Ôn thi Đại học môn Toán - Chủ đề: Sự biến thiên của hàm số

Sự biến thiên của hàm số
Dạng toán 1: Xét sự biến thiên của hàm số
Phương pháp giải:
Tìm miền xác định của hàm số . 
Tìm đạo hàm và xét dấu đạo hàm. 
 Nếu với mọi ( tại điểm thuộc )thì hàm số đồng biến trên khoảng . 
Nếu với mọi ( tại điểm thuộc )thì hàm số nghịch biến trên khoảng . 
Ví dụ 1: Tìm các giá trị của tham số để hàm số đồng biến trên 
Hướng dẫn giải:
Tập xác định 
Đạo hàm 
Hàm số đồng biến trên , 
Vậy với thì hàm số đã cho đồng biến trên .
Ví dụ 2:Tìm m để hàm số  luôn nghịch biến trên tập xác định.
Hướng dẫn giải:
Tập xác định 
Đạo hàm 
Hàm số luôn nghịch biến khi và chỉ khi , 
,
.
Kết luận: Giá trị của m phải thỏa mãn yêu cầu bài toán là : .
Bài tập rèn luyện:
1. Tìm để hàm số luôn đồng bến trên tập xác định của hàm số .
2. Tìm để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
3. Tìm để hàm số nghịch biến trên tập xác định.
Dạng toán 2: Hàm số đồng biến , nghịch biến trên một khoảng 
Phương pháp giải:
Vẫn dùng các định lí nhận biết tính tăng giảm của hàm số trên một khoảng 
Bài toán thưeờng dẫn đến một bài toán về tam thức bậc hai 
Học sinhn cần lưư ý việc so sánh 1 số với hai nghiệm của 
                    +  
                    + 
                    + 
Ví dụ: Cho hàm số 
a) Chứng minh rằng hàm số không thể luôn đồng biến .
b) Định  để hàm số đồng biến với 
Hướng dẫn giải:
a) Tập xác định 
Đạo hàm: 
=,
Điều này cho thấy phương trình có hai nghiệm phân biệt , suy ra đạo hàm đổi dấu 2 lần . Vậy hàm số không thể luôn luôn đồng biến được.
b) Định  để hàm số đồng biến với 
Hàm số đồng biến với ,
Nhưng nếu () là 2 nghiệm của thì bảng xét dấu của  là ( Học sinh tự lập)
Từ bảng xét dấu: ,
. 
Vậy hàm số đồng biến với nếu và chỉ nếu 
Bài tập rèn luyện:
1. Cho hàm số 
a) Định để hàm số đồng biến trong khoảng 
b) Định để hàm số đồng biến trong các khoảng ,.
2. Tìm để hàm số đồng biến trong khoảng .