Tài liệu luyện thi Đại học môn Toán - Đào Kiên Cường

. TSĐH - B - 2004
68. TSĐH - A - 2005
69. TSĐH - B - 2005
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
I - LÍ THUYẾT
1) DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
B
B'
A
A'
a
b
O
x
y
y = f(x)
a) Cho hàm số y = f(x), liên tục và không âm trên [a, b]. Ta biết rằng diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của f(x), các đường thẳng x = a, x = b và trục hoành là:
	S = 
x
y
O
B1
B'
B
b
A1
A'
A
a
+Nếu f(x) âm trên [a, b] thì diện tích của hình thang cong A'B'BA bằng diện tích của hình thang cong A'B'B1A1 là hình đối xứng của hình thang cong đã cho qua trục hoành khi đó ta có:
	S = SA'B'BA = = 
b) Từ công thức tính diện tích của hình thang cong, ta có diện tích của hình phảng giới hạn bởi hai đường thẳng x = a, x = b và đồ thị của hai hàm số y1 = f1(x) và y2 = f2(x) liên tục trên [a, b] được cho bởi công thức: S = 
Để tính diện tích S theo công thức trên trước hết ta phải tìm nghiệm của phương trình f1(x) - f2(x) = 0 thuộc [a, b]. Giả sử đó là a, b:
a £ a < b £ b khi đó ta có: 
S = + + (*)
Để tính tích phân ta chú ý rằng voiứ mọi x Î (a, b) thì f1(x) - f2(x) ≠ 0. Vì f1(x) và f2(x) đều liên tục trên (a, b) nên 
f1(x)-f2(x) luôn mang một dấu
Nếu f1(x)-f2(x) > 0 thì: 
 = = 
Nếu f1(x)-f2(x) < 0 thì:
 = = 
Vậy trong mọi trường hợp ta đều có: 
	 = 
Do đó (*) trở thành:
S = = ++
Ví dụ 1: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = x3, y =0, x = -1, x = 2.
Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng nằm giữa các đường:
	f1(x) = x3 - 3x và f2(x) = x
c) Diện tích hình tròn và elip
2) Thể tích của các vật thể
a) Giả sử hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), x = a, x = b, y = 0 quay xung quanh trục ox tạo thành vật thể tròn xoay T. Thiết diện của vật thể T với mặt phẳng vuông góc với ox tại điểm x là một hình tròn bán kính y (y = f(x)) nên diện tích thiết diện S(x) = . Vậy:
	V = 
Ví dụ: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh trục ox của hình giới hạn bởi trục ox và đường y = sinx (0 £ x £ p)
b) Xét đường cong có phương trình x = g(y) trong đó g(y) là một hàm số liên tục trên [a, b]. Nếu hình giới hạn bởi các đường: x = g(y), y = a, y = b, x = 0 quay xung quanh trục oy thì thể tích vật thể tròn xoay sinh ra được tính theo công thức:
	V = 
Ví dụ: Tính tiếp tuyến vật thể sinh ra bởi phép quay xung quanh trục oy của hình giới hạn bởi các đường: y = , y = 2, y = 4, x = 0.
II - BÀI TẬP
1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) x = 0, x = 1 y = 0, y = 5x4 + 3x2 + 3.
b) y = x2 + 1, x = y = 3.
c) y = x2 + 2, y = 3x.
d) y = 4x - x2, y = 0.
e) y = lnx, y = 0, x = e.
f) x = y3, y = 1, x = 8.
g) x = , x = p, y = 0, y = cosx.
h) y = x(x - 1)(x - 2), y = 0.
i) xy = 4, y = 0, x = a, x = 3a (a > 0).
k) y = ex, y = e-x, x = 1.
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x2 - 2x + 2, tiếp tuyến của nó tại điểm M(3, 5) và oy.
3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = -x2 + 4x - 3 và các tiếp tuyến của nó tại các điểm M1(0, -3) và M2(3, 0).
