Sáng kiến kinh nghiệm một số kinh nghiệm mở rộng, phát triển, đặt các đề toán từ một bài toán đơn giản

à 4B một phần thì tổng số HS của 2 lớp là 2 phần như thế.
Khi đó số HS lớp 4B bằng 1 phần như thế cộng thêm 1 em.
Ta có sơ đồ: 
 4A 1 4B
 TB số HS của 
 2 lớp 4A và 4B
Nhìn vào sơ đồ ta thấy số HS lớp 4A ít hơn trung bình số HS của 2 lớp là 1 em. Vậy trung bình số HS của 2 lớp 4A và 4B là:
25 + 1 = 26 ( em )
Tổng số HS của 3 lớp 4 là:
26 x 2 + 32 = 84 ( em )
Trung bình mỗi lớp có số HS là:
84 : 3 = 28 ( em )
Đáp số: 28 em.
3. Khối lớp 4 của một trường tiểu học có 3 lớp. Trong đó lớp 4A có 25 HS, lớp 4B có số HS nhiều hơn trung bình số HS của 2 lớp 4A và 4B là 1 em, lớp 4C có số HS nhiều hơn trung bình số HS của cả 3 lớp là 4 em. Tính số HS của cả 3 lớp khối 4?
( Cách phân tích để giải bài toán này tương tự bài toán trên)
Giải:
Coi trung bình số HS của cả 3 lớp là 1 phần thì tổng số HS của cả 3 lớp bằng 3 phần như thế. Khi đó số HS của lớp 4C bằng 1 phần cộng thêm 4 em.
Ta có sơ đồ:
 4
 4A + 4B 4C
Từ sơ đồ ta thấy tổng số HS của 2 lớp 4A và 4B bằng 2 phần bớt đi 4 em. Do đó trung bình số HS của lớp 4A và 4B bằng một phần trừ đi 2 em suy ra số HS của lớp 4B bằng 1 phần bớt đi 1 em và số HS lớp 4A bằng 1 phần bớt đi 3 em nên 1 phần ứng với số HS là: 25 + 3 = 28 ( em )
 Số HS của 3 lớp khối 4 là:
 28 x 3 = 84 ( em ) 
 Đáp số: 84 em
4. Khối 4 của một trường tiểu học có 3 lớp. Biết rằng trung bình mỗi lớp có 28 HS, trong đó số HS của lớp 4B ít hơn của lớp 4C là 5 em và nhiều hơn lớp 4A là 2 em. Tính xem mỗi lớp có bao nhiêu HS?
Phân tích: Biết trung bình mỗi lớp có 28 HS => biết tổng số HS của cả khối 4 => vẽ sơ đồ để giải.
Giải:
Tổng số HS của 3 lớp là:
28 3 = 84 (em)
Ta có sơ đồ:
Số HS lớp 4A
Số HS lớp 4B 2
Số HS lớp 4C 5 
 Nhìn vào sơ đồ ta thấy số HS của lớp 4A là:
 (84 - 2 - 2 - 5) : 3 = 25 (em)
 Số HS của lớp 4B là:
 25 + 2 = 27 (em)
 Số HS của lớp 4C là:
 27 + 5 = 32 (em)
Đáp số: 25 em, 27 em, 32 em
Ví dụ 2: Cho a, b, c là các số tự nhiên khác 0, biết c - b = a. Hãy chứng tỏ rằng: = - 
Phân tích: Đây là 1 bài toán đơn giản HS chỉ việc thực hiện phép trừ hai phân số bằng cách quy đồng mẫu số.
Giải:
- = - = = 
Vậy: = - 
Từ bài toán này có thể mở rộng, phát triển thành các bài toán cho HS giải như sau:
1. Tính tổng sau bằng cách thuận tiện nhất:
 + + + 
Phân tích: Ta thấy: 3 - 2 = 1, 4 - 3 = 1, 5 - 4 = 1 vậy theo bài toán ở ví dụ 1, ta có thể phân tích mỗi số hạng thành hiệu 2 phân số để giải.
