Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ thông môn Toán - Phạm Văn Hiệu

ng một đường trũn, dõy nào cú độ dài lớn hơn thỡ khoảng cỏch từ 
đú đến tõm nhỏ hơn và ngược lại. 
8. Bất đẳng thức cụsi: 
Cho a, b là hai số khụng õm. Ta luụn cú: a b ab
2
+ ≥ 
+) Nếu a + b (khụng đổi) ⇒ ab lớn nhất khi a = b. 
+) Nếu ab (khụng đổi) ⇒ a + b nhỏ nhất khi a = b. 
9. Một phõn thức với tử và mẫu dương, cú tử thức khụng đổi, phõn thức 
đạt giỏ trị lớn nhất nếu mẫu thức đạt giỏ trị nhỏ nhất và phõn thức 
đạt giỏ trị nhỏ nhất nếu mẫu thức đạt giỏ trị lớn nhất. 
phân dạng và ph−ơng pháp giải 

 
Môn : Đại Số - THCS 
Website:  
I - Các loại ph−ơng trình 
1. Ph−ơng trình bậc nhất 
- Ph−ơng trình bậc nhất là ph−ơng trình có dạng ax + b = 0 (a 0≠ ) 
- Ph−ơng trình có nghiệm duy nhất x = b
a
− 
www.VNMATH.com
Tr−ờng THCS Hồng H−ng - Gia Lộc – hải D−ơng 
Ng−ời viết - Giáo viên: Phạm Văn Hiệu 
- Chú ý: Nếu ph−ơng trình chứa tham số ta chuyển về dạng Ax = B và 
xét các tr−ờng hợp sau: 
 Nếu A 0≠ ph−ơng trình có nghiệm x = B
A
− 
 Nếu A = 0 , B 0≠ ph−ơng trình trở thành 0.x = B 
=> ph−ơng trình vô nghiệm 
 Nếu A = 0, B = 0 => ph−ơng trình vô số nghiệm 
2. Ph−ơng trình tích 
- Ph−ơng trình tích có dạng A(x).B(x) = 0 
- Cách giải: A(x).B(x) = 0 A(x) = 0 hoặc B(x) = 0 
- Trình bày gọn : A(x).B(x) = 0 
A(x) 0
B(x) 0
=

=
- Mở rộng: A(x).B(x).C(x) = 0 
A(x) 0
B(x) 0
C(x) 0
=

=
 =
3. Ph−ơng trình chứa ẩn ở mẫu 
 - Giải ph−ơng trình chứa ẩn ở mẫu ta thực hiện theo 4 b−ớc: 
 B−ớc 1: Tìm ĐKXĐ của ph−ơng trình 
 B−ớc 2: Quy đồng mẫu hai vế của ph−ơng trình rồi khử mẫu 
 B−ớc 3: Giải ph−ơng trình vừa nhận đ−ợc 
 B−ớc 4: (kết luận) 
Trong các giá trị của ẩn tìm đ−ợc ở b−ớc 3, các giá trị thỏa mãn 
ĐKXĐ chính là nghiệm của ph−ơng trình đã cho, giá trị của x 
không thuộc ĐKXĐ là nghiệm ngoại lai (loại đi) 
4. Ph−ơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 
 - Định nghĩa: 
A nếu A 0
A
A nếu A < 0
≥
= 
−
- Các dạng ph−ơng trình 
 f (x ) 0 f (x ) 0= = 
 
f (x ) k
f (x ) k(k 0) f (x) k
f (x) k
=
= > = ± 
= −
 
f ( x) g(x )
f (x ) g(x)
f (x ) g(x )
=
= 
= −
Hoặc [ ] [ ] [ ] [ ]2 2 2 2f (x) g(x) f (x ) g(x) f (x) g(x) 0= = − = , áp 
dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình ph−ơng và đ−a về ph−ơng 
trình tích (nếu các đa thức ở hai vế là bậc nhất thì có thể khai 
triển ngay và không cần chuyển vế) 
www.VNMATH.com
39 
39 
 Vì sự nghiệp giáo dục - Vì sự nghiệp trồng ng−ời 
 Năm học 
2011 - 2015 
Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ thông 
 f (x ) g(x)= 
f (x ) 0
f (x) g(x )
f (x ) 0
f (x ) g(x )
 ≥

