Phân dạng một số bài tập thể tích khối đa diện thường gặp chương trình 12 cơ bản - Nguyễn Xuân Chính

đáy của khối chóp mà ta xác định công thức tính diện tích đáy ( Tam giác đều, hình vuông,..) 
2)Đường cao chính là độ dài đoạn thẳng SO với S là đỉnh và O là tâm của đáy. 
3)Công thức tính thể tích: 
1
.
3
dV S h 
4)Tứ diện đều thì có tất cả các cạnh đều bằng nhau nên đây là trường hợp đặc biệt của khối chóp tam giác đều. 
*Các ví dụ áp dụng: 
Bài 1: Tính thể tích khối chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên hợp với đáy một góc 300. 
Bài 2: Tính thể tích khối chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên SB= 2a (Tương tự như bài 1) 
Bài 3: Tính thể tích khối chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên hợp với đáy một góc 600. 
Bài 4: Tính thể tích hình chóp tam giác đều SABC trong các trờng hợp sau: 
a) Cạnh đáy bằng a, góc ASB = 60o 
b) AB = a, SA = l 
c) SA = l, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng  
II)Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy. ( Giả sử SA  đáy) 
*Nhận dạng các yếu tố của bài toán. 
1)Tùy theo đáy của khối chóp mà ta xác định công thức tính diện tích đáy thích hợp. 
2)Đường cao chính là độ dài cạnh SA . 
3)Công thức tính thể tích: 
1
.SA
3
dV S 
* Các ví dụ áp dụng: 
Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, biết SA vuông góc với mặt đáy và SA=AC , 
AB=a và góc 045ABC  . Tính thể tích khối chóp S.ABC 
Bài 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B, cạnh SA vuông góc với đáy. Từ A kẻ AD 
 SB và AE  SC. Biết SA = AB = a, AC = 2a. 
a)Tính thể tích khối chóp S.ABC và S.AED b)Tính d(E, (SAB)) 
Bài 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD), SB tạo với đáy một góc 300. Gọi I, 
J, K lần lượt là trung điểm của SA, BC, CD. 
1)Tính thể tích khối chóp S.ABCD. 2)Tính tỉ lệ thể tích của hai khối S.ABCD và khối I.ABCD 
3) Tính thể tích khối chóp I.AJK 4)Tính khoảng cách từ điểm K đến (AIJ) 
5)Tính góc giữa cạnh SC với đáy. 
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật có AB = a, AD = b, SA = b, SA  (ABCD). M là điểm 
thuộc SA với AM = x (0 < x < b), mặt phẳng (MBC) cắt SD tại N. Tính thể tích khối đa diện ABCDMN theo 
a, b và x. 
Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA =2a và SA  (ABC). Gọi M, N lần lượt là 
trung điểm của SB và SC. 
1)Tính thể tích khối chóp S.ABC 2)Tính khoảng cách từ A đến (SBC). 
3) Tính tỉ lệ thể tích khối chóp .
S.ABCV
N ABCV 
Bài 6: Cho S.ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh a,cạnh bên SA  (ABC),và góc giữa (ABC) ;(SBC) bằng 
300 . 
a) Tính thể tích khối chóp. b) Tính diện tích tam giác SBC. ( S’ = S.cos ) 
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD. Có đáy là hình vuông cạnh a,SA  (ABCD) và SA = a .H là trung điểm SC. 
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD 
b) Tính tỉ lệ thể tích giữa hai khối chóp S.ABCD và H.BCD. 
Bài 8 (A/2010): Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm cạnh 
AB và AD, H là giao điểm của CM và DN, 3),( aSAABCDSA  . Tính thể tích khối chóp S.CDNM và 
khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC. 
Bài 9(B/2006): Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình chữ nhật với AB = a và 2aAD  , SA = a và SA  
(ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD và SC, I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng: (SAC) 
 (SMB). Tính thể tích khối tứ diện ANIB. 
