Sổ tay Giải tích 12

ø(C2) y = g(x) . Hệ pt tọa độ giao điểm : 
f(x) g(x) (1) : phương trình hoành độ giao điểm
y f(x)
⎧ =⎨ =⎩
Số nghiệm của (1) là số giao điểm của (C1) và (C2
7.2. Phương trình tiếp tuyến 
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) của hàm số y = f(x) 
tại điểm M(x0; f(x0) thuộc (C ) là : y – y0 = f’(x0) (x – x0) 
3 
7.3. Điều kiện tiếp xúc của hai đường cong 
f(x)
Định lí : (C1) và (C2) tiếp xúc Ù hệ g(x) (1)f '(x) g '(x)
=⎧⎨ =⎩ có no. 
Nếu (1) là pt bậc 2 thì đktx là Δ = 0. 
Aùp dụng : Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f( x) 
biết d qua điểm A. 
™ Bước 1: Pt d qua A có dạng y = k (x – xA) + yA 
™ Bước 2 : d tiếp xúc (C) Ù A Af(x) k(x x ) y (1)
f '(x) k (2)
= − +⎧⎨ =⎩
™ Thế k từ (2) vào (1), ta được pt tính hoành độ tiếp điểm 
™ Giải để tìm x , thế vào (2), được k => pt của d. 
7.4. Họ đồ thị qua các điểm cố định . 
Cho họ đồ thị (Cm) : y = f(x) phụthuộc tham số m. 
∈™ M(x0; y0) (Cm) Ù y0 = f(x0) (*) 
™ Biền đổi (*) về dạng Am + B = 0 (1) hay Am2 + 
Bm + C = 0 (2) 
™ (Cm) qua đ cố định thoả A = B = 0 (A = B = C = 0) 
7.5. Tìm tập hợp những điểm M thỏa một tính chất nào 
đĩ. 
™ Tìm điều kiện m ∈K để điểm M tồn tại. 
™ Tìm hoành độ x theo tham số m và tung độ y theo x 
và m : y = f(x, m) 
™ Tính m theo x và thế vào y = f(x, m) ta được y = 
g(x ). 
™ Giải điều kiện m ∈ K thành điều kiện của x D . 
Kết luận : tập hợp là đồ thị hàm số y = g(x) với x 
∈D. 
∈
ÔN ĐẠO HÀM 
1. Đạo hàm của hàm số y = f ( x ) tại điểm xo : 
0 0
( ) ( )'( ) lim lim o oo x x
f x x f xyf x
x xΔ → Δ →
+ Δ −Δ= =Δ Δ 
2.. Ý nghĩa hình học của đạo hàm : 
Định lý : Đạo hàm của hàm số tại điểm xo là hệ số góc của 
tiếp tuyến với đồ thị ( C ) tại điểm Mo( xo , f(xo)) thuộc ( C ) 
• Phương trình của tiếp tuyến với ( C ) tại Mo ( xo , yo) thuộc 
( C) là : y = f’( xo) ( x – xo) + f(x0) . 
3 . Các quy tắc tính đạo hàm 
 (u + v – w)’ = u’ + v’ – w’ ; (uv)’ = u’v + uv’ 
 (ku)’ = k.u’ ; (un)’ = nun – 1. u’ 
 2 2
' ' '' ; '− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
u u v uv k kv
v v v v
( )( ) [ ]' ' . '( )=⎡ ⎤⎣ ⎦f u x f u u x 
4. Bảng công thức đạo hàm. 
(C’) = 0 (a x + b)’ = a 
(x n ) = nxn - 1 (un)’ = nun – 1. u’ 
1( x)'
2 x
= ( ) u'u '
2 u
= 
2
1 1'
x x
⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎝ ⎠ 2
1 u''
u u
⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎝ ⎠ 
(sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’.cosu 
(cosx)’ = - sinx (cosu)’ = - u’.sinu 
(tanx)’ = 2
1
cos x
 = 1 + tan2x (tanu)’ = 2
'
cos
u
u
= (1 + tann2). u’ 
(cotx)’ = 2
1
sin x
− 
= -(1 + cot2x) 
(cotgu)’ = 2
'
sin
− u
u
= -(1+ cot2u ). u’ 
Ch 2. Hàm số lũy thừa, mũ, lôgarit ương 
1. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ 
Với a ∈ R+ và số hữu tỉ r = m/n (tối giản) trong đó m ∈ Z , 
n∈N* , ta định nghĩa : ar = 
m
mnna a= 
 Lũy thừa với số mũ vô tỉ 
a) Định nghĩa . Cho số vô tỉ α = , thế thì 
nn
lim r
→+∞
nr
n
a limaα
→+∞
=
b) Tính chất . Cho a, b > 0 , ,α β ∈ R , ta có : 
• aa .a a ; a
a
α
α β α+β α−β
β= = 
• a a(ab) a b ;
b b
α α
α α β
β
⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
• a 0 ; (a ) aα α β αβ> = 
• Nếu a > 1 : a aα β α β> > 
• Nếu 0 < 
2. Hàm số lũy thừa y = xα 
• Đạo hàm : Với mọi x > 0 và (x )’ = xα α α - 1 
Tồng quát : (uα )’ = α uα - 1u’ 
Khảo sát y = xα trên (0 ; + ∞ ) 
a) α > 0 : 
• Hàm số luôn đồng 
biến từ 0 đến + 
∞ . 
