Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong chơng trình Đại số lớp 8

(x2 – 2y –y2 – 2ay- a2+ 1)
	 = 3xy[( x2 – 2x + 1) - (y2 + 2ay + a2)]
	 = 3xy[(x – 1)2 – (y + a)2]
	 = 3xy[(x – 1)- ( y+ a)][(x – 1) + (y+ a)]
	 = 3xy( x -1 – y – a)(x -1 +y + a)
5 Phương pháp tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử.
	a) Phương pháp: Tách một hạng tử thành hani hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử hơn rồi dùng phương pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung.
	b) Ví dụ: Phân tích: x2 - 6x + 8
* Cách 1: x2 – 6x + 8 = x2 – 2x – 4x + 8
	 = x(x – 2) – 4( x – 2) = (x- 2)(x- 4)
* Cách 2: x2 - 6x + 8 = x2 – 6x + 9 - 1
	 = (x – 3)2 – 1 = ( x – 3 -1)(x-3 + 1)
	 = (x- 4)( x- 2)
* Cách 3: x2 - 6x + 8 = x2 – 4 – 6x + 12 
	 = ( x – 2)(x+ 2) – 6(x- 2) = (x- 2)(x- 4)
* Cách 4: x2 - 6x + 8 = x2 – 16 – 6x + 24 = ( x- 4)(4 + x) - 6(x – 4) 
	 = (x- 4)( x + 4 – 6) = (x - 4) ( x – 2)
* Cách 5 : x2 - 6x + 8 = x2 – 4x + 4 – 2x + 4 = (x- 2)2 – 2( x -2)
	 = (x- 2)( x- 2 – 2) = ( x- 2)(x – 4)
Tuy rằng có nhiều cách tách nhưng thông dụng nhất là hai cách sau:
	* Cách 1: Tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử rồi dùng phương pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung mới. 
áp dụng trong khi phân tích tam thức bậc hai ax2 + bx + c thành nhân tử ta làm như sau:
	+ Tìm tích ac
	+ Phân tích tích ac thành tích của 2 thừa số nguyên bằng mọi cách.
	+ Chọn hai thừa số có tổng bằng b.
	Khi đó hạng tử bx đã được tách thành 2 hạng tử bậc nhất.
Ví dụ: 4x2 – 4x – 3
	Tính tích: ac = 4.(-3) = - 12
	Phân tích : - 12 = -1.12 = 1.(-12) = - 2.6 = -3.4 = 3.(-4)
	 Chọn 2 thừa số có tổng là : - 4 đó là 2 và (-6)
4x2 – 4x – 3 = 4x2 + 2x - 6x – 3 = 2x(2x + 1) – 3(2x+ 1)
	 = (2x+ 1)(2x – 3)
* Cách 2: Tách hạng tử không đổi thành 2 hạng tử rồi đưa đa thức về dạng hiệu hai bình phương.
Ví dụ: 4x2 – 4x – 3 = 4x2 – 4x +1 – 4 = ( 2x – 1) -22 
	 = ( 2x -1 -2)( 2x- 1+ 2) 
	 = (2x + 1)(2x- 3)
3x2 – 8x + 4 = 4x2 – 8x + 4 – x2 = (2x-2)2 – x2
	 = ( 2x – 2 – x)(2x – 2 + x)
	 = (x -2)(3x – 2)
	6. phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử.
	a) Phương pháp : Thêm bớt cùng một hạng tử để đưa đa thức về dạng hằng đẳng thức hoặc nhóm nhiều hạng tử. Thông thường hay đưa về dạng a2 – b2 sau khi thêm bớt.
