Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng toán giải toán lập phương trình, hệ phương trình

Thực tế số SP của công nhân làm là :70+10 = 80 (SP)
Thời gian CN đó hoàn thành số SP theo thực tế là : (giờ)
Theo bài ra ta có phương trình : 
 Giải ra có x1 = 15 ; x2 = -35
Với x = 15 thoả mãn điều kiện bài toán.
Vậy số SP là công nhân đó dự định làm theo kế hoạch là 15 sản phẩm
Bài toán 2: Trong tháng đầu hai tổ công nhân sản xuất được 780 chi tiết máy. Sang tháng thứ hai tổ I vượt mức 16%, tổ II sản xuất vượt mức 20 %, do đó cuối tháng cả hai tổ sản xuất được 928 chi tiết máy. Hỏi rằng trong tháng đầu, mỗi tổ công nhân sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy
Hướng dẫn học sinh:
- Bài toán có hai đối tượng tham gia (hai tổ sản xuất)
	- Đề cập tới năng suất lao động của hai tổ khác nhau (phức tạp hơn)
- Sự tăng năng suất ở dạng phần trăm (học sinh hiểu được 16%, 20%)
- Biết khối lượng công việc ban đầu và khi vượt mức.
Lời giải:
Gọi số chi tiết máy của Tổ I sản xuất được trong tháng đầu là x ( x , x < 780 ) 
Gọi số chi tiết sản máy xuất được trong tháng đầu của Tổ II là y ( y , y < 780 )
Vì trong tháng đầu hai tổ sản xuất được 780 chi tiết máy do đó 
Ta có ph. trình : x + y = 780 (1)
Vì trong tháng thứ hai Tổ I vượt mức 16%, Tổ II sản xuất vượt mức 20 %, cả hai tổ sản xuất được 945 chi tiết máy do đó ta có phương trình (2) là:
 + = 945-780 Û x + y = 148
Theo bài ra ta có hệ phương trình: 
Giải hệ phương trình ta được: ( thỏa mãn điều kiện )
Vậy trong tháng đầu tổ I sản xuất được 200 chi tiết máy, tổ II sản xuất được 580 chi tiết máy.
4.2.3. Dạng 3 : Toán công việc , làm chung , làm riêng .
4.2.3.1 . Kiến thức cần nhớ .
+ Kỹ năng chọn ẩn, đưa dữ kiện quy về đơn vị chung (phần việc)
+ Phân tích các giai đoạn làm việc, biểu thị mối liên hệ qua ẩn và đơn vị đã chọn.
4.2.3.2 . Bài toán áp dụng .
Bài toán 1: Hai vòi nước cùng chảy vào bể thì sau giờ bể đầy. Mỗi giờ lượng nước chảy ở vòi I bằng lượng nước chảy ở vòi II. Hỏi mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu bể đầy?
Hướng dẫn học sinh: 	- Phân tích rõ, đúng hướng bài toán.
	 - Biểu thị quan hệ giữa K, N, T
	- Chon đại lượng quy về đơn vị, chọn ẩn thích hợp (phần bể I).
Lời giải: Gọi thời gian một mình vòi I chảy đầy bể là x (giờ); (Điều kiện x >)
Gọi thời gian một mình vòi II chảy đầy bể là y (giờ); (điều kiện y >)
Một giờ vòi I chảy được: (phần bể)
Một giờ vòi II chảy được: (phần bể)
Một giờ cả hai vòi chảy được: (phần bể)
Theo bài ra ta có phương trình : 
Vì vòi I chảy 1 giờ bằng của vòi 2 lên có PT : 
Theo bài ra ta có hệ PT phương trình : 
Giải bằng đặt ẩn phụ có x = 6, y = 8 thoả mãn điều kiện bài toán.
Vậy: Một mình vòi I chảy đầy bể là 6 giờ
Một mình vòi II chảy đầy bể là 8 giờ.
Bài toán 2: Công nhân thứ nhất làm được 1,5 ngày thì công nhân thứ 2 đến làm thì sau 5,5 ngày xong công việc . Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì sau bao lâu xong công việc. Biết rằng người thứ 2 hoàn thành công việc đó một mình nhanh hơn người thứ nhất là 3 ngày.
Hướng dẫn học sinh:
- Chọn ẩn là thời gian (đơn vị số ngày) của từng người làm một mình xong công việc.
- Chọn toàn bộ khối lượng công việc quy về đơn vị một công việc.
- Lập và giải hệ phương trình.
