Sáng kiến kinh nghiệm Bất đẳng thức a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca và các bài toán áp dụng

̣c. Chứng minh rằng: 
	 (1)
Chứng minh
	 luôn đúng .
	Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
	Đây là một đánh giá cơ bản, phổ biến và thường gặp. Song làm sao để áp dụng đánh giá có vẻ “lỏng lẻo” này vào những bài toán phức tạp thì là cả một vấn đề. Có nhiều cách để khai thác và tiếp cận bất đẳng thức này trong qua trình giải toán. Sau đây tôi xin trình bày một số ý tưởng khai thác bài toán như sau:
4.1.2. Một số cách khai thác
* Khai thác 1: Sử dụng phép biến đổi tương đương để tạo thành các bất đẳng thức mới
- Từ bất đẳng thức (1), nhân hai vế với 2 ta được:
Sau đó cộng hai vế của bất đẳng thức trên với ta được bất đẳng thức sau: hay hay 
- Cộng hai vế của bất đẳng thức (1) với , ta được bất đẳng thức sau: 
Bất đẳng thức này còn được viết dưới dạng như sau: 
	 với a, b, c > 0
Như vậy bất đẳng thức (1) và các bất đẳng thức sau là tương đương:
1.1) 	hay 	
 hay 	 
1.2) hay với a, b, c > 0 
* Khai thác 2: Thay biến để tạo ra các bất đẳng thức mới
+) Từ bất đẳng thức (1), nếu một biến bằng 1, giả sử c = 1 ta có bất đẳng thức: 	a2 + b2 + 1 ab + a + b. Dấu = xảy ra khi a = b = 1
+) Từ bất đẳng thức (1), nếu thay ta được bất đẳng thức sau: 	
+) Thay a = xy, b = yz, c = zx ta có:
	Đẳng thức xảy ra khi xy = yz = zx hay x = y = z hoặc x = y = 0 hoặc y = z = 0 hoặc x = z = 0.
+) Từ bất đẳng thức (1.2), thay a = xy, b = yz, c = zx ta có:
Đẳng thức xảy ra khi xy = yz = zx hay x = y = z hoặc x = y = 0 hoặc y = z = 0 hoặc x = z = 0.
+) Để có các bất đẳng thức dạng phân thức, từ bất đẳng thức (1), thay ta được bất đẳng thức sau: 
 (*)
Nhân hai vế của bất đẳng thức trên với xyz dương, ta được bất đẳng thức đẹp hơn như sau:
(*) 
hay 
+) Nếu thay ta có bất đẳng thức: 	
Như vậy với một số cách thay biến như trên, ta có thể tạo ra các bất đẳng thức thông dụng, hay dùng là cơ sở để chứng minh các bất đẳng thức phức tạp hơn: 
	1) 
	2) 
	3) 
	4) 
	5) với x, y, z > 0
* Khai thác 3: Áp dụng bất đẳng thức nhiều lần
+) Áp dụng bất đẳng thức (1) hai lần: lần đầu với a = x2 ; b = y2; c = z2 ta được :	
sau đó tiếp tục áp dụng với a = xy, b = yz, c = zx ta thu được bất đẳng thức sau:	
Như vậy ta có một bất đẳng thức thông dụng: 
	với mọi x, y, z
+ Áp dụng bất đẳng thức (1) ba lần: lần đầu với a = x4 ; b = y4; c = z4, sau đó tiếp tục áp dụng với a = x2y2, b = y2z2, c = z2x2 , cuối cùng là với a = xy2z, b = xyz2, c = x2yz ta được:
Hay 
Chia hai vế của bất đẳng thức trên cho xyz dương ta thu được bất đẳng thức sau: 	
	 với x, y, z dương
(Đề tuyển sinh vào THPT chuyên Lê Hồng Phong, TP.HCM 2001 – 2002).
