Tài liệu luyện thi Đại học môn Toán - Bài toán về tiếp tuyến với đường cong trong các đề thi

+ Bài toán về tiếp tuyến với đường cong:
 Cách 1: Dùng tọa độ tiếp điểm 
 Phương trình tiếp tuyến có dạng: 
1. Lập phương trình tiếp tuyến với đường cong tại điểm thuộc đồ thị hàm số (tức là tiếp tuyến duy nhất nhận làm tiếp điểm).
 Phương trình tiếp tuyến với hàm số tại điểm 
 ( hoặc tại ) có dạng: 
2. Lập phương trình tiếp tuyến với đường cong đi qua điểm cho trước, kể cả điểm thuộc đồ thị hàm số (tức là mọi tiếp tuyến đi qua điểm )
 Cho hàm số . Gỉa sử tiếp điểm là , khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng: .
 Điểm , ta được: .
 Từ đó lập được phương trình tiếp tuyến .
 3. Lập phương trình tiếp tuyến với đường cong biết hệ số góc 
 Cho hàm số . Gỉa sử tiếp điểm là , khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng: .
 Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến là nghiệm của phương trình:
 , thay vào hàm số ta được 
 Ta lập được phương trình tiếp tuyến 
 Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc 
 Phương trình đường thẳng đi qua một điểm có hệ số góc có dạng: 
 Điều kiện để đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số 
 là hệ phương trình sau có nghiệm: .
 Từ đó lập được phương trình tiếp tuyến . 
6/ Cho hàm số . 
 a/ Lập phương trình các tiếp tuyến kẻ đến đồ thị , từ điểm .
 b/ Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị , biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng .
Giải:
 a/ Gỉa sử tiếp điểm là , khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng:
Điểm thuộc , ta được: 
Với thay vào ta được tiếp tuyến 
Với thay vào ta được tiếp tuyến 
Với thay vào ta được tiếp tuyến 
b/ Đường thẳng có hệ số góc . Từ giả thiết , ta có: . Hệ số góc tiếp tuyến là .
Với ta được tiếp tuyến 
Với ta được tiếp tuyến 
 7/ Cho hàm số . 
 Chứng tỏ rằng qua điểm có thể kẽ được ba tiếp tuyến đến . Lập phương trình các tiếp tuyến đó.
Giải:
 Gỉa sử tiếp điểm là . Khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng:
Điểm thuộc , ta có: 
Với thay vào ta được tiếp tuyến 
Với thay vào ta được tiếp tuyến 
Với thay vào ta được tiếp tuyến 
Chọn Lọc Các Bài Toán Thường Gặp Về Đồø Thị trong kỳ thi Tuyển Sinh Đại Học, Cao Đẳng các năm gần đây
Bài 1 Cho hàm số 
 a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số .
b/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số , biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt và tam giác cân tại gốc tọa độ .
 (Đại Học Khối A năm 2009)
 Đáp số: .
Bài 2 Cho hàm số .
a/ Khảo sát vẽ đồ thị . 
b/ Với các giá trị nào của , phương trình có đúng 6 nghiệm phân biệt?
 (Đại Học Khối B năm 2009)
 Đáp số: 
 Bài 3 Cho hàm số , là tham số.
a/ Khảo sát vẽ đồ thị hàm số khi . 
b/ Tìm để đường thẳng cắt đồ thị tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2.
 (Đại Học Khối D năm 2009)
 Đáp số: .
Bài 4 Tìm các giá trị của tham số để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt sao cho .
 (Đại Học Khối B năm 2009)
 Đáp số: 
Bài 5 Tìm các giá trị của tham số để đường thẳng cắt đồ thị hàm số 
 tại hai điểm phân biệt sao cho trung điểm của đoạn thẳng thuộc trục tung.
 (Đại Học Khối D năm 2009)
 Đáp số: .
Bài 6 Cho hàm số .
 a/ Khảo sát vẽ đồ thị hàm số . 
 b/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số , biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm .
 (Đại Học Khối B năm 2008)
 Đáp số: Các tiếp tuyến cần tìm là: 
Bài 7 Cho hàm số .
 a/ Khảo sát vẽ đồ thị hàm số . 
 b/ Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm với hệ số góc đều cắt đồ thị của hàm số tại ba điểm phân biệt đồng thời là trung điểm của đoạn thẳng .