Lời giải:
Gọi thời gian người thứ 1 làm một mình xong công việc là: x (ngày); (điều kiện: x >7)
Gọi thời gian người thứ 2 làm một mình xong công việc là: y (ngày); (điều kiện: y >7)
1 ngày người thứ nhất làm là : 
1 ngày người thứ hai làm là : 
Theo bài ra người thứ nhất làm trong 7 ngày , người thứ 2 làm trong 5,5 ngày :
Trong 7 ngày người thứ nhất làm được là : 
Trong 5,5 ngày người thứ hai làm được là : 
Theo bài ra ta có phương trình : 
Vì làm một mình người thứ nhất lâu hơn người 2 là 3 ngày ta có PT : x –y =3
Ta có hệ PT: Giải hệ PT bằng phương pháp thế ta có 
 Giải PT bậc 2 có các nghiệm 
Với y =11 thoả mãn điều kiện bài toán
	Vậy:	Người thứ hai làm xong công việc một mình trong 11 (ngày)
	Người thứ nhất làm xong công việc một mình trong 14 (ngày)
Chú ý: Bài toán có thể giải bằng cách lập hệ phương trình.
4.2.4. Dạng 4 . Toán về tỉ lệ, chia phần ,tăng giảm 
4.2.4.1 . Kiến thức cần nhớ .
+ Kỹ năng biểu thị mối liên hệ giữa các đại lượng.
+ Biểu diễn các tỷ lệ dưới dạng: Phần trăm, thập phân, tỷ lệ thức...
+ Các tính chất của tỷ lệ thức
+ Sự tăng giảm, thêm bớt qua các biểu thức
4.2.4.2 . Bài toán áp dụng .
Bài toán 1: Hai khối lớp 8 , 9 thu nhặt phế liệu làm kế hoạch nhỏ . Khối 9 thu nhặt nhiều hơn khối 8 là 82 kg. Nếu chuyển từ khối 9 sang khối 8 là 48 kg thì lúc đó số phế liệu ở khối 9 bằng 90% số phế liệu ở khối 8. Tính số phế liệu mỗi khối thu nhặt lúc đầu?
Hướng dẫn học sinh:
- Chọn ẩn là số phế liệu (đơn vị kg) của từng khối thu nhặt ban đầu .
- Tính khối lượng phế liệu sau khi chuyển cho nhau .
- Lập và giải hệ phương trình.
Lời giải: Gọi số phế liệu lúc đầu ở khối 8 : x (kg); (điều kiện: x > 0)
 Thì số phế liệu lúc đầu ở khối 9 là: x+82 (kg )
Nếu chuyển 48 kg từ khối 9 sang khối 8 thì khi đó số phế liệu ở khối 8 là x+48 (kg)
Số phế liệu còn lại ở khối 9 : x+82 - 48 = x + 34 (kg ) 
Theo bài ra ta có phương trình:
Với x = 92 thoả mãn điều kiện bài toán
Vậy:	Số phế liệu lúc đầu khối 8 thu nhặt là : 92 (kg)
	Số phế liệu lúc đầu khối 9 thu nhặt là : 174 (kg)
Chú ý: Bài toán có thể giải bằng cách lập hệ phương trình.
Bài toán 2: Theo dự kiến, một đội xe đự định điều động một số lượng xe để chuyên chở 420 tấn hàng . Nhưng thực tế đội đã điều động thêm 5 xe nữa . Do vậy mỗi xe chuyên chở ít hơn ban đầu 7 tấn so với dự kiến. Tính số lượng xe mà đội đã điều động chuyên chở
Hướng dẫm HS : + Số xe ban đầu của đội , số xe thực tế đi làm .
+Số hàng trên mỗi xe lúc đầu , số hàng thực tế trên xe lúc sau 
+ So sánh lượng hàng , rút ra PT .
Lời giải: Gọi số xe lúc đầu của đội là: x (chiếc); (điều kiện: x > 0; x nguyên)
Theo dự định mỗi xe phải chở: (tấn hàng)
Thực tế khi làm việc có x+5 (chiếc) 
Nên mỗi xe phải chở: (tấn hàng)
Theo bài ra ta có phương trình : 
 Giải ra có x1 = 15 , x2 = -20 (Loại )
Với x = 15 thoả mãn điều kiện bài toán
Vậy: Số lượng xe mà đội đã điều động chuyên chở : 15 xe
4.2.5. Dạng 5 : Toán có nội dung số học .
4.2.5.1 . Kiến thức cần nhớ .
+ Cấu tạo thập phân của một số
+ Việc thay đổi thứ tự các chữ số, thêm bớt chữ số.
+ Cấu tạo của một phân số, điều kiện phân số tồn tại
4.2.5.2 . Bài toán áp dụng . 
Bài toán 1: Cho một số có hai chữ số, chữ số hàng chục gấp 3 lần chữ số hàng đơn vị. Nếu xen giữa hai chữ số đó bởi chữ số 2 thì ta được một số mới lớn hơn số đã cho 830 đơn vị. Tìm số đã cho?
