SNIQ+SPIQ=SAMIP+SMDNI+SNIQC+SPIQB
=SABCD=a2.
5/C/m MFIE nội tiếp:
Ta có các tam giác vuông BPI=IMN(do PI=IM;PB=IN;P=I=1v.
ÞPIB=IMN mà PBI=EIN(đ đ)ÞIMN=EIN
Ta lại có IMN+ENI=1vÞEIN+ENI=1vÞIEN=1v mà MFI=1vÞIEM+MFI=2v ÞFMEI nội tiếp
Bài 23:
 Cho hình vuông ABCD,N là trung điểm DC;BN cắt AC tại F,Vẽ đường tròn tâm O đường kính BN.(O) cắt AC tại E.BE kéo dài cắt AD ở M;MN cắt (O) tại I.
C/m MDNE nội tiếp.
Chứng tỏ DBEN vuông cân.
C/m MF đi qua trực tâm H của DBMN.
C/m BI=BC và DIE F vuông.
C/m DFIE là tam giác vuông.
1/C/m MDNE nội tiếp.
Ta có NEB=1v(góc nt chắn nửa đường tròn)
ÞMEN=1v;MDN=1v(t/c hình vuông)
ÞMEN+MDN=2vÞđpcm
2/C/m BEN vuông cân:
NEB vuông(cmt)
Do CBNE nội tiếp
ÞENB=BCE(cùng chắn cung BE) mà BCE=45o(t/c hv)ÞENB=45oÞđpcm.
3/C/m MF đi qua trực tâm H của DBMN.
 Q B
 A
E
H
 M
I
 D N C
Hình 23
 Ta có BIN=1v(góc nt chắn nửa đtròn)
ÞBI^MN. Mà EN^BM(cmt)ÞBI và EN là hai đường cao của DBMNÞGiao điểm của EN và BI là trực tâm H.Ta phải C/m M;H;F thẳng hàng.
Do H là trực tâm DBMNÞMH^BN(1)
MAF=45o(t/c hv);MBF=45o(cmt)ÞMAF=MBF=45oÞMABF nội tiếp.ÞMAB+MFB=2v mà MAB=1v(gt)ÞMFB=1v hay MF^BM(2)
Từ (1)và (2)ÞM;H;F thẳng hàng.
4/C/m BI=BC: Xét 2Dvuông BCN và BIN có cạnh huyền BN chung;NBC=NEC (cùng chắn cung NC).Do MEN=MFN=1vÞMEFN nội tiếpÞNEC=FMN(cùng chắn cung FN);FMN=IBN(cùng phụ với góc INB)ÞIBN=NBCÞDBCN=DBIN.ÞBC=BI
*C/m DIEF vuông:Ta có EIB=ECB(cùng chắn cung EB) và ECB=45o ÞEIB=45ou
 Do HIN+HFN=2vÞIHFN nội tiếpÞHIF=HNF (cùng chắn cung HF);mà HNF=45o(do DEBN vuông cân)ÞHIF=45o v. Từuvà vÞEIF=1v Þđpcm
5/ * C/mBM là đường trung trực của QH:Do AI=BC=AB(gt và cmt)ÞDABI cân ở B.Hai Dvuông ABM và BIM có cạnh huyền BM chung;AB=BIÞDABM=DBIMÞABM=MBI;DABI cân ở B có BM là phân giác ÞBM là đường trung trực của QH.
*C/mMQBN là thang cân: Tứ giác AMEQ có A+QEN=2v(do EN^BM theo cmt) ÞAMEQ nội tiếpÞMAE=MQE(cùng chắn cung ME) mà MAE=45o và ENB=45o(cmt) ÞMQN=BNQ=45o ÞMQ//BN.ta lại có MBI=ENI(cùng chắn cungEN) và MBI=ABM vàIBN=NBC(cmt)
Þ QBN=ABM+MBN=ABM+45o(vì MBN=45o)ÞMNB=MNE+ENB=MBI+45o
ÞMNB=QBNÞMQBN là thang cân.
 Bài 24:
 Cho DABC có 3 góc nhọn(AB<AC).Vẽ đường cao AH.Từ H kẻ HK;HM lần lượt vuông góc với AB;AC.Gọi J là giao điểm của AH và MK.
C/m AMHK nội tiếp.
C/m JA.JH=JK.JM
Từ C kẻ tia Cx^với AC và Cx cắt AH kéo dài ở D.Vẽ HI;HN lần lượt vuông góc với DB và DC. Cmr : HKM=HCN
C/m M;N;I;K cùng nằm trên một đường tròn.
1/C/m AMHK nội tiếp:
Dùng tổng hai góc đối)
2/C/m: JA.JH=JK.JM
Xét hai tam giác:JAM và JHK có: AJM=KJH
(đđ).Do AKHM nt ÞHAM=HKM( cùng chắn cung HM)
ÞDJAM∽DJKH
Þđpcm
3/C/m HKM=HCN
vì AKHM nội tiếp ÞHKM=HAM(cùng chắn cung HM)
 A
 J M
 K
 B H C
 I
 N
 D
Hình 24
Mà HAM=MHC (cùng phụ với góc ACH).