	b) Ví dụ: 4x4+ 81 = 4x4 + 36x2 + 81 – 36x2
	= ( 2x2+ 9)2 – (6x)2
	= (2x2 + 9 – 6x)(2x2 + 9 + 6x)
	x7 + x2 + 1 = x7 – x + x2 + x + 1 = x(x6 – 1) + (x2+ x + 1)
	= x(x3 – 1)(x3 + 1) + (x2+ x + 1)
	= x(x3 +1)(x- 1)(x2 + x + 1) + ( x2 + x + 1)
	= (x2+ x+ 1)(x5- x4 – x2 - x + 1)
II. Các phương pháp khác:
	1. Phương pháp đổi biến số ( đặt ẩn phụ).
	a) Phương pháp: Đặt ẩnphụ để đưa về dạng tam thức bậc hai rồi sử dụng cac phương pháp cơ bản.
	b) Ví dụ: Đa thức đã cho có dạng :
+) 6x4- 11x2+ 3
	Đặt x2 = y ta có 6y2-11y + 3 = ( 3y – 1)( 2y – 3)
	Vậy : 6x4- 11x2+ 3 = (3x2 – 1)( 2x2 – 3)
	+) (x2 + x)2 + 3( x2 + x) + 2	Đặt x2 + x = y
	Ta có y2 + 3y +2 = ( y + 1)( y + 2)
	Vậy : (x2 + x)2 + 3( x2 + x) + 2 = (x2 + x + 1)(x2+x + 2)
	2.Phương pháp hệ số bất định.
	a) Phương pháp: Phân tích thành tích của hai đa thức bậcnhất hoặc bậc hai hay một đa thức bậc nhất, một đa thức bậc hai dạng 
 ( ax +b)( cx2 + dx + m) rồi biến đổi cho đồng nhất hệ số của đa thức này vơí hệ số của đa thức kia.
	b) Ví dụ: x3 – 19x – 30
Nếu đa thức này phân tích được thành nhân tử thì tích đó phải có dạng
x(x2 + bx + c) = x3 + (a + b)x2 + ( ab + c)x + ac
Vì hai đa thức này đồng nhất trên
	a+ b = 0
	ab + c = -19
	ac = -30
	Chọn a =2, c = - 15
Khi đó b = - 2 thoả mãn 3 điều kiện trên
Vậy: x3 – 19x – 30 = (x + 2))( x2 - 2x – 15)
	3. Phương pháp xét giá trị riêng.
	a) Phương pháp: Xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến giá trị cụ thể xác định các thà số còn lại.
	b) Ví dụ: 
	p = x2( y – z) + y2 (z – c) + z(x - y)
Thay x bởi y thì p = y2 ( y – z) + y2( z – y) = 0
Như vậy p chứa thừa số(x – y)
Ta thấy nếu thay x bởi y , thay y bởi z, thay z bởi x thì p không đổi (đa thức p có thể hoán vị vòng quanh). Do đó nếu p đã chứa thừa số ( x – y) thì cũng chứa thừa số ( y – z), ( z – x). Vậy p có dạng k(x – y)(y – z)(z- x).
Ta thấy k phải là hằng số vì p có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z; còn tích 
(x – y)(y- z)(z – x) cũng có bậc 3 đối với tập hợp các biến x,y,z.
Vì đẳng thức x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x –y)(y – z)(z- x) đúng với mọi x, y, z. Nên ta gán cho các biến x ,y, z các giá trị riêng chẳng hạn:
	x =2 , y = 1, z = 0 ta được 4.1 + 1.(-2) + 0 = k.1.1.(-2) suy ra k =1
Vậy p = -(x – y)(y – z)(z – x) = (x- y)(y – z)( x – z)
	4. Phương pháp tìm nghiệm của đa thức:
	 a) Phương pháp: Cho đa thức f(x), a là nghiệm của đa thức f(x) nếu
 f(x) = 0. Như vậy nếu đa thức f(x) chứa nhân tử (x – a) thì phải là nghiệm của đa thức. Ta đã biết rằng nghiệm nguyên cảu đa thức nếu có phải là ước của hệ số tự do.
