Bài tập về giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số

 1 
BÀI TẬP VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 
Định nghĩa: 






 M)x(f:Dx
M)x(fDx
)x(fmaxM
00
Dx






 M)x(f:Dx
m)x(fDx
)x(fminm
00
Dx
Ví dụ 1. Tìm a để hàm 
1x
1axy 2 

 có giá trị lớn nhất bằng 4. 
Ví dụ 2. Tìm m để hàm 
1x
mx2y 2 

 có giá trị nhỏ nhất bằng -1. 
DẠNG 1. Tìm )x(fMax
Dx
 và )x(fMin
Dx
 trong đó RD  
Phương pháp: 
+ Tính y’ = f’(x) 
+ Tìm các điểm x1, x2,, xn D sao cho y’ = 0 hay y’ không xác 
định 
+ Lập bảng biến thiên trên D. 
+ Kết luận: )x(fmax
Dx
 và )x(fmin
Dx
Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: 
1) 1xx2x)x(f 23  trên khoảng  2;0 
2) 
2x
x)x(f

 trên khoảng  4;2 
3) 
x
11x)x(f  trên khoảng  ;0 
Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: 
1) 4x3x)x(f 2  
2) 
1x
x4)x(f 4 
 
3) 1x23x2x)x(f 2  
Chú ý 1. Cho     xugxfy  có tập xác định RD  
+ Đặt t = u(x),  tDx [ )x(umax);x(umin
DxDx 
] = E 
+ Khi đó:    tgmaxxfmax
ExDx 
 
   tgminxfmin
ExDx 
 
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: 
1) 1
x
x13
x
x1)x(f
2







  
2) 2xx34x41x)x(f  
Bài tập tương tự: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: 
 2 
1) 
2x
11x)x(f

 trên khoảng  ;2 
2) 
1x
3x)x(f


 trên khoảng  3;1 
3) 2xx
1x)x(f


 trên khoảng (0; 1) 
4) 22
4
)x1(
x1)x(f


 
5)   4x6x)x(f 2  
6) 
1x8
x91x)x(f 2
2


 trên đoạn  ;0 [nhân liên hợp] 
7) 22 x1xx1x)x(f  
8) 1
xcos
1xcos
xcos
1xcos)x(f 2
2  
9) 9
x
y
y
x2
x
y
y
x)x(f 2
2
2
2






 
DẠNG 2. Tìm 
 
)x(fMax
b;ax
 và 
 
)x(fMin
b;ax
Phương pháp: 
+ Tính y’ = f’(x) 
+ Tìm các điểm x1, x2,, xn  b;a sao cho y’ = 0 hoặc y’ không 
xác định 
+ Tính )x(f),...,x(f),x(f),b(f),a(f n21 . 
+ Kết luận: 
 
 )x(f),...,x(f),x(f),b(f),a(fmax)x(fmax n21b;ax  
 
 )x(f),...,x(f),x(f),b(f),a(fmin)x(fmin n21b;ax  
Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: 
1) 6x8x)x(f 24  trên đoạn [ 1 ; 3] 
2) 2x5x5x)x(f 345  trên đoạn [ 1 ; 2] 
3) 
1x
1xx)x(f
2


 trên đoạn [
2
3 ; 3] 
Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: 
1) 2x10x3)x(f  
2)   2x42x)x(f  
Chú ý 2. Cho hàm )x(g)x(fy  xác định trên [a; b]. 
 Xét )x(gy  , x [a; b]  d)x(gmax)x(g)x(gminc
DxDx


 Nếu 0 < c < d thì d)x(gc  
 3 
Nếu c < d < 0 thì c)x(gd  
Nếu c < 0 < d thì  d,cmax)x(g0  
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: 
1x3x)x(f 23  trên đoạn [-2; 1] 
Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: 
1) x3sinx3)x(f  trên đoạn 


 
2
;
2
2) x2cosx)x(f  trên đoạn 


 
2
;
2
Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: 
1)  326 x14x)x(f  trên đoạn [-1; 1] 
2) 2xsinxcos)x(f 24  
3) 2xsinx2cosxsin)x(f 3  
Chú ý 3: Cho y = f(x) xác định trên D và tuần hoàn với chu kỳ T > 0. 
Xét y = f(x) với  T;0x 
 
 
 
 
 
 







xfminxfmin
xfmaxxfmax
T;0xDx
T;0xDx 
Bài 6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: 
x2sinxsin2)x(f  
Bài tập tương tự: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: 
1) 4x3x)x(f 2  trên đoạn [ 1 ; 3] 
2) 1x9x3x)x(f 23  trên đoạn [ ;4 4] 
3) 2xx)x(f 24  trên đoạn [ 1 ; 2] 
5) 
3x
1x3)x(f


 trên đoạn [0; 2] 
6) 
2x
4x2x)x(f
2


 trên đoạn [-1; 4] 
7) 
1xx
1x)x(f 2 

 trên đoạn [-3; 1] 
8) 2x3x)x(f 2  trên đoạn [-10; 10] 
9) 90x72x3x)x(f 23  trên đoạn [-5; 5] 
 10) 6x5x)x(f 2  
10) 
1x
1x)x(f
2 

 trên đoạn [-1; 2] 
11) 2x2x)x(f  [ĐH.2004.B] 
 4 
12) x53x)x(f  
13) 2xx7x7x)x(f  
14) x2sinx)x(f  trên đoạn 


 
2
;
2
15) xcosx)x(f 2 trên đoạn 


 
2
3;0 
16)  326 x14x)x(f  trên đoạn [-2; 1] 
17) 3xcosxsin)x(f 24  
18) 1xcosxsinx2cosxsin2)x(f 2  
19) 1x2sinxcosxsin)x(f  
20) xcos1xsin1)x(f  
21) xcos21xsin21)x(f  
21) 1
x1
x2cos
x1
x4cos)x(f 22 


 
23) x2sin3xsin)x(f  
24) 
xcosxsin
1)x(f

 
25) 4xsin27xsin27)x(f 23 