Giải:
Ta thấy: = 1 - ; = - ; = - ; =- 
Vậy: + + + = 1 - + - +- + - = 1 - = 
2. Tính tổng:
a. + + + …….+ + 
(Cách giải bài này tương tự như bài ở trên)
b. + + + + …….+ + 
( Ở bài này cần viết mẫu số thành tích 2 số tự nhiên liên tiếp để đưa về dạng như bài trên: 6 = 2 x 3, 12 = 3 x 4, 20 = 4 x 5, ….., 90 = 9 x 10, 110 = 10 x 11 )
c. + + + + + 
( Ở bài này cũng dễ dàng nhận ra dạng của bài giống bài 1 vì 13 - 11 = 2, 15 - 13 = 2, 19 - 17 = 2, 21 - 19 = 2, 23 - 21 = 2 nên có thể phân tích mỗi số hạng thành hiệu của 2 phân số = - ,= - ; …….)
d. + + + + 
( Đưa bài này về dạng giống bài c. bằng cách phân tích các mẫu số thành tích của 2 số tự nhiên hơn kém nhau 3 đơn vị: 4 = 1 x 4, 28 = 4 x 7, 70 = 7 x 10, 130 = 10 x 13, 208 = 13 x 16.)
Ngoài các dạng trên có thể mở rộng thêm các bài khó hơn như:
3. Tính tổng:
a. + + + …..+ 
Phân tích: Theo cách nhận dạng nhanh ở các bài trên, ta thấy: 3-1 =2, 5-3 =2, …. HS sẽ suy nghĩ đến việc làm xuất hiện số 2 ở tử số bằng cách: Đặt tổng đó bằng S rồi tính S x 2, ta có:
S x 2 = + + + ….+ 
Bài toán trở về giống với bài 2c. Tính kết quả rồi chia đôi để tính S.
b. + + ……+ 
Phân tích: Cũng theo cách suy luận như bài 3a.: Vì 5-1= 4, 9-5= 4, …., 97-93= 4 nên HS sẽ suy nghĩ làm xuất hiện số 4 ở tử số bằng cách: Đặt tổng đó bằng A rồi tính A x 2, ta có:
A x 2= + + ……+ 
Bài toán trở về giống bài 3a.
c. + + ….+ 
Phân tích: Ta thấy 2 - 1= 1, 3 - 2= 1, …..100 - 99= 1 cho nên HS sẽ có suy nghĩ làm xuất hiện số 1 ở tử số bằng cách: Đặt tổng đó bằng S rồi tính S : 3. Cách giải giống như các bài trên, tính được kết quả đem nhân 3 để tính S.
d. + + + …..+ 
Phân tích: Vì 7 - 5 = 2, 9 - 7 = 2, …., 99 - 97 = 2 nên phải làm xuất hiện số 2 ở tử số bằng cách: Đặt tổng trên bằng S rồi tính S : 2. Tính được kết quả đem nhân 2 để tính S.
Ví dụ 3: Tìm 2 số tự nhiên M và N biết M gấp 5 lần N nếu cộng thêm 3 đơn vị vào N thì M gấp 4 lần N.
Phân tích: Ta thấy ở bài này đại lượng M là không đổi. Vậy chúng ta cần dựa vào M để giải bài toán này.
Giải:
Ban đầu M gấp 5 lần N nên N = M
Sau khi thêm 3 đơn vị vào N thì M gấp 4 lần N, như vậy lúc này N+3 = M
Vậy 3 đơn vị ứng với: - = (M)
M = 3 : = 60
N = 60 : 5 = 12
Từ bài toán trên có thể thay đổi giả thiết bằng cách bớt N và giữ nguyên M hoặc thay đổi M giữ nguyên N với cách giải tương tự bài trên GV có thể cho HS làm các bài sau:
1. Tìm 2 số tự nhiên M và N biết M gấp 5 lần N. Nếu bớt N đi 2 đơn vị thì M gấp 6 lần N.
Phân tích: Ở bài này cần dựa vào đại lượng không đổi M.
