Phát huy tích cực tính ứng dụng của phép dời hình trong giải toán hình học - Trần Thị Phước Vinh

 biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
- Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó. 
- Biến đường tròn bán kính thành đường tròn có cùng bán kính.
3. Các dạng bài tập cơ bản:
 Một số dạng bài tập cơ bản:
Dạng 1: Xác định trên hình vẽ ảnh của một hình qua phép dời hình
Phương pháp chung:	
- Dùng định nghĩa.
- Dùng các tính chất của phép biến hình.
Dạng 2: Xác định trong mặt phẳng tọa độ Oxy ảnh của một hình qua phép dời hình
Phương pháp chung:
- Dùng định nghĩa.
- Dùng biểu thức toạ độ của phép biến hình.
- Dùng các tính chất của phép biến hình.
Dạng 3: Dùng phép dời hình để giải một số bài toán chứng minh, dựng hình
Phương pháp chung: 
- Dùng định nghĩa, tính chất các phép dời hình để chứng minh.
- Để dựng điểm M ta làm như sau:
Cách 1: Xác định M như ảnh của một điểm đã biết qua một phép dời hình.
Cách 2: Xem M như là giao điểm của một đường cố định với ảnh của một đường đã biết qua một phép dời hình.
Dạng 4: Dùng phép dời hình để giải một số bài toán quỹ tích
Phương pháp: Chứng minh tập hợp điểm cần tìm là ảnh của một hình đã biết qua một phép dời hình.
 Yêu cầu chung:
Để thực hiện giải một bài toán, tôi yêu cầu học sinh cố gắng phân tích kỹ đề và thực hiện theo các bước:
Bước 1: Đọc và tìm hiểu kỹ đề.
Bước 2: Xác định dạng bài tập.
Bước 3: Tìm kiến thức sử dụng và cách giải quyết các vướng mắc để giải bài tập đó.
Bước 4: Hoàn thành bài giải.
* Tìm cách giải khác (nếu có).
BÀI TẬP
Bài 1: Cho hình thoi ABCD có tâm O. Xác định ảnh của các đỉnh qua
Phép tịnh tiến ;	2) Phép đối xứng trục ;
Phép đối xứng tâm ;	4) Phép quay .
A
B
O
C
D
C’
B’
Hướng dẫn giải
1) 
A
O
C
D
B
2) 
3) .
A
B
C
D
O
4) 
A
B
D
C
Bài 2: Cho hai hình vuông ( như hình vẽ ) có . Tìm một phép dời hình biến hình vuông .
D
A
B
C
A’
B’
C’
D’
Hướng dẫn giải
- Thực hiện phép tịnh tiến cho hình vuông theo ( như hình vẽ ) ta được ảnh của nó là hình vuông .
- Thực hiện quay hình vuông tâm , góc quay ta được hình vuông .
Vậy thực hiện liên tiếp 2 phép dời hình nói trên ta được một phép dời hình biến hình vuông .
Bài 3: Cho hai đường tròn bằng nhau . Tìm tất cả các phép dời hình biến đường tròn này thành đường tròn kia.
Hướng dẫn giải
Các phép dời hình biến đường tròn này thành đường tròn kia:
- phép tịnh tiến ,
- phép đối xứng tâm 
(O là trung điểm của ),
- phép quay I, với ,
- phép đối xứng trục .
Bài 1: 1/ Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm . Tìm tọa độ điểm ảnh của M qua các phép dời hình
a) ;	b) ;	c) ;	d) .
2/ Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho A(3;4). Hãy tìm toạ độ điểm A’ là ảnh của A qua phép quay tâm O góc quay 900.
Hướng dẫn giải
1/ a) Gọi . 
Theo biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến , ta có:
Vậy điểm ảnh của M qua là .
b) Gọi . Theo biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục :
Vậy điểm ảnh của M qua là .
c) Gọi . Theo biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục :
Vậy điểm ảnh của M qua là .
d) Gọi . Theo biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm :
Vậy điểm ảnh của M qua là .
2/ Cách 1: Gọi . Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các trục Ox, Oy. 
Phép biến hình chữ nhật OBAC thành hình chữ nhật . 
 Ta thấy . Vậy điểm ảnh của A qua là .
Cách 2: Theo biểu thức tọa độ phép quay 
Suy ra 
Bài 2: 1/ Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho véctơ , đường thẳng d có phương trình: . Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép .
2/ Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho, đường tròn (C) có phương trình , đường thẳng d có phương trình 
a) Tìm ảnh của M, (C), d qua phép đối xứng trục Ox.
b) Tìm ảnh của M, (C), d qua phép đối xứng trục .
