Phương pháp giải phương trình lượng giác - Phan Đăng Phi

 Phương trình lượng giác Gv: Phan Đăng Phi &  
 trang 1 
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC. 
A:LÍ THUYẾT . 
1/Phương trình lượng giác cơ bản . 
Sin u = sin v ⇔ 


+−=
+=
ππ
π
2
2
kvu
kvu
 ( k ∈ Z ) 
Cos u = cos v ⇔ u = ± v + k2π. ( k ∈ Z ) 
tgu = tgv ⇔ u = v + kπ ( k ∈ Z ) 
cotgu = cotgv ⇔ u = v + kπ ( k ∈ Z ) 
2/ Phương trình đặc biệt : 
 sinx = 0 ⇔ x = kπ , sinx = 1 ⇔ x =
2
π + k2π ,sinx = -1 ⇔ x = - 
2
π + k2π 
 cosx = 0 ⇔ x = 
2
π + k π , cosx = 1 ⇔ x = k2π , cosx = -1 ⇔ x = π + k2π . 
 3/ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx . 
 Là phương trình có dạng : acosx + bsinx = c (1)hay asinx + bcosx = c (2). 
 trong đó a2 + b2 ≠ 0 
 Cách 1: acosx + bsinx = c ⇔ )cos(.22 ϕ−+ xba = c với
22
cos
ba
a
+
=ϕ 
 asinx +bcosx = c ⇔ )sin(.22 ϕ++ xba = c với 
22
cos
ba
a
+
=ϕ . 
Cách 2 : 
 Xét phương trình với x = π + kπ , k ∈ Z 
 Với x ≠ π + kπ đặt t = tg
2
x ta được phương trình bậc hai theo t : 
 (c + b)t2 – 2at + c – a = 0 hay (c + b )t2 – 2at + c – b = 0. 
Chú ý : pt(1) hoặc pt( 2) có nghiệm ⇔ a2 + b2 - c2 ≥ 0 . 
Bài tập :Giải các phương trình sau: 
 1. 2sincos3 =− xx , 2. 1sin3cos −=− xx 
 3. xxx 3sin419cos33sin3 3+=− , 4. 
4
1
)
4
(cossin 44 =++
π
xx 
 5. )7sin5(cos35sin7cos xxxx −=− , 6. )cos3(sin4cot3 xxgxtgx +=− 
 4/ Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác : 
 Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác là phương trình có dạng : f[u(x)] = 0 
 với u(x) = sinx hay u(x) = cosx hay u(x) = tgx hay u(x) = cotgx. 
 Đặt t = u(x) ta được phương trình f(t) = 0 . 
Bài tập: Giải các phương trình sau: 
 a. 2cos2x +5sinx – 4 = 0 , b. 2cos2x – 8cosx +5 = 0 
 c. 2cosx.cos2x = 1+cos2x + cos3x d. 2(sin4x + cos4x) = 2sin2x – 1 
 e.sin42x + cos42x = 1 – 2sin4x f. xx 2cos
3
4
cos = 
 Phương trình lượng giác Gv: Phan Đăng Phi &  
 trang 2 
5/ Phương trình đẳng cấp theo sinx và cosx : 
 a/ Phương trình đẳng cấp bậc hai : asin2x +b sinx cosx + c cos2x = 0 . 
 Cách 1 : 
• Xét phương trình khi x = 
2
π
+ kπ . 
• Với x ≠ 
2
π
+ kπ chia hai vế của phương trình cho cos2x rồi đặt t = tgx. 
Cách 2: Thay sin2x = 
2
1 (1 – cos 2x ), cos2x = 
2
1 (1+ cos 2x) , 
 sinxcosx = 
2
1 sin2x ta được phương trình bậc nhất theo sin2x và cos2x . 
 b/ Phương trình đẳng cấp bậc cao : 
Dùng phương pháp đặt ẩn phụ t = tgx sau khi đã xét phương trình trong trường hợp x = 
2
π
+ kπ ,k∈Z. 