Do HMC=MCN=CNH=1v(gt)ÞMCNH là hình chữ nhật ÞMH//CN hay MHC=HCNÞHKM=HCN.
4/C/m: M;N;I;K cùng nằm trên một đường tròn.
 ưDo BKHI nội tiếpÞBKI=BHI(cùng chắn cung BI);BHI=IDH(cùng phụ với góc IBH)
 ưDo IHND nội tiếpÞIDH=INH(cùng chắn cung IH)ÞBKI=HNI
 ưDo AKHM nội tiếpÞAKM=AHM(cùng chắn cung AM);AHM=MCH(cùng phụ với HAM)
 ưDo HMCN nội tiếpÞMCH=MNH(cùng chắn cung MH)ÞAKM=MNH
mà BKI+AKM+MKI=2vÞHNI+MNH+MKI=2v hay IKM+MNI=2vÞ M;N;I;K cùng nằm trên một đường tròn.
 Bài 25:
 Cho DABC (A=1v),đường cao AH.Đường tròn tâm H,bán kính HA cắt đường thẳng AB tại D và cắt AC tại E;Trung tuyến AM của DABC cắt DE tại I.
Chứng minh D;H;E thẳng hàng.
C/m BDCE nội tiếp.Xác định tâm O của đường tròn này.
C?m AM^DE.
C/m AHOM là hình bình hành.
1/C/m D;H;E thẳng hàng:
Do DAE=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm H)ÞDE là đường kínhÞ D;E;H thẳng hàng.
2/C/m BDCE nội tiếp:
DHAD cân ở H(vì HD=HA=bán kính của đt tâm H)ÞHAD=HAD mà HAD=HCA(Cùng phụ với HAB)
 A
I
 E
 B H M C
 D
Hình 25
 O
ÞBDE=BCEÞHai điểm D;C cùng làm với hai đầu đoạn thẳng BE…
ưXác định tâm O:O là giao điểm hai đường trung trực của BE và BC.
3/C/m:AM^DE:
 Do M là trung điểm BCÞAM=MC=MB=ÞMAC=MCA;mà ABE=ACB(cmt)ÞMAC=ADE.
Ta lại có:ADE+AED=1v(vì A=1v)ÞCAM+AED=1vÞAIE=1v vậy AM^ED.
4/C/m AHOM là hình bình hành:
Do O là tâm đường tròn ngoại tiếp BECDÞOM là đường trung trực của BC ÞOM^BCÞOM//AH.
Do H là trung điểm DE(DE là đường kính của đường tròn tâm H)ÞOH^DE mà AM^DEÞAM//OHÞAHOM là hình bình hành.
Bài 26:
 Cho DABC có 2 góc nhọn,đường cao AH.Gọi K là điểm dối xứng của H qua AB;I là điểm đối xứng của H qua AC.E;F là giao điểm của KI với AB và AC.
Chứng minh AICH nội tiếp.
C/m AI=AK
C/m các điểm: A;E;H;C;I cùng nằm trên một đường tròn.
C/m CE;BF là các đường cao của DABC.
Chứng tỏ giao điểm 3 đường phân giác của DHFE chính là trực tâm của DABC.
1/C/m AICH nội tiếp:
ưDo I đx với H qua ACÞAC là trung trực của HIÞAI=AH và HC=IC;AC chung ÞDAHC=DAIC(ccc)
ÞAHC=AIC mà AHC=1v(gt)ÞAIC=1v
ÞAIC+AHC=2vÞ AICH nội tiếp.
 I
 A
F
E
M
 K
 B H C
Hình 26
 2/C/m AI=AK:
Theo chứng minh trên ta có:AI=AH.Do K đx với H qua AB nên AB là đường trung trực của KHÞAH=AKÞ AI=AK(=AH)
 3/C/m A;E;H;C;I cùng nằm trên một đường tròn:
DoEỴABvà ABlà trung trực của KHÞEK=EH;EA chung;AH=AKÞDAKE=DAHEÞAKE=EHA màDAKI cân ở A(theo c/m trên AK=AI) ÞAKI=AIK.ÞEHA=AIEÞ hai điểm I và K cung làm với hai đầu đoạn AE…ÞA;E;H;I cùng nằm trên một đường tròn ký hiệu là (C) 
Theo cmt thì A;I;CV;H cùng nằm trên đường tròn(C’) Þ (C) và (C’) trùng nhau vì có chung 3 điểm A;H;I không thẳng hàng)
4/C/m:CE;BF là đường cao của DABC.
Do AEHCI cùng nằm trên một đường tròn có AIC=1vÞAC là đường kính.ÞAEC=1v
( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)Hay CE là đường cao của DABC.Chứng minh tương tự ta có BF là đường cao…
5/Gọi M là giao điểmAH và EC.Ta C/m M là giao điểm 3 đường phân giác của DHFE.