• Không có tiệm cận 
Đồø thị luôn qua điểm 
(1 ; 1) . 
y α > 1 α = 1 
0 < α < 1 
1
x 1
4 
α < 0 
• Hàm số luôn nghịch 
biến từ +∞ đến 0. 
• Tc ngang Ox , tc đứng 
Oy 
• Đồø thị luôn qua điểm 
(1;1) 
3. Lôgarit 
• Định nghĩa lôgarit 
α = loga b Ù 
aα = b (a , b > 0 , a ≠ 1) 
 (a : cơ số , b đối số) 
• Tính chất 
 a, b > 0 , a ≠ 1 : ∀
a
a a
log b
a
log 1 0 ; log a 1
a b ; log a ( R)α α
= =
= = α ∈α 
• Quy tắc tính lôgarit 
∀ Định lí 1 : a, b1, b2 > 0 và a ≠ 1 : 
α
= + = −
= α ∀α∈
1
a 1 2 a 1 a 2 a a 1 a 2
2
a a
b
log b b log b log b ; log log b log b ;
b
log b log b ( R)
Đặc biệt: a a
1log log b
b
= − ; n ma amlog b log bn= 
• Công thức đổi cơ số 
c
a
c
log b
log b
log a
= ; aa
1log b log bα = α ; a b
1log b
log a
= 
4. Hàm số mũ y = ax ( a > 0 , ≠ 1).õ 
• Hàm số y = ex có đạo hàm là y’= ex , x. 
∀
∀
• Hàm số y = ax có đạo hàm là y’= ax lna , x. 
 Tổng quát : (eu)’ = eu.u’ ; (au)’= au.lna.u’ 
™ Có tập xác định là R. 
™ Đạo hàm : y’ = ax lna , suy ra : 
 * a > 1 : đồng biến từ ( -oo; + oo) đến (0 ; + oo). 
 * 0 < a < 1: nghịch biến từ ( -oo; + oo) đến (+ oo ; 0). 
5. Hàm số lôgarit y = ( a > 0 , ≠ 1) alog x
* Hàm số y = lnx có đạo hàm là y’= , 1/ x ∀ x > 0. 
* Hàm số y = alog x có đạo hàm y’= 
1
x ln a
,∀ x > 0 
Tổng quát : (ln|u||)’ = u’/u ; (loga|u|)’ = u’/(ulna) ; ∀ u ≠ 0 
™ Có tập xác định là (0 ; + ∞ ). 
™ Đạo hàm y’ = 1/(xlna) , suy ra : 
* a > 1 : đồng biến từ (0 ; + ∞ ) đến (- oo ; + oo). 
 * 0 < a < 1 : nghịch biến từ (0 ; + ∞ ) đến (+ oo ; - oo) 
6. Phương trình mũ 
Dạng 1 ax = b (a > 0 , ≠ 1) Ù 
a
b 0
x = log b
>⎧⎨⎩ 
 u(x) v(x)a a u(x) v= = (x) với a > 0 , ≠ 1 
)Dạng 2 : Đưa về dạng : ( a, b > 0 , ≠ 1) u(x) v(xa b=
Lấy lôgarit cớ số a hai vế : u(x) = v(x). logab 
Dạng 3 : Bằng cách đưa về cùng một cơ số rồi đặt ẩn số 
phụ để được phương trình bậc 2, 3 theo ẩn số phụ . 
Dạng 4 : Sử dụng chiều biến thiên để giải pt f(x) = 0 
• Tìm một nghiệm x0 bằng phép thử f(x0) = 0 
• Nếu f(x) luôn đồng biến hay luôn nghịch biến thì x0 
là nghiệm duy nhất. 
7. Phương trình lôgarit 
Dạng 1: Phương trình dạng cơ bản : 
™ a b
0 a 1
log u(x) b
u(x) a
 ⎨ =⎪⎩
™ a a
0 a 1
log u(x) log v(x) u(x) 0 (hay v(x) 0)
u(x) v(x)
 > >⎨⎪ =⎩
Dạng 2 : Trong trường hợp tổng quát ta đưa phương trình về 
dạng cơ bản theo các bước sau : 
¾ Đặt điều kiện cho các cơ số ( > 0 , ≠ 1) , đối số ( > 
0). 
¾ Đưa các biểu thức về cùng cơ số và dùng quy tắc 
tính toán để biến đổi phương trình về dạng cơ bản 
a alog u(x) log v(x)= 
¾ Giải phương trình u(x) = v(x) rồi chọn nghiệm thỏa 
điều kiện đã nêu. 
Dạng 3: Đưa p trình về dạng bậc 2, 3 qua phép đặt ẩn số 
phụ 
Dạng 4 : Sử dụng chiều biến thiên để giải pt f(x) = 0 
8. Hệ phương trình mũ – lôgarit 
Nhắc lại các phưong pháp giải hệ đả biết : 
• Phưong pháp thế 
• Phưong pháp cộng 
• Phưong pháp đặt ẩn số phụ để biến đổi hệ về các 
dạng quen thuộc như hệ bậc nhất , hệ đối xứng. . . 