Hướng dẫn giải
1/ Gọi .
Cách 1: 
Chọn . 
Vì d’//d nên , C = 24.
Vậy phương trình đường thẳng ảnh d’ là: 
Cách 2: 
Từ biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến : 
Thay vào phương trình của d ta được: 
Vậy phương trình đường thẳng ảnh d’ là: 
Cách 3: 
Lấy bất kì thuộc d, tìm ảnh M’,N’ tương ứng của M và N qua phép tịnh tiến theo vectơ . Khi đó đường thẳng d’ là đường thẳng M’N’.
2/ a) Gọi lần lượt là ảnh của qua phép đối xứng trục .
+ Ta có 
+ Đường tròn (C) có tâm bán kính . Đường tròn ảnh () của (C) có tâm là và bán kính .
Vậy phương trình () là: 
+ Từ biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục : 
Thay vào phương trình của d ta được: 
Vậy phương trình của là 
b) Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục: 
Thay tọa độ điểm và hệ số của đường thẳng vào ta có 
Vậy .
Từ biểu thức tọa độ 
+ Pt đường thẳng ảnh của d qua là
Vậy 
+ Pt đường tròn ảnh của (C) qua là
Vậy .
Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho Tìm toạ độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
Hướng dẫn giải
Giả sử điểm 
Để ABCD là hình bình hành thì . Nên . 
Với .
Do đó: .
Vậy 
Bài 1: 1) Hai thôn nằm ở vị trí A, B cách nhau một con sông (Xem hai bờ sông là hai đường thẳng song song). Người ta dự định xây một chiếc cầu MN bắc qua sông (cầu vuông góc với bờ sông) và làm hai đoạn đường AM, NB (như hình vẽ). Hãy xác định vị trí chiếc cầu MN sao cho AM+NB ngắn nhất. 
2) Có ba thành phố tạo thành một tam giác nhọn trên một vùng đồng bằng. Tìm vị trí I trong sao cho có thể xây dựng một sân bay chung mà tổng khoảng cách từ I tới các trung tâm thành phố đó là ngắn nhất.
Hướng dẫn giải
1) + Giả sử coi con sông rất hẹp: 
Bài toán trở thành: Cho hai điểm A, B nằm ở hai phía khác nhau so với đường thẳng a. Tìm vị trí M trên A để AM+AN nhỏ nhất. Khi đó M là giao điểm của AB với a. 
 + Thực tế: a song song với b
Các đường thẳng a, b cố định cố định. 
Nên . 
Ta có 
Cách dựng: 
- Dựng . Nối A’, B có . 
- Từ N hạ đường thẳng d a tại M. Khi đó MN là vị trí xây cầu.
2) Thực hiện phép . Ta có 
 ngắn nhất khi thẳng hàng và J ở giữa A’ và I, I ở giữa J và C. Thì . 
Vậy I nhìn AB, BC, CA dưới góc .
Cách dựng: 
- Dựng ảnh A’ của A qua .
- Trên A’C dựng các điểm I, J sao cho BIJ là tam giác đều.
Nên I chính là điểm cần dựng.
 Thật vậy, ABC là tam giác nhọn nên A’, A cùng phía so với BC; A’, B cùng phía so với AC. Lúc đó A’C cắt AB tại điểm nằm trong đoạn thẳng AB. 
Mặt khác và nên I phải nằm trong . 
Nên thẳng hàng và J ở giữa A’ và I, I ở giữa J và C và ngắn nhất.
Bài 2: Cho hai dây cung không cắt nhau AC, BD của một đường tròn (O) và điểm P trên dây CD. Hãy xác định điểm S trên (O) sao cho chắn trên dây CD một đoạn MN nhận P làm trung điểm.
Hướng dẫn giải
Thực hiện phép đối xứng tâm ,
 là đỉnh thứ tư của các hình bình hành có cùng tâm đối xứng P.
 thẳng hàng và thẳng hàng.
P
A
B
C
D
O
N
S
M
P
S’
B’
A’
Mặt khác, góc nội tiếp (không đổi)
: hoàn toàn xác định M, N.
Chẳng hạn dựng trên đoạn B’A.
Suy ra .
Bài 3: Cho hai đường tròn (O) và (O’) không cắt nhau và đường thẳng d. Hãy dựng một đường thẳng cùng phương với d cắt (O) và (O’) sao cho tổng độ dài các dây cung của chúng định bởi đoạn thẳng có một độ dài l cho trước.
Hướng dẫn giải
N
M
O
Giả sử đã dựng được cát tuyến cắt (O) và (O’) theo 2 dây cung tương ứng là MN và M’N’ sao cho cho trước. 
