Phương trình lượng giác - Góc lượng giác & công thức lượng giác

Phương trình lượng giác
góc lượng giác & công thức lượng giác
 i.lý thuyết 
 1.giá trị lương giác của góc lượng giác
 a.các định nghĩa:
 sin = cos = 
 tan = cot = 
 b. tính chất 
 i> sin ( + k2 ) = sin cos ( + k2 ) = cos ; k Z
 tan ( + k ) = tan cot ( + k ) = cot ; k Z
 ii> với ta có : - 1 sin 1 ; - 1 cos 1 
 iii> cos2 + sin2 = 1 tan .cot = 1 
 1 + tan2 = ( cos 0 ) 1 + cot2 = ( sin 0 ) 
 c. dấu các hàm số lượng giác :
Góc phần tư 
 Số đo của góc 
 sin 
 cos 
 tan 
 cot 
 I
0 < < /2 
 +
 + 
 +
 +
 II
/2 < < 
 +
 -
 - 
 -
 III
 < < 3/2 
 -
 -
 +
 +
 IV
3/2 < < 2 
 -
 +
 -
 - 
 d. bảng hàm số của cung lượng giác đặc biệt 
Chú ý :
 + > sin = 0 = k; k Z 
 + > sin = 1 = /2 + k2; k Z
 +> sin = - 1 = - /2 + k2; k Z
 + > cos = 0 = /2 + k; k Z 
 +> cos = 1 = k2; k Z
 +> cos = - 1 = + k2; k Z
 2. giá trị lương giác của các góc có liên quan đặc biệt
 i> cung đối nhau : cos ( - ) = cos sin ( - ) = - sin 
 tan ( - ) = - tan cot ( - ) = - cot 
 ii> cung hơn kém : sin ( + ) = - sin cos( + ) = - cos 
 tan( + ) = tan cot( + ) = cot 
 iii> cung bù nhau : sin ( - ) = sin cos ( - ) = - cos 
 tan( - ) = - tan cot( - ) = - cot 
 iv> cung phụ nhau : sin (/2 - ) = cos cos (/2 - ) = sin 
 tan (/2 - ) = cot cot(/2 - ) = tan 
 v> cung hơn kém /2 : sin (/2 + ) = cos cos (/2 + ) = - sin 
 tan (/2 + ) = - cot cot(/2 + ) = - cot 
3. công thức lượng giác
công thức cộng : 	cos( x – y ) = cosx.cosy + sinx.siny 	( 1) 
 cos( x + y ) = cosx.cosy – sinx.siny	( 2 )
 	sin( x – y ) = sinx.cosy – cosx.siny 	( 3)
 	 sin( x + y) = sinx.cosy + cosx.siny 	( 4 )
 	tan( x – y ) = 	( 5 )
 	tan( x + y ) = 	( 6 )
 b. công thức nhân đôi : 	
 i> công thức nhân đôi : sin 2x = 2sinx.cosx ( 7) công thức nhân 3 :
 cos 2x = cos2x – sin2x ( 8 ) sin3x = 3sinx – 4sin3x
 tan 2x = ( 9 ) cos3x = 4cos3x – 3cosx
 ii> công thức hạ bậc : sin2x = ( 10 )
 cos2x = 	 ( 11 )
 tan2 x = 	 ( 12 )
 iii> công thức tính theo t = tan x/2 : đặt t = tanx/2 khi đó ta có các công thức biểu diễn sau:
 sin x = ( 13 )
 cos x = ( 14 )
 tan x = ( 15 ) 
c. công thức biến đổi tích thành tổng và ngược lại 
i> công thức biến đổi tích thành tổng 
 cosx.cosy = [ cos ( x - y ) + cos ( x + y ) ] ( 16 ) 
 sinx.siny = [ cos ( x - y ) - cos ( x + y ) ] ( 17 ) 
 sinx.cosy = [ sin( x - y ) + sin ( x + y ) ] ( 18 ) 
ii> công thức biến đổi tổng thành tích :
 cosx + cosy = 2cos. cos ( 19 )