Bài tập : 
1. 2sin2x – 5sinx.cosx – cos2 x = - 2 
2. 3sin2x + 8sinxcosx + ( 8 3 - 9)cos2x = 0 
3. 4sin2x +3 3 sin2x – 2cos2x = 4 
4. 6sinx – 2cos3x = 5sin2x.cosx. 
6/ Phương trình đối xứng dạng : a( cosx + sinx ) + b sinxcosx + c = 0 . 
 Đặt t = cosx + sinx , điều kiện 22 ≤≤− t khi đó sinxcosx = 
2
12 −t
 Ta đưa phưong trình đã cho về phương trình bậc hai theo t . 
 Chú ý : nếu phương trình có dạng :a( cosx - sinx ) + b sinxcosx + c = 0 
 Đặt t = cosx - sinx , điều kiện 22 ≤≤− t khi đó sinxcosx = 
2
1 2t−
Bài tập : giải các phương trình sau : 
1. 3(sinx + cosx ) +2sin2x + 3 = 0 
2. sin2x – 12( sinx – cosx ) = -12 
3. 2(cosx + sinx) = 4sinxcosx +1 
4. sin2x – 12( sinx + cosx )+12 = 0 
5. cosx –sinx – 2sin2x – 1 = 0 
7/ Các phương pháp giải phương trình lượng giác thường dùng : 
 Các bước giải một phương trình lượng giác: 
B1: Tìm điều kiện (nếu có) của ẩn số để hai vế của phương trình có nghĩa 
B2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để đưa phương trình đã cho về phương trình đã 
biết cách giải . 
B3: Giải phương trình và chọn phù hợp. 
B4: kết luận 
a/ Phương pháp1: Biến đổi pt về phương trình đã biết cách giải 
b/ Phương pháp 2: Biến đổi phương trình đã cho về dạng tich1 số . 
c / Phương pháp3: Biến đổi phương trình về dạng có thể đặt ẩn phụ. 
 Phương trình lượng giác Gv: Phan Đăng Phi &  
 trang 3 
B. BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI: 
 I . PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 
Bài 1: Giải các phương trình sau : 
 1/ cos 2x + 3cosx +2 = 0 , 2/ 2+ cos 2x = - 5sinx , 3/ 6 – 4cos2x – 9sinx = 0, 
 4/ 2cos 2x + cosx = 1 , 5/ 2tg2x + 3 = 
xcos
3
 , 6/ 4sin4 +12cos2x = 7 
Bài 2 : giải các phương trình sau : 
 1/ 4(sin3x – cos 2x ) = 5(sinx – 1) . HD : đặt t =sinx 
 2/ x
x 2cos
3
4
cos = ĐS : x = k3π , x= ± 
4
π
 +k3π , x = ± 
4
5π +k3π 
 3/ 1+ sin
2
x
sinx - cos 
2
x
sin2x = 2cos2 ( −
4
π
2
x
 ) ĐS: sinx =1 v sin
2
x = 1 
 4/ 1+ 3tgx = 2sin 2x HD : đặt t = tgx , ĐS : x = - 
4
π + k π 
 5/ 2cos 2x – 8cosx + 7 = 
xcos
1 ĐS : x = k2π , x = ± 
3
π +k2π 
 6/ sin2x(cotgx +tgx ) = 4cos2x ĐS : cosx = 0 , cos 2x =
2
1 
 7/ 2cos2 2x +cos 2x = 4sin22xcos2x 
 8/ cos 3x – cos 2x = 2 
 9/ 4sinx + 2cos x =2 + 3tgx HD :đặt t = tg
2
x 
 10/ sin2x+ 2tgx = 3 
 11/ sin2x + sin23x = 3cos22x HD :đặt t =cos 2x 
 12/ tg3( x - 
4
π
 ) = tgx - 1 ĐS : x = kπ v x = 
4
π + kπ 
 13/ sin 2x – cos 2x = 3sinx + cosx – 2 HD : Đưa về phương trình bậc hai theo sinx. 
 14/ sin2x + cos 2x + tgx = 2 ĐS : x = 
4
π
+ kπ 
 15/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0 
 II. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC n THEO SINX ,COSX. 