Kéo dài MN về phía N lấy điểm sao cho đặt .
Thực hiện với .
Thực hiện với .
, 
Gọi là giao điểm thứ 2 của 
 ( d là trung trực của đoạn ).
Vậy cát tuyến phải tìm là đường thẳng đi qua giao điểm của 2 đường tròn , song song với d. Bài toán có một hoặc hai nghiệm hình (tùy thuộc ). 
Bài 4: Cho hai đường thẳng song song a và b. Với một điểm C không nằm trên hai đường thẳng đó, hãy tìm các điểm sao cho là tam giác đều.
C
B
A
H
a
b
a’
H’
A’
B’
Hướng dẫn giải
Giả sử đã dựng được đều thỏa mãn các điều kiện của bài toán. 
Với phép quay điểm A có ảnh là B, đường thẳng a có ảnh là a’ cũng đi qua B nên suy ra cách dựng như sau:
Cách dựng: 
- Dựng đường thẳng bằng cách kẻ tại H, tìm ảnh của H qua phép quay này. Vẽ được đường thẳng qua và .
- Gọi , lấy điểm A là tạo ảnh của B qua phép quay nói trên, ta có .
Rõ ràng là tam giác đều. Với phép quay này bài toán có thêm nghiệm cần dựng. Hai tam giác này đối xứng nhau qua trục CH.
Bài 5: Cho DABC, trên AB, AC dựng ra phía ngoài các hình vuông ABMN và ACPQ.
a) Chứng minh : NC ^ BQ ; BQ = NC
b) Gọi H là trung điểm của BC . Chứng minh: AH ^ QN.
Hướng dẫn giải
a) Ta có: 
. 
Vậy : .
b) . Do đó : 
Mà AH là đường trung bình của CBB1 
Nên AH // CB . Vậy : AM ^ QN.
Bài 6: Qua tâm G của DABC đều kẻ đường thẳng a cắt BC tại M, cắt AB tại N , kẻ đường thẳng b cắt AC tại P và cắt AB tại Q, đồng thời tạo với a một góc 600. 
Chứng minh tứ giác MPNQ là hình thang cân.
Hướng dẫn giải
Ta có : a Ç CB = {M} ; b Ç BA = {Q}
Mà : (1)
P
M
N
Q
G
A
B
C
Þ (2)
Từ (1), (2) Þ 
Þ GM = GQ Þ cân
Tương tự: 
DGNP cân Þ MQ // NP và NQ = MP.
Vậy MPNQ là hình thang cân.
Bài 1: Cho đường tròn (O) và tam giác ABC. Một điểm M thay đổi trên đường tròn(O). Gọi M1 là điểm đối xứng của M qua A, M2 là điểm đối xứng của M1 qua B, M3 là điểm đối xứng của M2 qua C. Tìm quỹ tích của điểm M3.
Hướng dẫn giải
Gọi D là trung điểm của MM3 thì ABCD là hình bình hành. Do đó điểm D cố định; .
Do đó quỹ tích điểm M3 là ảnh của đường tròn (O) qua phép đối xứng tâm D.
Bài 2: Cho hai điểm phân biệt B,C cố định (BC không phải là đường kính) trên đường tròn (O), điểm A di động trên (O). Chứng minh rằng khi A di động trên (O)
thì trực tâm tam giác ABC di động trên một đường tròn.
Hướng dẫn giải
Cách 1: Áp dụng phép tịnh tiến 
Gọi H là trực tâm tam giác ABC, M là trung điểm của BC. 
Tia BO cắt đường tròn (O) tại D.
Ta có =900 nên DC//AH, AD//CH
ADCH là hình bình hành . 
Vì không đổi T2(A) =H.
Vậy khi A di chuyển trên đường tròn (O) thì H di chuyển trên đtròn (O’) là ảnh của (O) qua phép .
Cách 2: Áp dụng phép đối xứng trục
Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Gọi I, H’ lần lượt là giao điểm của tia AH với đoạn thẳng BC và đtròn (O).
Ta có: ; . Do đó cân tại CH và H’ đxứng qua BC. Khi A chạy trên đường trong (O) thì H’ cũng chạy trên đtròn (O, suy ra khi A di động trên (O) thì trực tâm di động trên một đtròn là ảnh của (O) qua phép .
Cách 3: Áp dụng phép đối xứng tâm
Gọi H là trực tâm tam giác ABC, I là trung điểm của BC. Tia AO và BO cắt (O) lần lượt tại M và D.
Theo chứng minh ở cách 1, ta có .
Trong có OI//AH