Hướng dẫn học sinh: Cấu tạo thập phân của một số tự nhiên
	 Số có hai chữ số: 
	 Số có ba chữ số: 
	- Chọn ẩn và điều kiện cho ẩn; các chữ số: ; a,b,c nguyên
Lời giải: Gọi chữ số hàng chục là: x ( điều kiện: x nguyên; 0 < x ≤ 9 )
Chữ số hàng đơn vị là : y Điều kiện 0 < y ≤ 9
Ta có số .Theo bài ra có PT : x = 3y
Sau khi xen số 2 vào giữa 2 chữ số của nó ta có số : 
Ta có phương trình : - = 830
Theo bài có hệ PT : 
Thoả mãn điều kiện bài toán
Như vậy: Chữ số hàng chục là 9 và chữ số hàng đơn vị là 3.
Do đó: Số đã cho là 93.
Chú ý: - Bài toán có thể giải bằng cách lập phương trình.
Bài toán 2: Tổng của 3 lần chữ số hàng chục với 2 lần chữ số hàng đơn vị của một số có hai chữ số bằng 23 . Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì được số mới lớn hơn số ban đầu là 36 đơn vị. Tìm số ban đầu?
Lời giải: Gọi chữ số hàng chục là: x, chữ số hàng đơn vị là y 
(điều kiện: 0 < x ≤ 9; 0 ≤ y ≤ 9; x, y )
Thì số đã cho có dạng: 
Số mới khi đổi chỗ có dạng: 
Theo bài ra ta có phương trình: (1)
Mặt khác: Tổng của 3 lần chữ số hàng chục với 2 lần chữ số hàng đơn vị của một số có hai chữ số bằng 23 .
Nên ta có phương trình: 3x + 2y = 23 (2)
Kết hợp (1) và (2) ta có hệ phương trình: 
Với: thoả mãn điều kiện bài toán.
Như vậy: Chữ số hàng chục là 3
	 Chữ số hàng đơn vị là 7 Do đó số đã cho là 37.
Chú ý: - Bài toán có thể giải bằng cách lập phương trình.
4.2.6. Dạng 6: Toán có nội dung hình học .
4.2.6.1 . Kiến thức cần nhớ .
+ Công thức tính diện tích, chu vi hình quen thuộc (tam giác, tam giác vuông, hình chữ nhật, hình vuông, hình thang....)
+ Các hệ thức lượng trong tam giác vuông...
4.2.6.2 . Bài tập áp dụng .
Bài toán 1: Một mảnh vường hình chữ nhật có chu vi là 124m. Nếu tăng chiều dài 5m và chiều rộng 3m thì diện tích tăng thêm 255m2. Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đó.
Hướng dẫn học sinh:
	- Công thức tính chu vi hình chữ nhật:	Chu vi = 2(a+b)
	- Công thức tính diện tích hình chữ nhật:	S = a.b
	( Trong đó: a, b là các kích thước của hình chữ nhật )
Lời giải: 	Gọi chiều dài của mảnh vườn là:	x (m)
	Và chiều rộng của mảnh vườn là:	y (m) ; (điều kiện: x, y > 0 , x > y).
	Khi đó chu vi của mảnh vườn là: 	2(x+y)
	Ta có phương trình: 2(x+y)=124 Û x+y = 62 (1)
	Chiều dài của mảnh vườn khi tăng: x+5 (m)
	Chiều rộng của mảnh vườn khi tăng: x+3 (m)
	Diện tích của mảnh vườn khi tăng:	(x+5)(y+3) = xy+5y+3x+15 (m2)
	Diện tích ban đầu của mảnh vườn là: xy (m2)
Theo bài ra ta có phương trình: 	xy+5y+3x+15 -xy = 255 Û 3x+5y = 240 (2)
	Kết hợp (1) và (2) ta có hệ phương trình: 
	Với thoả mãn điều kiện bài toán.
	Vậy: Chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn đã cho là: 35(m) và 27(m).
Chú ý: - Bài toán có thể giải bằng cách lập phương trình.
Bài toán 2: Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích là 720 m2, nếu tăng chiều dài thêm 6 m và giảm chiều rộng đi 4 m thì diện tích mảnh vườn không đổi. Tính các kích thước của mảnh vườn
Hướng dẫn học sinh: 	- Công thức tính diện tích hình chữ nhật : S = a.b 
	 (Trong đó : a , b là các kích thước ).
Lời giải:
Gọi x(cm) là chiều dài khu vườn hình chữ nhật ban đầu (điều kiện: 0 < x )
Gọi y(cm) là chiều rộng khu vườn hình chữ nhật ban đầu (điều kiện: 4 < y ).
Diện tích ban đầu vườn là : x.y (m2)
Vì mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích là 720 m2 nên có PT: xy = 720 (1)
Nếu tăng chiều dài 6m thì chiều dài mới là: x +6 (m)
Nếu giảm chiều rộng 4 m thì chiều rộng mới là: y- 4 (m)
Diện tích vườn là : (x+6)(y-4) (m2)
Diện tích không đổi nên có PT : (x+6)(y-4) = 720
Theo bài có hệ PT :
 Dùng phương pháp th