=
 ≤

= −
 hoặc 
g(x) 0
f (x) g(x )
g(x ) 0
f (x ) g(x )
 ≥

=
 ≥

= −
Hoặc 
g(x) 0
f (x ) g(x ) hoặc f (x ) g(x )
≥

= = −
Hoặc [ ] [ ]2 2
g(x) 0
f (x ) g(x)
≥

=
- Chú ý: 2 2A A= ; A A≥ ± và A B A B A B− ≤ ± ≤ + 
5. Ph−ơng trình vô tỉ 
 
2f (x ) A(A 0) f (x) A= ≥ = (với f(x) là một đa thức) 
 
[ ]2
f (x ) 0
g(x) 0f (x ) g(x )
f (x) g(x )
≥
 ≥
= 

=
 
f (x ) 0
f (x ) g(x ) g(x) 0
f (x ) g(x )
≥

= ≥

=
 *)L−u ý: Hầu hết khi giải ph−ơng trình chứa ẩn trong căn, ta cần 
xác định điều kiện có nghĩa của ph−ơng trình và các điều kiện t−ơng 
đ−ơng. Nếu không có thể thử lại trực tiếp. 
6. Ph−ơng trình trùng ph−ơng 
 Ph−ơng trình trùng ph−ơng là ph−ơng trình có dạng: 
4 2ax bx c 0 (a 0)+ + = ≠ 
 Đặt x2 = t ( t 0≥ ), ph−ơng trình trùng ph−ơng trở thành ph−ơng 
trình bậc hai ẩn t : 2at bt c 0+ + = (*) 
 Giải ph−ơng trình (*), lấy những giá trị thích hợp thỏa m4n t 0≥ 
 Thay vào đặt x2 = t và tìm x = ? 
7. Ph−ơng trình bậc cao 
a) Ph−ơng trình bậc ba dạng: ax3 + bx2 + cx + d = 0 
H−ớng dẫn: Nhẩm nghiệm (nếu có nghiệm nguyên thì nghiệm đó 
là −ớc của hạng tử tự do d) hoặc dùng sơ đồ Hooc- ne hoặc dùng 
máy tính để tìm nhanh nghiệm nguyên của ph−ơng trình, khi 
đ4 biết một nghiệm thì dễ dàng phân tích VT d−ới dạng tích và 
giải ph−ơng trình tích (hoặc chia đa thức) 
b) Ph−ơng trình bậc bốn dạng: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 
H−ớng dẫn: Ph−ơng pháp t−ơng tự nh− ph−ơng trình bậc ba trên 
c) Ph−ơng trình bậc bốn dạng: 
www.VNMATH.com
Tr−ờng THCS Hồng H−ng - Gia Lộc – hải D−ơng 
Ng−ời viết - Giáo viên: Phạm Văn Hiệu 
x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0 (với d = 
2
c
a
 
 
 