 cosx - cosy = - 2sin. sin ( 20 )
 sinx + siny = 2sin. cos ( 21 )
 sinx - siny = 2cos. sin ( 22 )
 tanx + tany = ( 23 )
 tanx - tany = ( 24 )
 chú ý một số công thức sau : 
 sinx + cosx = .sin( x + /4 ) ( 25)
 sinx - cosx = .sin( x - /4 ) ( 26 )
 cosx + sinx = .cos( x - /4 ) ( 27 )
 cosx - sinx = .cos( x + /4 ) ( 28 )
Giải phương trình sau :
1. sinx.cosx + | cosx + sinx| = 1 	2. 2sinx( x + /4 ) = 
3. 2 + cos2x = - 5sinx	 4. 2tanx + cot2x = 2sin2x + 
5. sin2x = cos22x + cos23x	6. 8.cos3(x + /3 ) = cos3x
7. |sinx - cosx| + | sinx + cosx | = 2	8. cos6x – sin6x = 13/8.cos22x
9. 2sin2x – cos2x = 7.sinx + 2cosx – 4 	10. sin3x = cosx.cos2x.( tan2x + tan2x )
11. 4.cos5x.sinx – 4sin5x.cosx = sin24x	12. sinx.cos4x – sin22x = 4sin2(/4 – x/2) – 7/2
13. 4cos3x + 3.sin2x = 8cosx	14. tanx + 2cot2x =sin2x
15. sin.sinx - cos.sin2x + 1 = 2.cos2(/4 - ) 16. 2.cos2x + 2cos22x + 2cos23x – 3 = cos4x(2sin2x + 1)
17. 4(sin4x + cos4x ) + sin4x = 2	18. 1 + cot2x = 
19. sin4x – cos4x = 1 + 4sin( x - /4 )	 20. ( 1 – tanx )( 1 + sin2x) = 1 + tanx
21. 	22. sin2x + sin23x – 3cos22x = 0
23. 4cos2x – cos3x = 6cosx – 2( 1 + cos2x)	24. sin3x + cos2x = 1 + 2sinx.cos2x
25. sin2x + 4( cosx – sinx) = 4 	26. 3sinx + 2cosx = 2 + 3tanx
27. cos2x + cos3x/4 – 2 = 0 	28. 2sin3x - 
29. 	30. + 2tan2x + 5tanx + 5cotx + 4 = 0
31. tan2x + sin2x = 3/2.cotx	32. 
33. sin(	34. sinx – 4 sin3x + cosx = 0
35. sinx.sin2x + sin3x = 6cos3x	36. 2cosx.cos2x = 1 + cos2x + cos3x
37. 5( sinx + 	38. sin23x – cos24x = sin25x – cos26x
39. cos3x – 4cos2x + 3cosx – 4 = 0	40. cotx – 1 = 
41. cotx – tanx + 4sinx = 	42. sin2(
43. 5sinx – 2 = 3( 1 – sinx)tan2x	44. ( 2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx
45. cos23x.cos2x – cos2x = 0	46. 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0
47. cos4x + sin4x + cos( x - ).sin(3x - ) - = 0 48. ( cos2x – cos4x )2 = 6 + 2sin3x
49. ( cos2x – cos4x)2 = 6 + 2sin3x	50. sinx + cosx = 
51. ( 1 + cosx ).( 1 + sinx ) = 2	52. 2cosx + sin10x = 3 + 2cos28x.sinx
53. sin2x + cos2x = 1 + sinx – 4cosx	54. ( ).cos2x = sin4x
55.	56. cotx )
57. sin2x + 2tanx = 3	58. sin3( x + ) = sinx
59. 8 cos6x + 2sin3x.sin3x - 6cos4x – 1 = 0. 60. 1 – 5sinx + 2cos2x = 0. thoả mãn cosx 0.
61. cos3x + sin3x = sin2x + sinx + cosx	62. sinx.cos4x + 2sin22x = 1 – 4.sin2( - )
63. 4sinx.cosx.cos2x = sin8x	64. sin4x – cos4x = 1 + 4(sinx – cosx )
65. sin( 3x - ) = sin2x.sin( x + )	66. 4sin3x.cos3x + 4cos3x.sin3x + 3cos4x = 3.