Ví dụ: x3 + 3x – 4
Nếu đa thức trên có nghiệm là a (đa thức có chứa nhân tử ( x- a) thì nhân tử còn lại có dạng x2 + bx = c suy ra –ac = - 4 suy ra a là ước của - 4 
	Vậy trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm nguyên nếu có phải là ước của hạng tử không đổi.
	Ước của (-4) là -1; 1; -2; 2; - 4; 4. Sau khi kiểm tra ta thấy 1 là nghiệm của đa thức suy ra đa thức chứa nhân tử ( x – 1).
Do vậy ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung ( x – 1) 
* Cách 1: 
 x3 + 3x2 – 4 = x3 – x2 + 4x2 – 4 = x2(x – 1) + 4(x -1)(x + 1)
	 = ( x – 1)(x2+ 4x +4) = (x- 1)(x+ 2)2
* Cách 2: x3 + 3x2 – 4 = x3 – 1 + 3x2 – 3 = (x3 – 1) + 3(x2 – 1)
	 = (x – 1)( x2 + x + 1) + 3(x2 – 1)
	 = ( x – 1)( x+ 2)2
	Chú ý:
+ Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng không thì đa thức chứa nhân tử (x – 1).
+ Nếu đa thức có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hạng tử bậc lẻ thì đa thức chứa nhân tử ( x + 1).
	Ví dụ:
	* Đa thức : x3 – 5x2 + 8x – 4 có 1-5 + 8 – 4 = 0
Suy ra đa thức có nghiệm là 1 hay đa thức có chứa thừa số ( x – 1)
* Đa thức: 5x3 – 5x2 + 3x + 9 có (- 5) + 9 = 1+ 3
Suy ra đa thức có nghiệm là -1 hay đa thức chứa thừa số ( x+ 1).
+ Nếu đa thức không có nghiệm nguyên nhưng đa thức có nghiệm hữu tỉ. Trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm hữu tỷ nếu có phải có dạng p/q trong đó p là ước của hạng tử không đổi, q là ước dương của hạng tử cao nhất.
	Ví dụ: 2x3 – 5x2 + 8x – 3
Nghiệm hữu tỷ Nếu có của đa thức trên là:
 ( - 1); 1; (-1/2); 1/2 ; ( -3/2); 3/2 ; -3..
Sau khi kiểm tra ta thấy x = 1/2 là nghiệm nên đa thức chứa nhân tử ( x - 1/2) 
 hay (2x – 1). Do đó ta tìm cách tách các hạng tử của đa thức để xuất hiện nhân tử chung (2x – 1).
	2x3 - 5x2 + 8x – 3 = 2x3- x2 – 4x2 + 2x + 6x – 3
	 = x2( 2x – 1) – 2x( 2x – 1) + 3(2x – 1)
	 = ( 2x – 1)(x2 – 2x + 3)
	5. Phương pháp tính nghiệm của tam thức bậc hai
	a) Phương pháp: Tam thức bậc hai ax2 + bx + c 
	Nếu b2 – 4ac là bình phương của mmột số hữu tỷ thì có thể phân tích tam thức thành thừa số bằng một trong các phương pháp đã biết.
	Nếu b2 – 4ac không là bình phương của một số hữu tỷ nào thì không thể phân tích tiếp được nữa
	b) Ví dụ: 2x2 – 7x + 3
	a = 2 , b = -7 , c = 3
Xét b2 – 4ac = 49 – 4.2.3 = 25 = 55
	Suy ra Phân tích được thành nhân tử: 2x2 – 7x + 3 
 = ( x – 3)(2x – 1)
	Hoặc có thể phân tích bằng cách để ra bình phương đủ.