Giải:
Ban đầu: N = M
Sau khi N bớt 2 đơn vị thì : N - 2 = M
2 đơn vị ứng với: - = (M)
M = 2 : = 60; N = 60 : 5 = 12
Đáp số: M = 60, N = 12.
2. M và N là hai số tự nhiên, biết M gấp 5 lần N, nếu bớt M đi 12 đơn vị thì M gấp 4 lần N. Tìm 2 số M và N.
Phân tích: Ở bài toán này N là đại lượng không đổi.
Giải:
Ban đầu M = 5 N
Sau khi bớt M đi 12 đơn vị thì : M - 12 = 4 N
12 đơn vị ứng với: 5N - 4 N = N
Vậy N = 12; M = 12x 5 = 60
Đáp số: M = 60, N = 12.
3. Cho 2 số tự nhiên M và N, biết M gấp 5 lần N. Nếu thêm vào M 2 đơn vị thì N = M. Tìm M, N ?
Phân tích: Ở bài toán này đại lượng không đổi là N.
Giải:
Ban đầu m = 5 N
Sau khi thêm vào M 2 đơn vị thì: M = N
2 đơn vị ứng với: N - 5 N = N
N = 2 : = 6
M = 6 x 5 = 30
Đáp số: M = 30, N = 6
4. Tìm 2 số tự nhiên M và N biết M gấp 5 lần N. Nếu thêm vào N 3 đơn vị và bớt ở M đi 3 đơn vị thì lúc này N = M
Phân tích: Ở bài toán này ta thấy cả 2 đại lượng M và N đều thay đổi. Nhưng ta thấy ở đây thêm vào N và bớt ở M đi cùng 1 số đơn vị như nhau (3) nên tổng (M + N) là không đổi. Nên để giải bài toán này cần dựa vào tổng của M và N.
Giải:
M = 5N nên coi N là 1 phần thì M sẽ gồm 5 phần như thế. Vậy M + N = 6 (phần) => N = (M + N)
Sau khi thêm vào N 3 đơn vị và bớt ở M 3 đơn vị thì:
N + 3 = (M + N) = (M + N)
3 đơn vị ứng với:
- = (M + N)
M + N = 3 : = 72
N = 72 : 6 = 12 ; M = 12 x 5 = 60
Đáp số: M = 60; N = 12
5. Tìm 2 số tự nhiên M và N, biết M gấp 5 lần N. Nếu cùng thêm vào mỗi số 3 đơn vị thì lúc đó N = M
Phân tích: Cũng như ở bài 4, 2 đại lượng M và N đều thay đổi nhưng ở đây cùng thêm vào cả 2 số một số đơn vị như nhau (3) nên hiệu (M-N) không thay đổi => Dựa vào hiệu M - N không đổi để giải bài toán.
Tóm tắt cách giải:
M = 5N nên M = (M-N) = (M-N)
Sau khi cùng thêm vào mỗi số 3 đơn vị thì:
M + N = (M-N) = (M-N)
3 đơn vị ứng với: - = (M-N)
M - N = 3 : = 48
M = x 48 = 60
N = 60 : 5 = 12
Đáp số: M = 60; N = 12
Ví dụ 4: Cho phân số . Hãy viết các phân số đã cho dưới dạng tổng của các phân số có tử số là 1 và mẫu số khác nhau.
Phân tích: Để phân tích phân số thành tổng các phân số có tử số = 1 và mẫu số khác nhau thì trước hết ta cần phân tích phân số đó thành tổng các phân số khác nhau mà mẫu số chia hết cho tử số ( để rút gọn làm xuất hiện tử số = 1, mẫu số khác nhau).
Từ đó ta suy nghĩ ra cách làm là: Phân tích tử số 15 thành tổng các số khác nhau và đều là ước số của mẫu số 16. Ta có: 15 = 1 + 2 + 4 + 8 ( 1, 2, 4, 8 đều là ước của 16).