67. 	68. sin24x – cos26x = sin( 10,5 + 10x)
69. tan2x.cot2x.cot3x = tan2x – cot2x + cot3x	 70. sin3x + 2cos2x – 2 = 0.
71. cos2x + 3cosx + 2 = 0	72. 3cos4x – 2cos23x = 1.
73. 1 + 3cosx + cos2x = cos3x + 2sinx.sin2x	74. tanx + tan2x = - sin3x.cos2x
75. 3( cotx – cosx ) – 5(tanx – sinx) = 2	76. tanx + cotx = 2( sin2x + cos2x )
77. sin4x + cos4x = cotg( x + ).cotg(	78. 2( sinx + cosx ).cosx = 3 + cos2x
79.sin4x + sin4( x + ) + sin4(x - ) = 	80. cosx = 0
81. cos2x + sinx – 3sin2x.cosx = 0	82. 2sin3x + cos2x = sinx
83. 	84. sinx.cosx + 2sinx + 2cosx = 2
85. sin3x(cosx – 2sin3x) + cos3x(1 + sinx – 2cos3x) = 0. 86. 
87. 3tan3x – tanx + = 0.	 88. cos7x - sin7x = - , 
89.cosx.cos2x.cos4x.cos8x = 	90. 2cos3x = sin3x
91. cos2x - sin2x - sinx – cosx + 4 = 0	92. cos2x = cos2x.
93. 3cot2x + 2sin22x = ( 2 + 3)cosx	94.tanx – sin2x – cos2x + 2(2cosx - ) = 0
95. 4( sin3x – cos2x) = 5(sinx – 1)	96.2cos2x + sin2x.cosx + sinx.cos2x = sinx + cosx
97. tanx.sin2x -2sin2x = 3( cos2x + sinx.cosx)	98.sin2x( cotx + tan2x) = 4cos2x
99. 48 - 	 100. sin6x + cos6x = cos4x
101. cos3x + cos2x + 2sinx – 2 = 0	102. 2 + cosx = 2tan
103. cos3x + 	104. sinx + sin2x + sin3x = 0
105. cotx – tanx = sinx + cosx	106.sin3x + cos2x =1 + 2sinx.cos2x
107. 2cos2x – 8cosx + 7 = 	108. cos3x.cos3x – sin3x.sin3x = cos34x + 
109. 9sinx + 6cosx -3sin2x + cos2x = 8	110. sin3x.cos3x + cos3x.sin3x = sin34x
111. sin8x + cos8x = 2( sin10x + cos10x ) + cos2x	112. = 0
113. 2sin3x – cos2x + cosx = 0	114. 1 + cos3x – sin3x = sin2x
115. 	116. cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 
117. cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0	118. 3sinx + 2cosx = 2 + 3tanx.
119. 	120. cotx + sinx( 1 + tanx.tan) = 4.
121. cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0	122. (1 + sin2x).cosx + (1 + cos2x).sinx = 1 + sin2x
123. 2sin22x + sin7x – 1 = sinx	124. ( sin + cos)2 + .cosx = 3
125. sin2x + cos2x -3sinx – cosx + 1 = 0	126. sin3x - cos3x = 2sin2x
127. sin3x - cos3x = sinx.cos2x - sin2x.cosx	128. 2sinx( 1 + cos2x ) + sin2x = 1 + 2cosx
129. 	130. sin3x + cos3x + cos2x = 0
131. sin() – cos() = 	132. 1 + tan = cosx + tan²
133. tanx + 2cot2x = cosx + sin2x	 134. tan4x + 1 
135. 	136. 9sinx + 6 cosx + cos2x - 3sin2x = 8
137. cos3x.sin2x - cos4x.sinx = 138. 
139. 2sinx + cosx = sin2x + 1	140. 
141. 	142. 
143. 	144. 
145. cotx = tanx +	146. 
147. cos3x + sin3x + 1 = 2.cos2x	148. Sinx + tanx = + Cos(x - )
149. 	150. 
151. 	152. 
153. 	154. 
155. 	156. 
157.sin2x + sinx - 	158. 2cos2x + 2sinx.cosx + 1 = 3(sinx + cosx)
159.(2sin2x -1)tan22x + 3(2cos2x – 1 ) = 0	160. .