). 
Ph−ơng pháp: 
Với x = 0, thay vào ph−ơng trình và kiểm tra xem x = 0 có là 
nghiệm hay không ? 
Với x ≠ 0. Chia cả hai vế cho x2, sau đó ta đặt t = x + c
ax
d) Ph−ơng trình bậc 4 dạng: 
(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = k (với a + b = c + d = m) 
Ph−ơng pháp: Đặt t = x2 + mx + +ab cd
2
e) Ph−ơng trình bậc bốn dạng: 
(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = kx2 (với ab = cd = k) 
Ph−ơng pháp: 
Chia cả hai vế cho x2. Đặt t = x + k
x
II- Bất ph−ơng trình bậc nhất một ẩn 
1) Định nghĩa: 
 Một bất ph−ơng trình dạng ax + b > 0 (hoặc ax + b < 0) với a 0≠ 
đ−ợc gọi là một bất ph−ơng trình bậc nhất một ẩn 
2) Cách giải: ax + b > 0 ax > - b 
Nếu a > 0 thì bx
a
> − 
Nếu a < 0 thì bx
a
< − 
3) Kiến thức có liên quan: 
 Hai bất ph−ơng trình đ−ợc gọi là t−ơng đ−ơng nếu chúng có cùng 
tập nghiệm và dùng kí hiệu để chỉ sự t−ơng đ−ơng đó 
 Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một hạng tử (là số hoặc đa thức) từ 
vế này sang vế kia của bất ph−ơng trình ta phải đổi dấu hạng tử 
đó => ta có thể xóa hai hạng tử giống nhau ở hai vế 
 Quy tắc nhân: Khi nhân hai vế của một bất ph−ơng trình với cùng 
một số khác 0, ta phải: Giữ nguyên chiều BPT nếu số đó d−ơng; 
đổi chiều BPT nếu số đó âm. 
4) Tính chất cơ bản của bất đẳng thức 
- Với mọi số thực a, b, c ta có : a > b a + c > b + c 
- Với mọi số thực a, b, c, d ta có : a > b, b > c => a > c (t/c bắc cầu) 
a > b, c > d => a + c > b + d 
a > b > 0, c > d > 0 => ac > b 
- Với mọi số thực a, b, c, 
+ Nếu c > 0 thì a > b ac > bc 
www.VNMATH.com
41 
41 
 Vì sự nghiệp giáo dục - Vì sự nghiệp trồng ng−ời 
 Năm học 
2011 - 2015 
Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ thông 
+ Nếu c b ac < bc 
- Với a, b là hai số thực : a > b 3 3a b> và a > b 3 3a b> 
- Nếu a 0,b 0≥ ≥ thì a > b a b> và a > b 2 2a b> 
- Giá trị tuyệt đối của một biểu thức A 
A, nếu A 0
A
A, nếu A < 0.
≥
= 
−
Ta có: A2 ≥ 0, |A| ≥ 0, 2A A= 
- Bất đẳng thức Cô - si: Cho a, b là hai số thực không âm, ta có: 
a b ab
2
+ ≥ Dấu “=” xảy ra a = b 
III – Các dạng bài tập có liên quan đến biểu thức hữu tỉ, căn bậc hai, căn bậc ba. 
1. Dạng 1 : Rút gọn và tính giá trị các biểu thức hữu tỉ 
 - Khi thực hiện rút gọn một biểu thức hữu tỉ ta phải tuân theo thứ 
tự thực hiện các phép toán : Nhân chia tr−ớc, cộng trừ sau. Còn nếu biểu 
thức có các dấu ngoặc thì thực hiện theo thứ tự ngoặc tròn, ngoặc vuông, 
ngoặc nhọn. 
 - Với những bài toán tìm giá trị của phân thức thì phải tìm điều 
kiện của biến để phân thức đ−ợc xác định (mẫu thức phải khác 0) 
2. Dạng 2 : Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa 
- Biểu thức có dạng A
B
 xác định (có nghĩa) khi B 0≠ 
- Biểu thức có dạng A xác định (có nghĩa) khi A 0≥ 
- Biểu thức có dạng A
B
 xác định (có nghĩa) khi B > 0 
- Biểu thức có dạng BA
C
+ xác định (có nghĩa) khi 
A 0
C 0
≥

