Phân loại và phương pháp giải Toán 12 - Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu - Lê Văn Đoàn

4/ Tính chất:

 Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:

+ Mặt phẳng cắt mặt nón theo 2 đường sinh Thiết diện là tam giác cân.

+ Mặt phẳng tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh. Trong trường hợp này, người ta gọi đó là mặt phẳng tiếp diện của mặt nón.

 Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:

+ Nếu mặt phẳng cắt vuông góc với trục hình nón giao tuyến là một đường tròn.

+ Nếu mặt phẳng cắt song song với 2 đường sinh hình nón giao tuyến là 2 nhánh của 1 hypebol.

+ Nếu mặt phẳng cắt song song với 1 đường sinh hình nón giao tuyến là 1 đường parabol.

19 trang | Chia sẻ: lethuong715 | Lượt xem: 504 | Lượt tải: 0

Bạn đang xem nội dung tài liệu Phân loại và phương pháp giải Toán 12 - Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu - Lê Văn Đoàn, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

của hình nón lớn là và của hình nón nhỏ là .Tính thể tích phần ở ngoài hình nón nhỏ và ở trong hình nón lớn.
Bài 17. Cho hình nón có đường caovà bán kính đáy . Gọilà điểm trên đoạn, đặt .
 	a/ Tính diện tích thiết diện vuông góc với trục tại.
 	b/ Tính thể tích của khối nón đỉnhvà đáytheo. Xác địnhsao cho thể tích đạt giá trị lớn nhất.
Bài 18. Cho hình nón tròn xoay đỉnh. Trong đáy của hình nón đó có hình vuông nội tiếp, cạnh bằng . Biết rằng: . Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích khối nón.
MẶT TRỤ
∆
A
D
B
C
r
r
1/ Mặt trụ tròn xoay
Trongcho hai đường thẳngvàsong song nhau, cách nhau một khoảng. Khi quayquanh trục cố địnhthì đường thẳngsinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt là mặt trụ.
Đường thẳng được gọi là trục.
Đường thẳngđược gọi là đường sinh.
h
Khoảng cáchđược gọi là bán kính của mặt trụ.
2/ Hình trụ tròn xoay
Khi quay hình chữ nhậtxung quanh đường thẳng chứa một cạnh, chẳng hạn cạnhthì đường gấp khúctạo thành một hình, hình đó được gọi là hình trụ tròn xoay hay gọi tắt là hình trụ.
Đường thẳngđược gọi là trục.
Đoạn thẳngđược gọi là đường sinh.
Độ dài đoạn thẳngđược gọi là chiều cao của hình trụ.
Hình tròn tâm, bán kínhvà hình tròn tâm, bán kínhđược gọi là 2 đáy của hình trụ.
Khối trụ tròn xoay, gọi tắt là khối trụ, là phần không gian giới hạn bởi hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ.
3/ Công thức tính diện tích và thể tích của hình trụ
Cho hình trụ có chiều cao làvà bán kính đáy bằng, khi đó:
Diện tích xung quanh của hình trụ: 
Diện tích toàn phần của hình trụ: 
Thể tích khối trụ: 	 
4/ Tính chất:
Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là) bởi mộtvuông góc với trụcthì ta được đường tròn có tâm trênvà có bán kính bằngvớicũng chính là bán kính của mặt trụ đó.
Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là) bởi mộtkhông vuông góc với trụcnhưng cắt tất cả các đường sinh, ta được giao tuyến là một đường elíp có trụ nhỏ bằngvà trục lớn bằng, trong đó là góc giữa trụcvà với.
Chosong song với trụccủa mặt trụ tròn xoay và cáchmột khoảng.
Nếuthìcắt mặt trụ theo hai đường sinhthiết diện là hình chữ nhật.
Nếuthìtiếp xúc với mặt trụ theo một đường sinh.
Nếuthìkhông cắt mặt trụ.
5/ Một số thí dụ
