Sáng kiến kinh nghiệm Bồi dưỡng năng lực tư duy hàm cho học sinh thông qua giải phương trình

hải có 1 nghiệm t>0
(**)
Bảng biến thiên 
 t 0 2/3 
 f’(t)
 f(t) 
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hoặc thoả mãn yêu cầu 
Bình luận :
 Dạng tổng quát của bài toán trên là : Tìm m để phương trình sau có 
 nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước 
 Đối với những bài toán dạng này ta có thể chia cả hai vế của phương trình cho 
 f(x) hoặc g(x) hoặc ta sẽ đưa được về phương trình bậc hai. Sau đó vận dụng hàm số vào để giải .Ta xét cách giải khác sau đây: 
Nhận xét 
Chia cả hai vế của phương trình cho 2x ta được 
 mà (BĐT Cô si)
Đặt t= ta có t2-3t=m (*)
Nhận thấy với mỗi thì phương trình đã cho có hai nghiệm ( nghiệm dương)Vì vậy bài toán trở thành tìm m để phương trình (*) có một nghiệm dương .Xét f(t) =t2-3t ,f’(t)=2t-3=0 khi x=3/2
Bảng biến thiên sau 
 t 0 3/2 
 f’(t) - 0 +
 f(t) 
Dựa vào bảng biến thiên ta vẫn tìm được hoặc thoả mãn 
VD 28 :Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm 
 (1)
Lg: 
Nx: x=0 không là nghiệm của phưng trình ,chia cả hai vế của phương trình cho x
Đặt f(x) = (x>0) f’(x) = =0x=2
Khi đó (1) trở thành 
g(2)=8; g(3)=7;
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có nghiệm x>0 khi m
VD29 :Tìm các giá tri của m để phương trình sau có một nghiệm thực 
 (Dự bị B-07)
Lg:Đặt t=,Phương trình trở thành (*)
 Nhận thấy với mỗi nghiệm không âm của phương trình (*) có đúng một nghiệm
 của phương trình đã cho .Do đó phương trình đã cho có đúng một nghiệm khi
 phương trình (*) có đúng một nghiệm 
Xét hàm số ta có 
 Bảng biến thiên t 0 +
 f’(t) -
 f(t) 0
Dựa vào bảng biến thiên ta có các giá trị của m là 
VD 30 :Tìm m để phương trình 
 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thoả mãn x1<-1<x2 (*)
Lg: 
 Đặt t=
(*) trở thành t2+t -6=0 có nghiệm là t=2
 Với t=2 
Đặt f(x) =,f’(x) = 4(x3+1), f’(x) =0x=-1
Bảng biến thiên 
x
- -1 + 
f’(x)
 - 0 +
f(x)
- +
 m-19
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình (*) có hai nghiệm thoả mãn x1<-1<x2
 khi m-19<0 hay m<19
VD31 :Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt 
 (Dự bị D-05) (*)
 Lg: Viết lại phương trình dưới dạng 
Đặt 
(*)
Phương trình đã cho có hai nghiệm khi và chỉ khi phương trình (**) có đúng hai nghiệm 
Ta có 
Bảng biến thiên 
 t 0 1 3
 f’(t) - +
 + 
 4 
 f(t) 
 2 2 
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy 4 thoả mãn yêu cầu 
Bài tập tương tự : 
Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 
 ( Đề thi thử đại học trường Chu Văn An 5-2010)
HD: PT
+) Nếu , ta có PT trở thành :. PT có nghiệm 
+) Nếu , ta có PT trở thành 36 – x = m. PT có nghiệm 
 KL: hoặc 
VD32 : Tìm m để phương trình sau có đúng một nghiệm 
 (*) (Dự bị B-07)
Lg:
Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để đường thẳng y=-m cắt đồ thị hàm số 
f(x)= tại một điểm 
f’(x) =12x2-12x-9=3(4x2-4x-3)=0 Ta có bảng biến thiên 
 x - -1/2 1
 f(x) + 0 -
 3/2
 f’(x) - -12
Từ bảng biến thiên ta có Thoả mãn yêu cầu bài toán 
 VD 33 T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh sau cã nghiÖm:
 Lg: XÐt hµm sè 
D=.
y’(0)=1>0 nªn hµm sè §B
Giíi h¹n 
 BBT 
x
-∞ +∞
y’
 +
y
 1
-1
VËy ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm khi vµ chØ khi -1<m<1.
VD34: T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh sau cã nghiÖm thùc 
Gi¶i:
§Æt . Ph­¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh:
 2t=t2-1+m óm=-t2+2t+1
XÐt hµm sè y=-t2+2t+1; t≥0; y’=-2t+2
 Bảng biến thien 
x
0 1 +∞
y’
 + 0 -
y
 2
1 -∞
 Theo yªu cÇu cña bµi to¸n ®­êng th¼ng y=m c¾t §THS khi m≤2.