9. Bất phương trình mũ 
1) Bất phương trình mũ cơ bản . 
af(x) > ag(x) Ù a 1 0 a 1hay
f(x) g(x) f(x) g(x)
> <⎩ ⎩ 
2) Tương tự như đối với phương trình mũ , ta có thể biến đổi 
bất phương trình về dạng cơ bản bằng cách sử dụng các 
phưong pháp : 
• lôgarit hóa hai vế 
• đặt ẩn số phụ 
3) Dùng phưong pháp khảo sát hàm số : 
• Nếu f là hàm số đồng biến trên K thì x∀ 1, x2 ∈ K: 
 f(x1) < f(x2) Ù x1 < x2 
• Nếu f là hàm số nghịch biến trên K thì x∀ 1, x2 ∈ 
K : f(x1) x2 
1
1
x
y
O
α < 0 
x
yy
x
a 1
1
x
y
x
ya 1
1 1
5 
10. Bất phương trình lôgarit 
1) Bất phương trình lôgarit cơ bản . 
• logaf(x) > b Ù b b
a 1 0 a 1
hay
f(x) a 0 f(x) a
> < <⎪ ⎪⎩ ⎩
• Đặc biệt logaf(x) > 0 
Ù a 1 0 a 1hay
f(x) 1 0 f(x) 1
> < <⎩ ⎩
• logaf(x) > loga g(x) Ù 
a 1 0 a 1
hay
f(x) g(x) 0 0 f(x) g(x)
> > < <⎩ ⎩ 
2) Đặt ẩn phụ 
3) Dùng phương pháp khảo sát như đối với phương trình mũ 
Ch 3. Nguyên hàm và tích phân ương 
§1.Nguyên hàm . 
I.Định nghĩa. Hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số 
f(x) trên khoảng (a;b) Ù F’(x) = f(x) với mọi x thuộc 
khoảng (a;b) 
II. Định lý1. F(x) và G(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) 
Ù G(x) = F(x) + C ( C là một hằng số ) 
Tập hợp tất cả các nguyên hàm F(x) + C kí hiệu ( )f x dx∫ 
III. Tính chất của nguyên hàm . 
1 . ( ) ( )( ) ' ( ) ; ( ) ' ( ) .= = +∫ ∫f x f x f x dx f x C 
2 . ( k là một hằng số ) ( ) ( )=∫ ∫kf x dx k f x dx
3 . [ ]( ) ( ) ( ) ( )± = ±∫ ∫ ∫f x g x dx f x dx g x dx 
IV. Định lý 3. Mọi hàm số f(x) liên tục trên một khoảng 
đều có có nguyên hàm trên khoảng đó. 
V. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp . 
VI. Phương pháp tìn nguyên hàm II. nguyên1. PhươPhương pháp tính n
1. Phương pháp nguyên hàm từng phần 
Định lý 1 : ( ) '( ) ( ). ( ) '( ) ( )= −∫ ∫u x v x dx u x v x u x v x dx 
 hay .= −∫ ∫udv u v vdu 
2. Phương pháp đổi biến số . 
Định lý 2 : ( ( )) '( ) ( ( ))= +∫ f u x u x dx F u x C 
Aùp dụng: 
n 1
n (ax b)(ax b) dx C (n 1)
a
+++ = + ≠ −∫ 
1 1 ln | ax b | C
ax b a
= + ++∫ ax b ax b1e dx ea+ +=∫ C+ 
1cos(ax b)dx sin(ax b) C
a
 + = +∫ + . . . 
2. Tích phân . 
I. Định nghĩa tích phân . F(x) là một nguyên hàm của f(x) 
trên đọan [a,b] . Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân 
ác định trên đoạn [a.b] của f(x)), ký hiệu ( )
b
a
f x dx∫ hay 
( ) baF x để chỉ hiệu số F(b) – F(a). 
II. Tính chất của tích phân . 
1 : ( k là một hằng số). ( ) ( )=∫ ∫b b
a a
kf x dx k f x dx
2 : ∫[ ( ) ( )] ( ) ( )± = ±∫ ∫b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx . 
3 : ( ) ( ) ( )= +∫ ∫ ∫b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx . ( a < c < b ) 
4. Nếu hàm số f(x) không âm trên đoạn [a,b] và liên tục trên 
đoạn này thì : . ( ) 0
b
a
f x dx ≥∫
III.Phương pháp tính tích phân. 
1.Phương pháp tích phân từng phần . 
Định lý 1 : ( ) '( ) ( ) '( ) '( ) ( )= −∫ ∫b bba
a a
u x v x dx u x v x u x v x dx . Hay 
= −∫ ∫
b b
b
a
a a
udv uv vdu . 
2. Phương pháp đổi biến số . 
Dạng 1: 
( )
( )
( ( )). '( ) ( )=∫ ∫
u bb
a u a
f u x u x dx f u du 
0 =∫ dx C = +∫ dx x C 
11 (