Giải:
 = = + + + = + + + 
( Hoàn toàn tương tự với các bài toán mà tay phân số bằng các phân số , , , , , , …..)
Hoặc mở rộng thêm các bài như sau:
1. Hãy viết phân số thành tổng các phân số khác nhau có mẫu số khác nhau và tử số dều bằng 1. Có mấy cách viết như vậy ?
Phân tích: Đối với yêu cầu thứ nhất thì cách làm hoàn toàn giống bài ở ví dụ 3. Còn ở yêu cầu thứ 2 lưu ý thêm cho HS khi phân tích tử số 14 thành tổng của các số đều là ước của 30 thì cần tìm hết xem có bao nhiêu cách phân tích thì bài toán sẽ có bấy nhiêu cách viết.
Ta thấy: 14 = 1 + 2 + 5 + 6 = 3 + 5 + 6 = 1 + 3 + 10
Có 3 cách phân tích do đó bài toán sẽ có 3 cách viết.
Giải:
Cách 1: = = + + + = + + + 
Cách 2: = = + + = + + 
Cách 3: = = + + = + + 
2. Phân tích phân số dưới đây thành tổng của 2 phân số tối giản có cùng mẫu số: 	a. 	b. 
Phân tích: Nếu như bài toán ở ví dụ 4 phân tích phân số theo hướng thành tổng các phân số rút gọn được (tử số là ước của mẫu số) thì ngược lại ở bài toán này ta lại phân tích tử số thành tổng của các số mà mẫu số không chia hết (không phải là ước của mẫu số).
a. Ta thấy: 4 = 1 + 3 = 2 + 2 ( 1, 2, 3 đều không phải là ước của 5). Từ đó ta có cách giải như sau:
Giải:
Cách 1: = = + 
Cách 2: = = + 
Lưu ý: Vì ở bài toán này không yêu cầu viết thành tổng 2 phân số khác nhau nên ta có cách 2. Mặt khác ở đề bài chỉ yêu cầu phân tích thành tổng 2 phân số nên chỉ có 2 cách trên nếu bài toán yêu cầu phân tích thành tổng các phân số thì ta còn có thêm 2 cách nữa là:
Cách 3: = = + + 
Cách 4: = + + + 
b. Cách giải tương tự bài a.
3. Phân tích phân số thành tổng 2 phân số khác nhau và tối giản?
Phân tích: Đối với bài này chúng ta chỉ việc phân tích tử số 11 thành tổng 2 số khác nhau chứ không cần quan tâm đến các dấu hiệu chia hết hay không chia hết như ở các bài trên, ở đây đề bài yêu cầu phân số tối giản nên sau khi phân tích xong phân số nào rút gọn được thì ta rút gọn đến tối giản. Từ đó ta có các cách phân tích số 11 thành tổng 2 số như sau:
11 = 1 + 10 = 2 + 9 = 3 + 8 = 4 + 7 = 5 + 6 (5 cách)
Giải:
Cách 1: = + = + 
Cách 2: = + = + 
Cách 3: = + = + 
Cách 4: = + = + 
Cách 5: = + = + 
Lưu ý: Từ bài này lập ra các đề bài khác bằng cách yêu cầu phân tích thành tổng 3 phân số, 4 phân số,……….
Ví dụ 5: Cho hình thang ABCD có 2 đường chéo AC và BD. Hãy chứng tỏ rằng:
Diện tích tam giác ACD bằng diện tích tam giác BCD.
b. Diện tích tam giác ADB bằng diện tích tam giác ACB.
Vẽ hình:
 A B
 D C
Phân tích: => để chứng tỏ 2 tam giác có diện tích bằng nhau cần nghĩ đến việc so sánh đáy và chiều cao của chúng.
a. Xét ACD và BDC có:
- Chiều cao hạ từ A và B bằng nhau (vì chúng cùng bằng