Bài 10(D/2006): Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA =2a và SA  (ABC). Gọi M, N lần 
lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB và SC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM. 
Bài 11(D/2007): Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, góc ABC và BAD vuông, BC = BA = a, AD = 
2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và . Gọi H là hình chiếu của A trên SB. Chứng minh rằng: tam giác SCD 
vuông và tính d(H, (SCD)) theo a. 
III)Khối chóp có 1, 2 mặt bên, mặt chéo vuông góc với mặt đáy. 
*Nhận dạng các yếu tố của bài toán.( S là đỉnh khối chóp) 
1)Xác định giao tuyến của hai mặt bên vuông góc với đáy. (Giả sử giao tuyến đó là SA). 
2)Đường cao là SA.(A là một đỉnh của đa giác đáy). 
3)Tùy theo đáy của khối chóp mà ta xác định công thức tính diện tích đáy thích hợp. 
4)Nếu khối chóp có một mặt bên hoặc một mặt chéo vuông góc với đáy thì đường cao khối chóp chính là đường 
cao của tam giác mặt bên hoặc mặt chéo đó. 
5) Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp: 
1
.h
3
dV S (Sd :Diện tích đáy, h : Chiều cao) 
* Các ví dụ áp dụng: 
Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong 
mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD. 
1)Chứng minh chân đường cao của khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB. 
2)Tính thể tích khối chóp. 
Bài 2: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều, BCD là tam giác vuông cân tại D. (ABC)  (BCD). AD 
hợp với (BCD) một góc 600, Tính thể tích tứ diện ABCD. 
Bài 3: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông 
góc với đáy, SA = 3a . Gọi M là trung điểm cạnh CD. 
 a. Tính diện tích tam giác ACD và thể tích khối chóp S.ABCM 
 b. Tính góc giữa SM với mặt phẳng (ABCD) 
 c. Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBD). 
Bài 4 (B/2008): Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = 3a và (SAB) vuông góc 
với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC. Tính thể tích khối chóp S.BMDN và cosin của góc 
giữa hai đường thẳng SM, DN. 
Bài 5 (A/2009): Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, AD = AB = 2a, CD = a; góc 
giữa hai mp(SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi M là trung điểm AD. Biết hai mp(SBM) và (SCM) cùng vuông 
góc với đáy. Tính thể tích khối chóp theo a. 
Bài 6(A/2007): Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong 
mp vuông góc với đáy. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm SB, BC, CD. Chứng minh rằng AM  BP và tính thể 
tích khối tứ diện CMNP. 
IV)Lăng trụ đứng, lăng trụ xiên. 
a)Lăng trụ đứng: 
*Nhận dạng các yếu tố của bài toán. 
1)Xác định đa giác đáy để có công thức tính diện tích đáy thích hợp. 
2)Độ dài đường cao là độ dài của cạnh bên của khối lăng trụ đó. 
3)Áp dụng công thức tính thể tích : .AA'dV S với AA’ là cạnh bên của lăng trụ đó. 
* Các ví dụ áp dụng: 
Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là ABC vuông cân có AB = AC = a, cạnh bên AA' = a. gọi E là 
trung điểm của AB, F là hình chiếu vuông góc của E lên BC. mặt phẳng (C'EF) chia lăng trụ thành hai phần. 
Tính tỷ số thể tích của hai phần đó. 
Bài 2: Cho khối lăng trụ dứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC vuông tại A, AC = b , góc ACB=600 
.Đường thẳng BC’ tạo với (AA’C’C) một góc 300 . 
1)Tính AC’ 
2)Tính thể tích khối lăng trụ đã cho. 
3)Tính thể tích khối ABB’C’A’. 
Bài 3: Cho khối lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a 
a)Tỉnh thể tích khối tứ diện A’CC’B’. 
b) Tỉnh thể tích khối tứ diện A’BB’C 
c)Tỉnh thể tích khối lăng trụ ABC. A’B’C’. 