4. TSĐH - B - 2004. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
5. TSĐH - A - 2002. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
6. Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây khi nó quay xung quanh trục ox:
a) y = 0, y = 2x - x2.
b) y = cosx, y = 0, x = 0, x = .
c) y = sin2x, y = 0, x = 0, x = p.
d) y = x.e, y = 0, x = 0, x = 1.
e) y = sinx, y = 0, x = 0, y = .
g) .
h) y = 2x2, y = x3.
i) y = , x = 1, x = 2, y = 0.
k) y = lnx, x = 1, x = 2, y = 0.
7. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các đường 	 khi nó quay xung quanh:
a) Trục ox.
b) Trục oy.
BẤT ĐẲNG TÍCH PHÂN
I - CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN
1. f(x) ≥ 0 trên [a, b] Þ
2. f(x) ≥ g(x) trên [a, b] Þ 
3. m £ f(x) £ M trên [a, b] Þ m(b - a) £ £ M(b - a)
II - BÀI TẬP
ĐẠI SỐ TỔ HỢP
I - LÝ THUYẾT
1) Qui tắc cộng và qui tắc nhân
: a) Qui tắc cộng
Nếu có m cách chọn đối tượng x, n cách chọn đối tượng y và nếu cách chọn đối tượng x không trùng với bất kỳ cách chọn đố tượng y nào thì thì có m+n cách chọn một trong các đối tượng đã cho.
Dưới dạng tổng quát: Nếu có m1 cách chọn đối tượng x1, m2 cách chọn đối tượng x2... mn cách chọn đối tượng xn và nếu cách chon đối tượng xi không trùng với bất kỳ cách chọn đối tượng xj nào (i≠ j; i, j = 1, 2, 3 ...n) thì có m1 + m2 + ... + mn cách chọn một trong những đối tượng đã cho.
Ví dụ 1: có 8 quyển sách khác nhau và 6 quyển vở khác nhau. hỏi có bao nhiêu cách chọn một trong các quyển đó.
Ví dụ 2: từ các chữ số 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau có các chữ số khác nhau.
: b) Qui tắc nhân
Ví dụ: Từ tỉnh A đến tỉnh B có thể đi bằng: Tàu hỏa, tàu thủy, máy bay, ôtô. Từ tỉnh B đến tỉnh C có thể đi bằng tàu hỏa, máy bay, ôtô. Muốn đi từ tỉnh A tới tỉnh C bắt buộc phải đi qua tỉnh B. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ tỉnh A tới tỉnh C?
Nếu có m cách chọn đối tượng x và với mỗi cách chọn đối tượng x có n cách chọn đối tượng y thì ta có m.n cách chọn cặp đối tượng (x, y)
Tổng quát: Nếu có m1 cách chọn đối tượng x1, với mỗi cách chọn đối tượng x1 có m2 cách chọn đối tượng x2. Sau đó với mỗi cách chọn x1 và x2 như thế có m3 cách chọn đối tượng x3...Cuối cùng với mỗi cách chọn x1, x2, x3, ..., xn-1 có mn cách chọn xn, thì ta có m1m2...mn cách chọn dãy x1, x2, ..., xn.
2) Hoán vị
a) Định nghĩa. Cho tập A gồm n phần tử (n≥1). Mỗi cách sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
b) Số hoán vị của n phần tử.
Định lí: Kí hiệu số hoán vị của n phần tử là Pn, thì ta có:
	Pn = n(n-1)(n-2)...3.2.1 = n!
3) Chỉnh hợp
a) Định nghĩa. Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi bộ gồm k (1£k£n) phần tử sắp thứ tự của tập hợp A được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A.
Ví dụ 1: Cho A = {a, b, c} tìm số chỉnh hợp chập 2 từ 3 phần tử của A
Ví dụ 2: Tìm tất cả các số tự nhiên có hai chữ số khác nhau mà chữ số nào cũng là lẻ.
b) Số chỉnh hợp chập k của n phần tử.
Định lí: Nếu kí hiệu số chỉnh hợp chập k từ n phần tử là thì ta có:
4) Tổ hợp
a) Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k (1 £ k £ n) phần tử của A được gọi là một tổ thợp chập k của n phần tử đã cho.