* Khai thác 4: Đặc biệt hóa
Bằng cách cho thêm điều kiện của biến, ta sẽ được các bất đẳng thức mà vế phải là các số
+) Cho x + y + z = 3. Chứng minh rằng xy + yz + zx 3
+) Cho x + y + z = -3. Chứng minh rằng x2 + y2 + z2 
Hai bất đẳng thức trên ta dễ dàng chứng minh được nhờ bất đẳng thức (1.1) và (1.2):
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1
Tổng quát, ta có bài toán sau: 
Cho các số không âm x, y, z thỏa mãn x + y + z = a
a) Tìm GTLN của biểu thức A = xy + yz + zx
b) Tìm GTNN của biểu thức B = x2 + y2 + z2
4.2. Một số bài toán áp dụng
Khi nắm được một số dạng cơ bản của bất đẳng thức cơ sở, ta sẽ có cái nhìn và định hướng tốt hơn khi chứng minh các bất đẳng thức có liên quan. 
Sau đây là một số bài toán vận dụng bất đẳng thức để chứng minh
Bài toán 1: 
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: a + b + c = abc. Chứng minh rằng:	
Chứng minh
Với bài toán này, ta sử dụng phép biến đổi tương đương để đưa về bất đẳng thức (1):
 Ta có: 
	 (do giả thiết abc = a + b + c)
	 đúng do (1)
	Đẳng thức xảy ra khi 
Bài toán 2:
	Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = 4. 
	Chứng minh rằng: 
Chứng minh
	Áp dụng trực tiếp (1), ta có:
	Suy ra: . 
	Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 
Bài toán 3: 
	Với x, y, z là các số thực dương, ta có: 
Chứng minh
	Áp dụng bất đẳng thức với , ta có: 
	Mặt khác, theo bất đẳng thức Cô-si với 3 số không âm, ta có: 
	Suy ra hay 
+ Khi đã quen thuộc với bất đẳng thức này, ta nhìn ra cách làm của các bài toán có các đại lượng liên quan dễ dàng hơn. Bài toán dưới đây là một ví dụ:
Bài toán 4:
	Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z + xy + yz + zx = 6. 
	Chứng minh rằng:	
	(THPT chuyên KHTN, ĐHQG Hà Nội 2003 – 2004)
Chứng minh
	Ta có: 
	Cộng từng vế của các bất đẳng thức trên ta được:
	 (do giả thiết x + y + z + xy + yz + zx = 6)
	 (đpcm).
+) Từ bài toán 3, nếu thay ta có bài toán sau:
Bài toán 5:
	Cho các số dương a, b, c thỏa mãn: . 	
	Chứng minh: 
	(Tuyển sinh vào 10 THPT Hà Nội 2013 – 2014)
Chứng minh
	Từ giả thiết đã cho, ta có . 
	Đặt suy ra: x + y + z + xy + yz + xz = 6
	Cần chứng minh . Đây chính là nội dung của bài toán 4.
+ Đổi giả thiết và kết luận của bài toán 4, ta có bài toán sau:
Bài toán 6:
	Cho x2 + y2 + z2 = 3. Tìm GTLN của biểu thức:
	 A = x + y + z + xy + yz + zx
Chứng minh
	Ta có: 	 
	 Và 
	Suy ra: A 
	=> GTLN của A là 6 khi x = y = z = 1
Bài toán 7:
	 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = 1. 
	Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Chứng minh
	Ở bài toán này, cái khó là làm sao vận dụng được bất đẳng thức (1) để làm xuất hiện giả thiết a2 + b2 + c2. Nếu áp dụng trực tiếp thì S a + b + c không được. Mặt khác ta có: 	. 
	Vì vậy ta nghĩ đến việc bình phương S
	Ta có:
	Áp dụng bất đẳng thức (1) ta có: 	
	Suy ra (do giả thiết a2 + b2 + c2 = 1)
	Mà S > 0 nên 
	Vậy giá trị nhỏ nhất của S là , đạt được khi và chỉ khi 
Bài toán 8:
	Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P = x + y + z biết:
	x(x – 1) + y(y – 1) + z(z – 1) 
Chứng minh
	Từ giả thiết ta có: 
	Theo bất đẳng thức (1) ta có:
	Cộng từng vế của hai bất đẳng thức trên, ta có: 
	Hay P2 – 3P – 4 0 
	Suy ra: GTLN của P là 4 khi x = y = z = 
	GTNN của P là -1 khi x = y = z = 
+ Khi chứng minh bất đẳng thức hoặc bài toán tìm cực trị, ta nên chú ý đến biến đổi hay sử dụng là: a2 + ab + bc + ca = (a + b)(a + c)
Bài toán 9:
	Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta luôn có:
Chứng minh
	Cộng thêm hai vế của bất đẳng thức cần chứng minh với a + b + c ta được:
	Mặt khác lại để ý rằng: 
	Suy ra bất đẳng thức trên tương đương với:
	 (*)
	Tới đây, đặt: x = a + b; y = b + c; z = c + a thì (*) trở thành:
	 . 