 (Đại Học Khối D năm 2008)
Bài 8 Cho hàm số 
 a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số .
 b/ Tìm tọa độ điểm thuộc , biết tiếp tuyến của cắt 2 trục tại và tam giác có diện tích bằng .
 (Đại Học Khối D năm 2007)
 Đáp số: .
Bài 9 Cho hàm số 
 a/ Khảo sát vẽ đồ thị . 
 b/ Với các giá trị nào của , phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: . (Đại Học Khối A năm 2006)
 Đáp số: 
Bài 10 Cho hàm số 
 a/ Khảo sát vẽ đồ thị 
 b/ Gọi là đường thẳng đi qua điểm và có hệ số góc là . Tìm để đường thẳng cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt.
 (Đại Học, Cao Đẳng Khối D năm 2006)
 Đáp số: 
Bài 11 Cho hàm số 
 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị , biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên của ?
 (Đại Học, Cao Đẳng Khối B năm 2006) 
 Đáp số: Phương trình 2 tiếp tuyến cần tìm là: 
Bài 12 Cho hàm số 
 Tìm các điểm trên đồ thị mà tiếp tuyến tại mỗi điểm ấy với đồ thị vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của ?
 (Cao Đẳng Y Tế I năm 2006) 
 Đáp số: 
Bài 13 Cho hàm số 
 Tìm các giá trị để đường thẳng cắt đồ thị tại hai điểm sao cho khoảng cách giữa chúng bằng ?
 (Cao Đẳng Sư Phạm Hải Dương năm 2006) 
 Đáp số: 
Bài 14 Cho hàm số 
 a/ Khảo sát vẽ đồ thị 
 b/ Tìm để đường thẳng , là tham số cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt, trong đó có hai điểm có hoành độ dương.
 (Cao Đẳng Sư Phạm Trà Vinh năm 2006)
 Đáp số: 
Bài 15 Cho hàm số 
 a/ Khảo sát vẽ đồ thị khi . 
 b/ Gọi là điểm thuộc có hoành độ bằng . Tìm để tiếp tuyến của tại điểm song song với đường thẳng .
 (Đại Học, Cao Đẳng Khối D năm 2005)
 Đáp số: 
Bài 16 Cho hàm số 
 Chứng minh rằng đường thẳng luôn cắt tại hai điểm phân biệt . Xác định sao cho độ dài là nhỏ nhất?
 (Cao Đẳng Kinh Tế Kỷ Thuật I năm 2005) 
 Đáp số: 
Bài 17 Cho hàm số 
 a/ Khảo sát vẽ đồ thị 
 b/ Tìm để phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
 (Cao Đẳng Tài Chính Kế Toán IV năm 2005)
 Đáp số: 
Bài 18 Cho hàm số 
 Xác định để đường thẳng luôn cắt tại hai điểm phân biệt sao cho các tiếp tuyến của tại song song nhau?
 (Cao Đẳng Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh năm 2005) 
 Đáp số: 
Bài 19 Cho hàm số 
 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị , biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng ?
 (Cao Đẳng Khối A-B năm 2005) 
 Đáp số: Phương trình 2 tiếp tuyến cần tìm là: 
Bài 20 Cho hàm số , là tham số
 Tìm để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt sao cho ?
 (Đại Học , Cao Đẳng Khối A năm 2004) 
 Đáp số: .
 Bài 21 Cho hàm số 
 a/ Khảo sát vẽ đồ thị 
 b/ Viết phương trình tiếp tuyến của tại điểm uốn và chứng minh rằng là tiếp tuyến của có hệ số góc nhỏ nhất.
 (Đại Học , Cao Đẳng Khối B năm 2004)
 Đáp số: Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn: 
Bài 22 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
 . 
 (Học Viện Kỷ Thuật Quân Sự năm 2000)
 Đáp số: (đvdt) 
Bài 23 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường . Tình thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng khi nó quay quanh:
 a/ trục ; b/ Trục 
 (Đại Học Hàng Hải năm 2000)
 Đáp số: a/ (đvtt) ; b/ (đvtt)
Bài 24
a/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 
b/ Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường . Quay hình phẳng quanh trục , ta được vật thể tròn xoay. Tính thể tích vật thể đó.
 (Đại Học Thủy Sản năm 2000)
 Đáp số: a/ (đvdt) ; b/ (đvtt)