ÞEHM=MHF
ÞHA là pg…
 EBHM ntÞ MHE=MBE(cùng chắn cungEM)
BEFC ntÞ FBE=ECF (Cùng chắn cung EF)
HMFC ntÞFCM=FMH(cùng chắn cung MF)
 C/m tương tự có EC là phân giác của DFHEÞđpcm. 
Bài 27:
 Cho DABC(AB=AC) nội tiếp trong (O).Gọi M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC.Trên tia BM lấy MK=MC và trên tia BA lấy AD=AC.
C/m: BAC=2BKC
C/m BCKD nội tiếp.,xác định tâm của đường tròn này.
Gọi giao điểm của DC với (O) là I.C/m B;O;I thẳng hàng.
1/Chứng tỏ:BAC=BMC (cùng chắn cung BC)
BMC=MKC+MCK(góc ngoài DMKC)
Mà MK=MC(gt)ÞDMKC cân ở MÞMKC=MCK
ÞBMC=2BKC.
ÞBAC=2BKC.
2/C/mBCKD nội tiếp:
Ta có BAC=ADC+ACD(góc ngoài DADC) mà 
C/m DI=BI.
 D
 A
 I K
 M
 B C
Hình 27
AD=AC(gt)ÞDADC cân ở AÞADC=ACDÞBAC=2BDC
Nhưng ta lại có:BAC=2BKC(cmt)ÞBDC=BKC ÞBCKD nội tiếp.
ưXác định tâm:Do AB=AC=ADÞA là trung điểm BDÞ trung tuyến CA=BDÞDBCD vuông ở C
.Do BCKD nội tiếp ÞDKB=DCB(cùng chắn cungBD).Mà BCD=1vÞBKD=1vÞDBKD vuông ở K có trung tuyến KAÞKA=BD ÞAD=AB=AC=AK ÞA là tâm đường tròn…
3/C/m B;O;I thẳng hàng:Do góc BCI=1v,mà B;C;IỴ(O) ÞBI là đường kính ÞB;O;I thẳng hàng.
4/C/mBI=DI:
ưCách 1: Ta có BAI=1v(góc nội tiếp chắn nử đường tròn)hay AI^DB,có A là trung điểmÞAI là đường trung trực của BDÞDIBD cân ở IÞID=BI
ưCách 2: ACI=ABI(cùng chắn cung AI)DADC cân ở DÞACI=ADIÞBDC=ACDÞIDB=IBDÞDBID cân ở IÞđpcm. 
Bài 28:
 Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong(O).Gọi I là điểm chính giữa cung AB(Cung AB không chứa điểm C;D).IC và ID cắt AB ở M;N.
C/m D;M;N;C cùng nằm trên một đường tròn.
C/m NA.NB=NI.NC
DI kéo dài cắt đường thẳng BC ở F;đường thẳng IC cắt đường thẳng AD ở E.C/m:EF//AB.
C/m :IA2=IM.ID.
1/C/m D;M;N;C cùng nằm trên một đường tròn.
Sđ IMB=sđcung(IB+AD)
Sđ NCD=Sđ cungDI
Mà cung IB=IAÞIMB=NCD
ÞIMB=NCD.
Ta lại có IMN+DMN=2v
ÞNCD+DMN=2vÞMNCD nộitiếp.
2/Xét 2DNBC và NAI có:
 E F
 I B
M N
 A 
— O
 D C
Hình 28
IAB=ICB(cùng chắn cung BI)
INA=BNC(đ đ)ÞDNAI∽DNCBÞđpcm.
3/C/m EF//AB:
Do IDA=ICB(cùng chắn hai cung hai cung bằng nhau IA=IB) hay EDF=ECF
Þhai điểm D và C cùng làm với hai đầu đoạn EF…ÞEDCF nội tiếp
Þ EFD=ECD(cùng chắn cung ED),mà ECD=IMN(cmt)Þ EFD=FMNÞ EF//AB.
4/C/m: IA2=IM.ID.
 2 DAIM∽DDIA vì: I chung;IAM=IDA(hai góc nt chắn hai cung bằng nhau)
Þđpcm.
Bài 29:
 Cho hình vuông ABCD,trên cạnh BC lấy điểm E.Dựng tia Ax vuông góc với AE, Ax cắt cạnh CD kéo dài tại F.Kẻ trung tuyến AI của DAEF,AI kéo dài cắt CD tại K.qua E dựng đường thẳng song song với AB,cắt AI tại G.
C/m AECF nội tiếp.
C/m: AF2=KF.CF
C/m:EGFK là hình thoi.
Cmr:khi E di động trên BC thì EK=BE+DK và chu vi DCKE có giá trị không đổi.
Gọi giao điểm của EF với AD là J.C/m:GJ^JK.
1/