 VËy 
Để luyện tập học sinh có thể làm các bài tập sau 
1/Tìm m để pt sau có n.	 (Đs:)
2/Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất trong khoảng 
 ( *) 
Hd: Cô lập tham số ,đặt tanx=t ( Đs: m>2)
www.vnmath.com
II-Phương trình mũ 
 Để giải một phương trình mũ thì có nhiều phương pháp khác nhau để tiếp cận lời giải .Bài viết này tôi chỉ đề cập đến một góc nhỏ ,đó là nhìn từ quan điểm hàm số để tiếp cận lời giải một số phương trình, mà theo quan điểm riêng của tôi nếu tiếp cận theo hướng khác thì rất khó .
 VD35 : Giải phương trình sau (1)
 Lg: 
 Đk Ta nhận thấy từ đó ta có hướng biến đổi phương trình như sau 
 .(*)
xét hàm số f(t)= .Hàm f(t) đồng biến nên phương trình (*) là nghiệm .
 VD 36 : Giải phương trình sau 
 Lg:
 Biến đổi phương trình như sau 
 (*)
xét hàm số Hàm f(t) đồng biến trên R
 (*)VD37 : Giải phương trình sau 
Lg:
 Đk ,
Biến đổi phương trình như sau 
 (*)
Xét hàm số nên hàm f(t) đồng biến trên R
(*)
Thoả mãn điều kiện của đề bài .
Bình Luận : 
 Ba phương trình trên thuộc dạng phương trình 
Để áp dụng được học sinh phải có kỹ năng biến đổi thành thạo mỗi phương trình để đưa phương trình trên về một trong hai dạng trên. Sau đó xét hàm đặc trưng f(t) chỉ ra được hàm f(t) đơn điệu trên tập xác định ,sử dụng tính chất: 
f(t1)=f(t2) khi t1=t2 
Một số phương trình sau khi biến đổi lại sử dụng đến tính chất :Nếu f(t) đơn điệu thì phương trình f(t)=k (k-hằng số ) có nghiệm duy nhất. 
VD 38 :Giải phương trình :
 Lg:
Biến đổi phương rình như sau 
 (*)
Do nên (*)
 (*)
Xét hàm số .dễ thấy hàm f(t) nghịch biến trên R
mà f(1)=0 suy ra t=1 là nghiệm duy nhất của phương trình .từ đó suy ra 
(*) thoả mãn điều kiện đề bài .
VD39 :Giải phương trình (1) 
Biến đổi phương trình như sau 
 (*)
Xét hàm số nên hàm f(t) dồng biến 
 (*)
VD40 :Giải phương trình: (1)
Lg: 
Biến đổi (1) như sau 
Đặt f(x) = ,g(x) =
dễ thấy f(x) đồng biến ,g(x) nghịch biến .f(1)=g(1) nên x=1 là nghiệm 
VD42 : Giải phương trình 2009x +2010x =2.2008x
Lg:
 Biến đổi phương trình như sau 
 2009x +2010x =2.2008x 
Xét hàm số f(x) =
Ta có f’(x)= nên f(x) đồng biến và 
f(0)= f(x) = .nên phương trình có nghiệm duy nhất x =0
Bình Luận :
Hai ví dụ trên được giải bằng việc sử dụng hai tính chất sau của hàm số 
 Nếu f(x) đơn điệu trên D ,Thì phương trình f(x) = K ( k-hằng số) có nhiều nhất một nghiệm 
Nếu f(x) là hàm số đồng biến ,g(x) là hàm số nghịch biến thì phương trình f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm .
Bình Luận :
Một số phương trình mũ đôi khi việc tìm nghiệm trực tiếp là khó khăn .Ta chỉ ra phương trình có không quá n nghiệm và kết hợp với việc nhẩm được n nghiệm từ đó kết luận về số nghiệm của phương trình .Ta xét bài toán sau 
VD 43 : Giải phương trình ( ĐHSPHN 2000)
Lg: 
Xét hàm số f(x) =
Nhận xét g(x) liên tục trên R . g(0).g(1) <0 nên g(x)=0 có nghiệm x0 trong (0;1)
Ta có bảng biến thiên 
x
-∞ x0 + ∞ 
f’(x)
 - 0 +
f(x)
 f(x0)
 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f(x)=0 có không quá 2 nghiệm 
 mà f(0) =f(1) =0 .Vậy phương trình có 2 nghiệm x=1;x=2 
Bình Luận:
Ngoài cách giải trên ,ta cũng có thể trình bày lời giải như sau 
Xét hàm số f(x) =
 với mọi x nên f’(x) đồng biến trên R
 Lại có nên phương trình f’(x) = 0 có nghiệm duy nhất xo
Ta có bảng biến thiên 
 x
-∞ x0 + ∞ 
f’(x)
 - 0 +
f(x)
 f(x0)
Dựa vào bảng bién thiên ta thấy phương trình có nhiều nhất hai nghiệm ,f(0)=f(1)=0
Vậy phương trình có 2 nghiệm x=1;x=2 
Trong toán học sơ cấp có định lý Rôn ( Role ) :
Nếu f(x) là hàm số lồi hoặc lõm trên miền D thì phương trình f(x)=0 sẽ có không quá hai nghiệm trên D.