 Giải các phương trình sau : 
 1/ sin2 x + 2sin 2x –3 +7cos2x = 0 . 
 2/ cos3x – sin3x = cosx + sinx. 
 3/ sinxsin2x + sin3x = 6cos3x 
 4/ sin3x + cos3x = 2( sin5x + cos5x ) ĐS : x= 
4
π +
2
πk
 5/ sin3(x - 
4
π
) = 2 sinx ĐS : x = 
4
π
+kπ 
 6/ 3cos4x – sin2 2x + sin4x = 0 ĐS :x = ± 
3
π + kπ v x= 
4
π +
2
πk
 7/ 3sin4x +5cos4x – 3 = 0 . 
 Phương trình lượng giác Gv: Phan Đăng Phi &  
 trang 4 
 8/ 6sinx – 2cos3x = 5sin 2x cosx 
 III. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG – PT PHẢN ĐỐI XỨNG . 
 Giải các phương trình sau : 
 1/ cos3x + sin3x = sin 2x + sinx + cosx 2/ 2cos3x + cos 2x +sinx = 0 
 3/ 1 + sin3x + cos3x = 
2
3 sin2x 4/ 6( cos x – sinx ) + sinxcosx + 6 = 0 
 5/ sin3x – cos3x = 1 + sinxcosx 6/ 
3
10
cossin
sin
1
cos
1
=+++ xx
xx
 7/ tgx + tg2x + tg3x + cotgx+cotg2x +cotg3x = 6 8/ 
x2sin
2
 + 2tg2x + 5tgx + 5cotgx + 4 = 0 
 9/ 1 + cos3x – sin3x = sin 2x 10/ cos3x – sin3x = - 1 
 11/ 2cos 2x + sin2x cosx + cos2x sinx = 2( sinx + cosx ). 
IV.PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC . 
 Giải các phương trình sau: 
 1/ sin 2x +2cos2x = 1 + sinx –4cosx 2/ sin 2x – cos 2x = 3sinx +cosx – 2 
 3/ sin2x + sin23x – 3cos22x = 0 4/ cos3x cos3x – sin3xsin3x = cos34x + 
4
1
 5/ sin4
2
x
 + cos4
2
x
 = 1 – 2sinx 6/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0 
 7/ sin6x + cos6x = sin4x + cos4x 8/ sin4x + cos4x – cos2x = 1 – 2sin2x cos2x 
 9/ 3sin3x - 3 cos 9x = 1 + 4sin3x. 10/ x
x
xx
sin
cos1
sincos
=
−
+
 11/ sin2 )
42
(
π
−
x tg2x – cos2
2
x = 0 12/ cotgx – tgx + 4sinx = 
xsin
1
13 / sinxcosx + cosx = - 2sin2x - sinx + 1 14 / sin 3x = cosxcos 2x ( tg2x + tg2x ) . 
 15/ 32cos)
2sin21
3sin3cos
(sin5 +=
+
+
+ x
x
xx
x 16/ sin23x – cos24x = sin25x – cos26x 
 17 / cos3x – 4cos2x +3cosx – 4 = 0. 18/ 
x
xx
xtg
4
2
4
cos
3sin)2sin2(
1
−
=+ 
 19/ tgx +cosx – cos2x = sinx (1+tgx.tg
2
x ) 20/ cotgx – 1 = xx
tgx
x
2sin
2
1
sin
1
2cos 2 −+
+
 21/ 3 –tgx(tgx + 2sinx)+ 6cosx = 0 22/ cos2x + cosx(2tg2x – 1) = 2 
 23/ cotgx – tgx +4sin2x = 
x2sin
2 24/ )sin1(2
cossin
)1(coscos 2
x
xx
xx
+=
+
−
 25/ cotgx = tgx +
x
x
2sin
4cos2
 26/ x
x
xx
cos
3
1
sin2
2
cos
2
sin 33
=
+
−
 27/ tg2x – tgx =
3
1 cosx.sin3x 28/ (sinx + cosx)3 - 2 (sin2x +1) +sinx +cosx – 2 = 0 
