Ôn thi Đại học, Cao đẳng môn Toán - Ứng dụng trong hình học

Ứng dụng trong hình học 
10.1 Phương pháp toạ độ 
Mục đích yêu cầu 
Biết cách chọn hệ trục toạ độ sao cho phù hợp với hình vẽ, từ đó ta có thể thiết lập các 
tọa độ phức dựa vào vị trí các điểm và dẫn đến giải quyết bài toán dễ dàng. 
Ví dụ 
Cho 3 hình vuông được biểu diễn như hình sau : 
So sánh tổng α β+ và γ 
Giải : 
Chọn hệ trục toạ độ ( ), ,A AB AH


 



 , nhìn vào hình vẽ dễ thấy rằng toạ độ phức của các 
vectơ , AE BE



 



 và CE




 lần lượt là 3 ; 2 ; 1i i i+ + + và , ,α β γ tương ứng là acgumen cuả 
những số phức này 
( ) ( ) ( ) ( ), , arg arg 1
4CE
CD CE AB CE z i
piγ = = = = + =






 


 


 



( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
, , , ,
 arg arg arg 3 arg 2
 = arg 3 2 
AE BE
a AB AE BC BE AB AE AB BE
z z i i
i i
β+ = + = +
= + = + + +
+ +  



 






 


 


 


 


 


 


 



Vì ( )( )3 2 5 5i i i+ + = + và ( )arg 5 5
4
i
pi
+ = nên ta được kết quả : 
4
pi
α β γ+ = = . 
a) Ở hình bên hãy so sánh góc α và β 
b) Đố bạn còn tồn tại một phương pháp khác ngắn hơn 
hay không? 
10.2 Giải toán bằng phương pháp toạ độ 
Mục đích yêu cầu 
Với một hệ toạ độ cho trước, bằng cách sử dụng số phức ta có thể tính các khoảng cách, 
số đo các góc và biểu diễn một số tính chất hình học như song song, vuông góc. 
Ví dụ 
1. Cho mặt phẳng ( ), ,O u v  , người ta xét các điểm A , B , C và D lần lượt có toạ độ phức 
là 
1a i= − + ; 1 ;= − −b i 2 ; 2 2= = −c i d i 
a) Dựng các điểm A , B , C , D 
b) Tính các số phức ; 
c a c b
d a d b
− −
− −
Từ đó suy ra tính chất của các tam giác ACD và tam giác BCD. 
c) Chứng minh rằng A , B , C và D là 4 điểm cùng thuộc 1 đường tròn (chỉ rõ tâm và bán 
kính). 
Giải 
a) Ta vẽ hình sau : 
b) 
( )( )1 3 31 1
3 3 18 3
i ic a i
i
d a i
+ +
− +
= = =
− −
( )( )1 3 31 3
1
3 10
i ic b i
d b i
+ +
− +
= = =
− −
Về mặt acgumen và mođun 
( ) 1, arg arg
3 2
c a
AD AC i
d a
pi−  
= = = 
−  



 



. 
Vậy tam giác ACD vuông ở A. 
1
c bBC c b
i
BD d b d b
−
−
= = = =
− −
 BC BD⇔ = 
Ngoài ra ( ) ( ), arg arg
2
c b
BD BC i
d b
pi−
= = =
−



 



Vậy tam giác BCD là tam giác vuông cân ở B. 
c) Các kết quả trên chứng tỏ rằng A và B nằm trên đường tròn đường kính CD có tâm là 
( )1Ω và bán kính 5=R . 
2. Trong mặt phẳng ( ), ,O u v  , người ta cho các điểm A(2), B(1); M(z) với ( )z i≠ và 
M’(z’) sao cho 
2
'
z
z
z i
+
=
−
. 
a) Tìm tập hợp điểm M sao cho OM’ = 1 . 
b) Tìm tập hợp điểm M sao cho M’ nằm trên trục thực . 
c) Tìm tập hợp điểm M sao cho M’ nằm trên trục ảo . 
Giải 
a) 
22
' '
zz AM
OM z
z i z i BM
++
= = = =
− −
Từ giả thiết ta được 1
AM
BM
= 
Vậy tập hợp điểm M là đường trung trực của đoạn AB . 
b) Ta có : 
( )2arg ' arg ,zz MB MA
z i
+
= =
−



 



Do điều kiện đầu bài là 'z là số thực ' 0z⇔ = hay argz’ = 0 
hay M Api ⇔ ≡ hay ( ), 0MB MA =


 


 haypi 
Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng AB , trừ điểm B 
c) Do điều kiện đầu bài z’ là một số thuần ảo , điều này 
tương đương với M A≡ hay là ( ),
2
MB MA
pi
= ±



 



Vậy tập hợp điểm M là đường tròn đường kính AB , loại trừ điểm B. 
1. a) Hãy vẽ trên mặt phẳng phức các điểm A , B , C và D lần lượt có toạ độ là – 1 , 3 , 
1 2 3i+ và 7. 
 b) Hãy xác định tính chất cuả các tam giác ABC và tam giác ACD. 
2. Cho các điểm A , B , M và M’ trong mặt phẳng phức có toạ độ lần lượt là 3i− , 4 i+ , 
z ( )4z i≠ + và 3'
4
z i
z
z i
+
=
− −
a. Xác định tập hợp các điểm M sao cho 
1) M’ nằm trên trục thực. 
2) M’ nằm trên trục ảo. 
b. Tính tích số ( )( )' 1 4z z i− − − . Từ đó suy ra tập hợp các điểm M sao cho M’ thuộc 
đường tròn ( )1Ω bán kính là 2 .