	Bất đẳng thức này đã được chứng minh ở phần khai thác 2.
Bài toán 10:
	Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng:
	 (*)
Chứng minh
Ta có (*) 
	Đặt với x, y, z > 0
Khi đó: (*) ta được bất đẳng thức đúng => đpcm
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
+ Kết hợp với việc sử dụng các bất đẳng thức kinh điển như Côsi hay Bunhiacopxki ta chứng minh được các bài toán sau:
Bài toán 11:
	Cho ba số a, b, c không âm thỏa mãn a + b + c = 1. 
	Tìm GTNN của biểu thức: 
Chứng minh
	Áp dụng bất đẳng thức (1) và các bất đẳng thức triển khai để sử dụng giả thiết a + b + c = 1
	Ta có: 
	Mà (do giả thiết a + b + c = 1)
	Dễ dàng chứng minh được: 
	=> 
	=> 
	Vậy GTNN của P là khi 
Bài toán 12:
	Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn: . 
	Chứng minh rằng:	 
Chứng minh
	Ta có: 
	Ta đưa bài toán ban đầu về bài toán quen thuộc sau: Chứng minh:
	Thật vậy:
	Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
	Suy ra: 
	hay: => đpcm
Bài toán 13:
	Cho ba số a, b, c thỏa mãn: a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
Chứng minh
	Theo bất đẳng thức (1) ta có:
 (vì )
	Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
	Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có:
	Mặt khác (chứng minh trên)
	Suy ra 
	Hay (đpcm)
+ Một trong những kỹ thuật quan trọng trong chứng minh bất đẳng thức là kỹ thuật đặt ẩn phụ. Chú ý rằng các nhóm và có liên hệ với nhau nhờ hằng đẳng thức . Bằng phép đặt ẩn phụ và sử dụng bất đẳng thức (1) để đánh giá ẩn phụ, ta chứng minh được các bài toán sau:
Bài toán 14:
	Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. 
	Tìm GTNN của biểu thức: 
Chứng minh
	Đặt a2 + b2 + c2 = t 
	Suy ra: 2(ab + bc + ca) = (a + b + c)2 – (a2 + b2 + c2)
	 => 
	Theo bất đẳng thức (1) ta có 
	Đến đây, ta sử dụng bất đẳng thức Cô-si với kỹ thuật chọn điểm rơi: 
	Vậy GTNN của P là 4 khi t = 3 a = b = c = 1
Bài toán 15:
	Cho x, y là các số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
(Đề thi HSG lớp 9 tỉnh Hải Dương 2009 – 2010)
Chứng minh
	Đặt 
	Ta có: . Suy ra 
	Ta có: 
	Vậy GTNN của A là khi x = y = 1
Bài toán 16:
	Cho các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1.
	 Chứng minh rằng:	 
 (THPT chuyên Trần Phú, Hải Phòng 2003 – 2004)
Chứng minh
	Đặt t = xy + yz + zx 
	thì x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 – 2(xy + yz + zx) = 1 – 2t
	Theo bất đẳng thức (1.1) ta có: 
	Suy ra 
	Với phép đặt ẩn phụ này, ta đưa bài toán ba biến về dạng bài toán một biến đơn giản hơn là chứng minh: với 
	 (luôn đúng, dấu bằng không xảy ra)=> đpcm
Bài toán 17:
	Cho các số dương a, b, c thỏa mãn . Chứng minh rằng:
(Đề thi HSG Tỉnh Đồng Nai 2009 – 2010)
Chứng minh
	Ta có: (do giả thiết ) 	
	Áp dụng bất đẳng thức: với a, b, c dương, ta có:
	Suy ra 	 	
Bài toán 18:
	Cho các s