Ví dụ: Có 6 thầy giáo tham gia hỏi thi. Mỗi phòng thi gồm hai giám khảo. Hỏi có bao nhiêu cách ghép 6 thầy thành đôi để hỏi thi?
b) Số các tổ hợp chập k của n phần tử: 
Định lí: Nếu kí hiệu số tổ hợp chập k của n phần tử là thì ta có:
Ví dụ 1: Có 20 đội bóng tham gia thi đấu tính điểm. Thể lệ cuộc thi là bất kì hai đội nào cũng chỉ gặp nhau một lần. Hỏi phải tổ chức bao nhiêu trận đấu?
Ví dụ 2: Có bao nhiêu đường chéo trong một hình thập giác lồi?
c) Các hệ thức:
A
5) Nhị thức newton
a) Công thức nhị thức newton:
	=	
b) Các tính chất:
Số các số hạng của công thức là n + 1
Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng số mũ của nhị thức n.
Số hạng tổng quát có dạng: . Đây là số hạng thứ k + 1 trong khai triển của nhị thức.
Các hệ số trong khai triển cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau.
c) Tam giác pascan
II - BÀI TẬP PHẦN TỔ HỢP
1. Từ các chữ số 1, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số.
2. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số.
3. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữ thì giống nhau?
4. Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số chia hết cho 5?
5. Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường, Từ thành phố A đến thành phố C có 2 con đường, từ thành phố B đến thành phố D có 2 con đường, từ thành phố C đến thành phố D có 3 con đường. Không có con đường nào nối thành phố B với thành phố C. Hỏi có bao nhiêu con đường đi từ thành phố A đên thành phố D?
6. Một đội văn nghệ đã chuẩn bị được 2 vở kịch, 3 điệu múa và 6 bài hát. Tại hội diễn, mỗi đội chỉ được trình bày một vở kịch, một điệu múa và một bài hát. Hỏi đội văn nghệ có bao nhiêu cách chọn chương trình biểu diễn? Biết chất lượng các vở kịch, điệu múa, bài hát là như nhau.
7. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được:
a) Bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số, các chữ số khác nhau.
b) bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số, các chữ số khác nhau.
8. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, các chữ số khác nhau?
9. Cho các số 1, 2, 3 ,4, 5, 6, 7. Tìm các số tự nhiên gồm 5 chữ số lấy từ 7 số trên sao cho:
	a) Chữ số đầu tiên là 3.
	b) Các chữ số khác nhau.
	c) Các chữ số khác nhau và đều chia hết cho 2.
	d) Các chữ số khác nhau và chia hết cho 5.
10. Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 ta có thể thành lập được bao nhiêu số có 5 chữ số, các chữ số khác nhau thỏa mãn:
	a) Các số là số lẻ.
	b) Các số đều chia hết cho 5.
	c) Trong đó nhất thiết phải có số 5.
	d) trong đó nhất thiết phải có số 0.
11. Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần các chữ số khác có mặt đúng một lần.
12. Cho các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. có bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau trong đó có hai chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau.
13. Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập nên từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Hỏi trong đó có bao nhiêu số:
	a) Bắt đầu từ số 1.
	b) Bắt đầu bởi 23
	c) Không bắt đầu bởi 345
	d) không nhỏ hơn 234.
14. Cho tập hợp X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau đôi một lấy từ X trong mỗi trường hợp sau:
	a) Là số chẵn.
	b) Một trong 3 chữ số đầu tiên phải là 1.
15. (HVCNBCVT TPHCM - 98)Từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể thành lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau, sao cho trong các chữ số đó có mặt chữ số 0 và 1.
16.Cho 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4. Từ 5 chữ số đó có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số, sao cho trong mỗi số đó, mỗi chữ số có mặt một lần.
17. (ĐHQGTPHCM - 99). Cho tập A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
	a) có bao nhiêu tập con X của A thỏa mãn điều kiện X chưa 1 và không chứa 2.
	b) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lấy từ tập A mà không bắt đầu từ 123.
18. (HVNH TPHCM - 99)
Xét những số gồm 9 chữ số, trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số còn lại là 2, 3, 4, 5. Hỏi có bao nhiêu số như thế nếu:
	a) Năm chữ