Thí dụ 7. Một khối trụ có chiều cao bằngvà có bán kính đáy bằng. Người ta kẻ hai bán kính đáy vàlần lượt nằm trên hai đáy, sao cho chúng hợp với nhau một góc bằng. Cắt mặt trụ bởi một mặt phẳng chứa đường thẳngvà song song với trục của khối trụ đó.
Tính diện tích của thiết diện tạo bởi mặt phẳng cắt hình trụ trên.
Hãy tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình trụ và thể tích của khối trụ
Bài giải tham khảo
A
O
O'
B
B'
A'
a/ Tính diện tích của thiết diện.
Từ một đáy của khối trụ, ta vẽ hai bán kínhsao cho . Gọilần lượt là hình chiếu vuông góc của trên mặt đáy còn lại. Ta có: vàtạo với nhau một góc . Thiết diện là hình chữ nhậtcó:
.
Mặt khác, ta có: .
.
b/ Diện tích xung quanh của hình trụ.
Diện tích toàn phần hình trụ: .
Thể tích khối trụ: .
Thí dụ 8. Một khối trụ có bán kính đáy bằngvà có thiết diện qua trục là một hình vuông.
Tính diện tích xung quanh của khối trụ đó.
Tính thể tích của hình lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ đã cho.
Gọilà thể tích hình lăng trụ đều nội tiếp trong hình trụ vàlà thể tích khối trụ. Hãy tính tỉ số.
Bài giải tham khảo
D
B’
A
O
C
A’
C’
B
D’
a/ Tính diện tích xung quanh của khối trụ.
Vì thiết diện qua trục hình trụ là một hình vuông nên .
Do đó, diện tích xung quanh của khối trụ đó là: .
b/ Tính thể tích của hình lăng trụ
Gọilà lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ.
Ta có, hình vuôngnội tiếp trong đường tròn đáy. 
Do đó, và thể tích khối lăng trụ là:
.
c/ Tìm tỉ số: .
Thí dụ 9. Cho một hình trụ tròn xoay và hình vuôngcạnhcó hai đỉnh liên tiếpnằm trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ. Mặt phẳng tạo với đáy hình trụ góc. Tính diện tích xung quanh hình trụ và thể tích của khối trụ.
Bài giải tham khảo
D
450
A
O
C
N
O’
B
M
I
* Gọitheo thứ tự là trung điểm củavà. Khi đó: và. Giả sửlà giao điểm củavà.
* Đặt. 
* Trongvuông cân tạinên: .
.
* Ta có: 
.
Thí dụ 10. Trong số các khối trụ có diện tích toàn phần bằng, khối trụ nào có thể tích lớn nhất ?
Bài giải tham khảo
* Kí hiệulà bán kính đáy,là độ dài đường cao của khối trụ.
* Ta có: . Ta cần tìmvàđểcó giá trị lớn nhất.
* Theo trên, ta có: 
.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi hay .
Khi đó .
* Vậy khối trụ có thể tích lớn nhất là khối trụ có và .
Thí dụ 11. Cho hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai hình trònvà. Biết rằng tồn tại dây cungcủa đường trònsao chođều vàhợp với mặt phẳng chứa đường trònmột góc . Tính diện tích xung quanh và thể tích hình trụ.
Bài giải tham khảo
* Ta có: . Gọilà trung điểm củathì.
A
O
O’
B
H
* Giả sử . Khi đó: và.
* Xét, ta có: .
* Vì đều nên: .
* Mặt khác, vuông tạinên: 
.
* Từ.
.
* Vậy, nếu kí hiệulà diện tích xung quanh vàlà thể tích của hình trụ thì, ta có: 
6/ Bài tập rèn luyện
Bài 19. Trong không gian cho hình vuôngcạnh. Gọilần lượt là trung điểm của các cạnhvà . Khi quay hình vuông đó xung quanh trục, ta được một hình trụ tròn xoay.
Tính diện tích xung quanh của hình trụ đó.
Tính thể tích khối trụ tròn xoay được tạo nên bởi hình trụ nói trên.
Bài 20. Một khối trụ có bán kính đáy bằngvà có thiết diện qua trục là một hình vuông.
Tính diện tích xung, diện tích toàn phần và thể tích của hình trụ.