>
- Biểu thức có dạng BA
C
+ xác định (có nghĩa) khi 
A 0
C 0
≥

≠
3. Dạng 3 : Rút gọn các biểu thức chứa căn bậc hai, căn bậc ba 
Lí thuyết chung: 
a) Các công thức biến đổi căn thức 
1) 2A A= 
2) AB A B ( với A 0 và B 0)= ≥ ≥ 
3) AA (với A 0 và B > 0)
B B
= ≥ 
4) 2A B A B (với B 0)= ≥ 
www.VNMATH.com
Tr−ờng THCS Hồng H−ng - Gia Lộc – hải D−ơng 
Ng−ời viết - Giáo viên: Phạm Văn Hiệu 
5) 2A B A B (với A 0 và B 0)= ≥ ≥ 
2A B A B (với A < 0 và B 0)= − ≥ 
6) A 1 AB (với AB 0 và B 0)
B B
= ≥ ≠ 
7) A BA (với B > 0)
BB
= 
8) 
( ) 2
2
C A B
C (với A 0 và A B )
A B A B
= ≥ ≠
± −
∓
9) 
( )C A BC (với A 0 , B 0 và A B)
A BA B
= ≥ ≥ ≠
−±
∓
10) 33 a x x a= = và ta có : ( )3 3 33 a a a= = 
11) a 3 3a b< 
12) 3 3 3.ab a b= 
13) Với b ≠ 0, ta có: 
3
3
3
aa
b b
= 
*) L−u ý: 
Để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai ta làm nh− sau : 
- Quy đồng mẫu số chung (nếu có) 
- Đ−a bớt thừa số ra ngoài dấu căn (nếu có) 
- Trục căn thức ở mẫu (nếu có) 
- Thực hiện các phép tính lũy thừa, khai căn, nhân, chia ,  
theo thứ tự đã biết để làm xuất hiện các căn thức đồng dạng 
- Cộng, trừ các biểu thức đồng dạng (các căn thức đồng dạng) 
b) Các hằng đẳng thức quan trọng, đáng nhớ: 
1) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 
+ = + + ≥2( a b) a 2 a.b b (a,b 0) 
2) (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 
− = − + ≥2( a b) a 2 a.b b (a,b 0) 
3) a2 - b2 = (a + b).(a - b) 
− = + − ≥a b ( a b).( a b) (a,b 0) 
4) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 
5) (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 
6) + = + − +3 3 2 2a b (a b)(a ab b ) 
( ) ( )+ = + = + = + − + ≥3 33 3a a b b a b a b ( a b)(a ab b) (a,b 0) 
7) − = − + +3 3 2 2a b (a b)(a ab b ) 
www.VNMATH.com
43 
43 
 Vì sự nghiệp giáo dục - Vì sự nghiệp trồng ng−ời 
 Năm học 
2011 - 2015 
Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ thông 
( ) ( )− = − = − = − + + ≥3 33 3a a b b a b a b ( a b)(a ab b) (a,b 0) 
8) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc 
9) + + = + + + + + ≥2( a b c) a b c 2 ab 2 ac 2 bc (a,b,c 0) 
10) =2a a 
Phân dạng bài tập chi tiết 
Dạng 3.1 : Tính – Rút gọn biểu thức không có điều kiện 
Dạng 3.2 : Rút gọn biểu thức có điều kiện 
Dạng 3.3 : Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến 
Dạng 3.4 : Tìm giá trị của biến khi biết giá trị của biểu thức 
Dạng 3.5 : Tìm giá trị nguyên của biến để biểu thức nhận giá 
trị nguyên 
Dạng 3.6 : Tìm giá trị của biến khi biết dấu của biểu thức 
Dạng 3.7 : Chứng minh bất đẳng thức sau khi đã rút gọn 
Dạng 3.8 : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức 
Dạng 3.9 : Bài tập tổng hợp 
IV – Các dạng toán về hàm số 
Lí thuyết chung 
1) Khái niệm về hàm số (khái niệm chung). 
Nếu đại l−ợng y phụ thuộc vào đại l−ợng thay đổi x sao cho với 
mỗi giá trị của x ta luôn xác định đ−ợc chỉ một giá trị t−ơng ứng 
của y thì y đ−ợc