Bài 4. Một lăng trụ đứng ABC.A’B’C’,Đáy là tam giác ABC có AB =29 cm; AC =25cm ; 
BC=6 cm. Gọi E,F theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB,AC. Mặt phẳng (p) đI qua E,F và song song với cạnh 
AA’ cắt các cạnh A’B’ , A’C’ theo thứ tự E’,F’.Diện tích tứ giác EFF’E’ bằng 24cm2 . 
a) Xác định hình tứ giác EFF’E’ b) Tính thể tích lăng trụ. c) tính diện tích xung quanh lăng trụ. 
Bài 5. Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình bình hành và 045BAD  . Các đường chéo AC’; 
DB’ lần lượt tạo với đáy những góc 450 và 600 .Hãy tính thể tích khối lăng trụ nếu biết chiều cao của nó bằng 
2. 
Bài 6. Đáy của lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ là tam giác đều .mp(A’BC) Tạo với đáy một góc 300 và tam giác 
A’BC có diện tích bằng 8.Tính thể tích khối lăng trụ đó. 
Bài 7: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông có CA = CB = a; 
CC' = 2a. M, N là trung điểm của AB và AA', mặt phẳng (C'MN) cắt BC tại P. 
a) Tính thể tích khối lăng trụ đã cho. b) CM: PC = 2PB. c) Tính: V . 
Bài 8(10/27 Sgk):Cho khối l.trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a 
a)Tỉnh thể tích khối tứ diện A’BB’C. 
b)Mặt phẳng đi qua A’B’ và trọng tâm tam giác ABC cắt AC và BC lần lượt tại E, F. Tính thể tích khối 
chóp C.A’B’FE. 
Bài 9(D/2008): Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA’ = 2a
. Gọi M là trung điểm BC. Tính theo a thể tích khối lăng trụ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B’C. 
b)Lăng trụ xiên. 
*Nhận dạng các yếu tố của bài toán. 
1)Tương tự như khối lăng trụ đứng nhưng chỉ khác về đường cao. 
'AMNCPC
2)Độ dài đường cao chính là (Hoặc AH với A là một đỉnh của lăng trụ còn H là hình chiếu của A lên mặt phẳng 
đáy kia) 
V)Lăng trụ có hình chiếu của một đỉnh lên mặt đáy kia là một điểm đặc biệt nào đó ( Trọng tâm đáy, 
trung điểm của cạnh nào đó,) 
Đây là trường hợp đặc biệt của dạng trên (Lăng trụ xiên) 
* Các ví dụ áp dụng: 
Bài 1: Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’. Có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh AA’ hợp với đáy một góc 600 
và hình chiếu của A’ lên (ABC) là trung điểm H của cạnh AC. 
a)Tính thể tích của khối lăng trụ trên. b)Tính thể tích khối đa diện HA’B’C’. 
c)Xác định và tính khoảng cách từ B đến (ACC’A’) từ đó suy ra thể tích khối đa diện BACC’A’ . 
Bài 2. Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có độ dài cạnh bên = 2a, ∆ABC vuông tại A, AB = a, AC = a 3 . Hình chiếu 
vuông góc của A’ trên (ABC) là trung điểm BC.Tính VA’ABC theo a? 
Bài 3: Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a Điểm A’ cách đều 3 điểm A,B,C.Cạnh 
bên AA’ tạo với đáy một góc =600 . 
1)Tính thể tích của khối chóp A’ABC 2)Tính thể tích khối lăng trụ đã cho. 
3) Tính thể tích của khối chóp C’ABC. 
Bài 4(A/2008): Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC 
= 3a và hình chiếu của A’ lên mp(ABC) là trung điểm BC. Tính thể tích khối chóp A’.ABC và cosin của góc 
giữa hai đường thẳng AA’, B’C’. 2aSA  
Bài 5 (B/2009): Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa BB’ và (ABC) bằng 600. Tam giác ABC vuông 
tại C và góc BAC bằng 600. Hình chiếu của B’ lên (ABC