Tính thể tích hình lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ đã cho (hình lăng trụ này có đáy là hình vuông nội tiếp trong đường tròn đáy của hình trụ).
Bài 21. Một hình trụ có bán kính đáy là , chiều cao là .
Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
Tính thể tích của khối trụ tương ứng.
Cho hai điểmvàlần lượt nằm trên hai đường tròn đáy, sao cho góc giữa đường thẳngvà trục của hình trụ bằng . Tính khoảng cách giữa đường thẳngvà trục của hình trụ.
Bài 22. Một khối trụ có bán kính đáy bằngvà chiều cao bằng. Gọilần lượt là hai điểm trên hai đường tròn đáy, sao cho góc được tạo thành giữa 2 đường thẳngvà trục của khối trụ bằng .
Tính diện tích của thiết diện quavà song song với trục của khối trụ.
Tính góc giữa hai bán kính đáy quavà qua.
Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung củavà trục của khối trụ.
Bài 23. Một hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâmvà, có bán kínhvà có đường cao. Gọilà một điểm trên đường tròn tâmvàlà một điểm trên đường tròn tâmsao chovuông góc với.
Chứng minh rằng các mặt bên của tứ diệnlà những tam giác vuông. Tính thể tích tứ diện này.
Gọiđi quavà song song với. Tính khoảng cách giữa trụcvà.
Chứng minh rằngtiếp xúc với mặt trụ trụccó bán kính bằngdọc theo 1 đường sinh.
Bài 24. Một hình trụ có bán kính đáy bằngvà có chiều cao.
Tính diện tích toàn phần của hình trụ và thể tích của khối trụ được tạo nên.
Một đoạn thẳng có chiều dàivà có hai đầu mút nằm trên hai đường tròn đáy. Tính khoảng cách từ đoạn thẳng đó đến trục hình trụ.
Bài 25. Hình chóp tam giác đềucóvà góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy bằng. 
Tính diện tích xung quanh của hình trụ có đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác đáy của hình chóp và có chiều cao bằng chiều cao của hình chóp.
Các mặt bêncắt hình trụ theo những giao tuyến như thế nào?
Bài 26. Một hình trụ có thiết diện qua trụ là một hình vuông, diện tích xung quanh bằng.
Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ tạo nên.
Mộtsong song với trục của hình trụ và cắt hình trụ đó theo thiết diện. Biết một cạnh của thiết diện là một dây cung của một đường tròn đáy và căng một cung. Tính diện tích của thiết diện này.
Bài 27. Cho hình lăng trụ lục giác đềucó cạnh đáy bằng, chiều cao.
Tính diện tích xung quanh và thể thể tích hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ.
Tính diện tích toàn phần và thể tích hình trụ nội tiếp hình lăng trụ.
Bài 28. Cho hình lăng trụ đứngcó đáylà hình thang cân với đáy nhỏ, đáy lớn, cạnh bên bằngvà chiều cao hình lăng trụ là.
Chứng minh rằng có một hình trụ nội tiếp được trong hình lăng trụ đã cho.
Tính diện tích xung quanh hình trụ và thể tích khối trụ đó.
Bài 29. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâmvà, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng.Trên đường tròn đáy tâmlấy điểm, trên đường tròn đáy tâmlấy điểmsao cho.Tính thể khối tứ diện .
Bài 30. Bên trong hình trụ tròn xoay có một hình vuôngcạnhnội tiếp mà 2 đỉnh liên tiếpnằm trên đường tròn đáy thứ 1 của hình trụ, 2 đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ 2 của hình trụ. Mặt phẳng hình vuông tạo với đáy hình trụ một góc .Tính diện tích và thể tích của hình trụ

File đính kèm:

Toan 12 - Hinh hoc C.II - Mat Non-Tru-Cau.doc