Do trong trương trình phổ thông , học sinh không được học và chứng minh nội dung của định lý Rôn nên cách trình bày lời giải bài toán trên là phù hợp nhất .
Trong toán học nhiều học sinh khi chứng minh bất đẳng thức cũng đã làm quen với Bất đẳng thức Becnully
Nội dung như sau 
 Nếu thì 
Dấu bằng xảy ra khi x=0 hoặc x=1
Chứng minh :
 Xét hàm số f(x)=ax-(a-1)x -1. Ta thấy f(x) liên tục trên R
f’(x)=axlna-(a-1); f’’(x) = ax(lna)2 >0 với mọi x thuộc R. từ đó suy ra phương trình 
f(x)=0 không có qua hai nghiệm .mà f(0)=f(1)=0 nên x=0;x=1 là hai nghiệm của 
f(x) trên R.
suy ra dấu của f(x) như sau + 0 - 1 +
Bất đẳng thức được chứng minh 
Từ kết quả chứng minh trên ta có 
Hệ quả : Ta có 
 ( Gọi là phương trình Bécnuly)
Áp dụng kết quả trên vào giải phương trình 
+ xét trên 
 dấu bằng khi x=o hoặc x=1
+xét trên 
 dấu bằng khi x=0 hoặc x=1
Vậy phương trình có hai nghiệm x=0 hoặc x=1
Nhận xét :
 Với ba cách giải trên ta thấy: hai cách giải bằng hàm số thuần tuý ban đầu là hay hơn cả (kể cả về cách trình bày ).Tuy nhiên khi dạy học ,đối với những lớp có nhiều học sinh khá giỏi người thầy cũng nên giới thiệu cho học sinh cách thứ hai .Nó có tác dụng gây hứng thú cho học sinh tìm hiểu sâu hơn nữa về toán học sơ cấp .Từ đó giúp các em thấy được cái ta biết chỉ là rất ít ,cái ta không biết là nhiều .Làm được như vậy có nhiều ý nghĩa về mặt giáo dục :Một là rèn luyện cho học sinh tính khiêm tốn ;Hai là hình thành ở học sinh tính tò mò ,khám phá những cách giả mới ,chưa hài lòng với những gì mình làm được;Ba là rèn luyện cho học sinh thói quen tự học,tự đọc qua sách vở ngoài những kiến thức được học trên lớp .Từ đó hình thành ở học sinh -những công dân tương lai có trách nhiệm vói chính mình ,gia đình và xã hội.
Bằng cách khai thác trên ta có thể giải tương tự một số phương trình sau 
1/ 2/
3/ 4/
Bình Luận :
Khi áp dụng các tính chất về tính đơn điệu của hàm số do không nắm vững về kiến thức ,học sinh thường mắc sai lầm trong giải toán nên thường có những kết luận nghiệm chưa chính xác . Ta lấy thêm một ví dụ mô tả điều đó :
VD 44 Giải phương trình : (1)
 Sai lầm thường gặp của học sinh :
(1) .Ta có f(x) =3x đồng biến ,
-nb
 f(1)=g(1) nên x=1 là nghiệm duy nhất .
Nhận thấy f(-1)=g(-1) vậy x=-1 cũng là nghiệm .Vậy đâu là sai lầm của lời giải ?
Khi hướng dẫn học sinh sử dụng các tính chất của hàm số người thầy cần nhấn mạnh cho học sinh thấy rõ : Nếu f(x) đồng biến trên D, g(x) nghịch biến trên D thì phương trình f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm .Đối chiếu với lời giaỉ trên ta thấy f(x) và g(x) có tập xác định hoàn toàn khác nhau,vì vậy khi áp dụng dẫn đến sai lầm 
Lời giải đúng như sau :
Hàm số f(x) =3x đồng biến trên R
Hàm số g(x)= nghịch biến trên R\{1/2}
Bảng biến thiên 
x
- ½ + 
g’(x)
 -	-
g(x)
 Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị của hàm g(x) cắt đồ thị hàm g(x) tại không 
 quá hai điểm .Nên phương trình f(x)=g(x) có không quá hai nghiệm,mà f(1)=g(1),
 f(-1)=g(-1).Nên phương trình có hai nghiệm 
Bình Luận :
Một trong những ứg dụng nữa của hàm số trong