	 2x2 – 7x + 3 = 2/9x2 – 7/2x + 3/2
	 = 2( x2 – 2.7/4 + 49/16 – 25/16)
	 = 2[(x – 7/4)2 – (5/4)2] = 2(x – 1/2)(x – 3)
 = (2x -1)(x- 3)
	Chú ý: P(x) = ax2 + bx + c có nghiệm là x1 , x2 thì
	P(x) = a( x- x1)(x – x2)
 Phần 2: các bài toán phân tích đa thức
1. Bài toán rút gọn biểu thức.
	a) Ví dụ: Cho A = ()
	a) Rút gọn A
	b) Tính giá trị của A với x = 998.
	c) Tìm giá trị của x để A > 1
	b) Đường lối giải: Dựa trên cơ sở của tính chất cơ bản của phân thức đại số, phân tích tử và mẫu thức thành nhân tử nhằm xuất hiện nhân tử chung rồi rút gọn, đồng thời tìm tập xác định của biểu thức thông qua các nhân tử nằm ở dưới mẫu.
	Với học sinh: Rèn luyện kỹ năng vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào loại bài toán rút gọn, giúp học sinh thấy được sự liên hệ chặt chẽ giữa các kiến thức phát triển trí thông minh.
2. Bài toán giải phương trình:
	a) Đường lối giải: Với các phương trình bậc hai trở lên việc áp dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử rất quan trọng, vì sau khi phân tích vế chứa ẩn thì được dạng phương trình tích A.B = 0 khi và chỉ khi A = 0 hoặc B = 0.
	b) Ví dụ: 
 +) Giải phương trình: ( 4x + 3)2 – 25 = 0
	Giải : áp dụng phương pháp phân tích đa thức vế trái thành nhân tử đưa phương trình về dạng.
	8(2x – 1)( x+ 2) = 0 x = 1/2 hoặc x = -2
	+) Giải phương trình: 3x2 + 5x - 2 = 0
 Giải: áp dụng phương pháp phân tích tam thức bậc 2 ở vế trái thành nhân tử đưa phương trình về dạng
	( 3x – 1)( x + 2) = 0 x = 1/3 hoặc x = -2
3. Bài toán giải bất phương trình
	a) Đường lối giải: Với các bất phương trình bậc cao hoặc các bất phương trình có chứa ẩn ở mẫu thì việc rút gọn biểu thức và phương trình thành đa thức tử và mẫu thành nhân tử đóng vai trò rất quan trọng khi đưa bất phương trình về dạng bất phương trình tích
 ( A.B 0) hay bất phương trình thường
	b) Ví dụ: Giải bất phương trình
	Vì - 2 < 0 ( x- 2)(x- 3) < 0 2 < x< 3
	3x3 – 10x – 8 > 0
	 ( 3x + 2)( x – 4) > 0 lập bảng xét dấu tích.
	 x 4
4. Bài toán chứng minh về chia hết
a) Đường lối giải: Biến đổi đa thức đã cho thành một tích trong đó xuất hiện thừa số có dạng chia hết.	
	b) Ví dụ: * Chứng minh rằng x Z ta có biểu thức:
	P = ( 4x + 3) 2 – 25 chia hết cho 8
	Phân tích P = 8( 2x – 1)( x + 1) chia hết cho 8.
	* Chứng minh rằng: n Z thì biểu thức 
	 là số nguyên
	Biến đổi biểu thức về dạng
	Và chứng minh ( 2n + 3n2 + n3) chia hết cho 6
	 2n + 3n2 + n3 = n( n+ 1)( n +2) là tích của 3 số nguyên liên tiếp vì vậy ít nhất có một thừa số chia hết cho 2 và chia hết cho 3 mà (2;3) = 1 nên tích này chia hết cho 6
	Vậy n Z thì biểu thức 
	 là số nguyên
	* Kết luận: Trên đây là 4 loại bài toán áp dụng kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử . Tất nhiên không chỉ có 4 dạng này mà còn có một số bài tập khác ( không điển hình, ít gặp) có vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử. Với những bài tập vận dụng này đã giúp học sinh phát triển tư duy, óc sáng tạo tìm tớ