 29/ 0
cos
2cos39sin62sin4 22
=
−−+
x
xxx
 30/ sin2x + sin22x + sin23x = 2 
 Phương trình lượng giác Gv: Phan Đăng Phi &  
 trang 5 
 31/ 1 + sinx +cosx +sin2x +cos2x = 0 32/ xtg
xx
xx
2
8
13
sincos
cossin
22
66
=
−
+
 33/ tg2x + cotgx = 8cos2x 34/ sinx+sin2x+sin3x - 3 ( cosx +cos2x+cos3x ) 
=0 
 35/ sin4x + cos4x – cos2x +
4
1 sin22x = 0 36/ 4cosx – 2cos2x – cos4x = 1 
 37/ 2cosx.cos2x.cos3x + 5 = 7cos2x 38/ (cos4x – cos2x)2 = 5 + sin3x 
 39/ sinx.sin2x +sin3x = 6cos3x HD :đặt t = tgx. 40/ sin22x – cos28x = sin(10x +
2
17π ) 
 41/ 2cos3x + cos2x +sinx = 0 42/ cos33x.cos2x – cos2x = 0 
 43/ 1+ sinx + cosx +sin2x + cos2x = 0 44/ cos4x + sin4x + cos(x -
4
π )sin(3x -
4
π )- 
2
3 = 0 
 45/ 5sinx –2 = 3(1 – sinx ) tg2x 46/ (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – cos2x 
 47/ cotgx – tgx + 4sin2x = 
x2sin
2 48/ sin2(
42
π
−
x )tg2x – cos2
2
x 
 49/ cox + cos2x + cos3x = sinx +sin2x + sin3x . 50/ cos3x + sin7x = 2sin2(
4
π +
2
5x ) – 2cos2
2
9x 
 51/ sin3x +sinxcosx = 1- cos3x 52/ sin3x + cos2x = 2(sin2xcosx – 1) 
 53/ 4cosx – 2cos2x – cos2x – cos4x = 0 , 54/ 1
2cos1
2sin
=
+
+
x
x 
 55/ 2(cos4x – sin4x) + cos4x – cos2x = 0, 56/ 2(cos4x + sin4x) = cos( x2
2
−
π ) 
 57/ 2cosxcos2x = 1+ cos2x +cos3x 58/ 4(cos4x + sin4x) + 3 sin4x = 2 
 59 / sin2x + cos2x = 1 - 3 sin2x +2 3cos2x 60/ cos4x + sin4x –cos2x +
4
1 sin22x = 0 , 
 61/ cos3x – 4cos2x +3cosx – 4 = 0 62/ cos7x +sin8x = cos3x – sin2x , 
 63/ sin2x + 22 cosx +2sin(x+
4
π )+3 = 0 64/ 0
sin22
cossin)sin(cos2 66
=
−
−+
x
xxxx
65/ cotgx + sinx(1+tgxtg
2
x ) = 4 66/ 1
1cossin2
12sinsin23sin2 2
−=
+
+−+
xx
xxx
V. CÁC BÀI TỐN CĨ CHỨA TAM SỐ 
 1/Cho phương trình 02sin
4
1
2coscossin 244 =++−+ mxxxx . Tìm m đđể phương trình cĩ nghiệm. 
 2/ Định m để phương trình : m
xx
gxtgxxx =++++++ )
cos
1
sin
1
cot(
2
1
1cossin có nghiệm 





∈
2
;0
π
x 
 3/ Cho phương trình: 1)cos
cos
2
()cos
cos
4
(2 2
2
=−++ x
x
mx
x
.Tìm m để phương trình có nghiệm 
 thuộc ).
2
;0(
π 
 4/ . Tìm tất cả các giá trị của m sao cho ta có: Rxmxxxx ∈∀≥++ ,cos.sincossin 66 
 Phương trình lượng giác Gv: Phan Đăng Phi &  
 trang 6 
 5/ Cho phương trình : 01)cot(3
sin
3 2
2
=−+++ gxtgxmxtg
x
. Tìm tất cả các giá trị của m để phương 
trình có nghiệm