Các Chuyên đề về hàm số - Sự tương giao của hai đồ thị

Chuyên đề 1: Sự tương giao của hai đồ thị
I . Bài toán cơ bản :
 VD1: Cho hàm số y = có đồ thị là ( C )
Tìm m để đường thẳng (d): y = mx + 1 cắt ( C ) tại 2 điểm phân biệt.
Tìm m để (d) cắt ( C ) tại 2 điểm thuộc hai nhánh của ( C).
VD2: Cho hàm số y = mx3 – x2 – 2x + 8m có đồ thị là ( C).
 Tìm m để ( C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ thoả mãn: x < -1.
VD3: Cho hàm số: y = x4 –(3m + 4 )x2 + m2 có đồ thị là ( C ) 
Tìm m để ( C ) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.
Tìm m để ( C ) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.
VD4: Tìm m để đồ thị của hàm số y = x3 –m(x – 1) – 1 tiếp xúc với trục hoành.
VD5: Tìm m để (d) : y = m – x cắt ( C) : y = tại 2 điểm đối xứng với nhau qua đường phân giác thứ nhất.
Chuyên đề 2: Tiếp tuyến với đồ thị
I. Bài toán cơ bản:
 Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là ( C ) . Hãy viết phương trình tiếp tuyến của ( C ).
 Dạng 1 : Biết tiếp điểm M(xo,yo) ( C ) ( Tiếp tuyến tại M của ( C) ).
 Phương trình tiếp tuyến là: y – yo = (xo)(x – xo) ( y0 = f(xo) ).
Dạng 2 : Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước.
Cách giải 1: - Giải phương trình để tìm hoành độ tiếp điểm xo
 - Thế xo vào công thức dạng 1.
Cách giải 2: - PT đường thẳng (d) có hệ số góc k là : y = kx + b 
 - (d) tiếp xúc với ( C ) hệ có nghiệm.
 - Giải hệ trên tìm được b từ đó suy ra phương trình tiếp tuyến.
Dạng 3: Tiếp tuyến đi qua điểm cho trước ( hoặc phải tìm).
Cách giải 1: - PT đường thẳng (d) có hệ số góc k qua M là: y = k(x-) + 
 - (d) tiếp xúc với ( C ) hệ (1) có nghiệm.
 - Giải hệ ta tìm được k từ đó ta có phương trình tiếp tuyến.
Chú ý: Số nghiệm của (1) chính là số tiếp tuyến của ( C ) qua M 
Cách giải 2: - Gọi tiếp điểm là (xo,yo) khi đó PT tiếp tuyến là: y –yo= (xo)(x - xo)
 - Vì tiếp tuyến qua M nên ta có (2) 
 - Giải (2) để tìm xo từ đó ta được phương trình tiếp tuyến.
 Chú ý: Số nghiệm của (2) chính là số tiếp tuyến của ( C ) qua M 
II. Các ví dụ :
VD1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C ) của hàm số y = x3 – 3x2 + 2 tại các giao điểm với trục ox.
VD2: Cho hàm số y = có đồ thị là ( C ).
 Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết tiếp tuyến có hệ số góc là - 1.
VD3: Cho hàm số y = x3 + x2 + x + 2 . CMR trên đồ thị của hàm số không thể có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
VD4: Tìm trên đồ thị của hàm số y = x3 + 3x + 2 những điểm mà từ đó kẻ được đúng một tiếp tuyến với đồ thị của hàm số.
VD5: Cho hàm số y = có đồ thị là ( C ). CMR tại các giao điểm của ( C ) với trục hoành , các tiếp với ( C ) vuông góc với nhau.
VD6: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C ) của hàm số y = biết tiếp tuyến đi qua điểm M( 2, 2).
VD7: Cho hàm số y = có đồ thị là ( C ).
Tìm m để ( C ) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt A và B .
CMR tại A và B đạo hàm của hàm số thoả mãn công thức 
CMR tiếp tuyến của ( C ) tại A và B luôn vuông góc với nhau.
VD8: a) CMR tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị của hàm số y = x3 + 3x2 + 2x + 3 có hệ số góc nhỏ nhất.
 b) CMR tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị của hàm số y = - x3 + 3x + 2 có hệ số góc lớn nhất.
VD9: Cho hàm số y = 
Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số.
CMR trên ( C ) có vô số cặp điểm mà ở đó tiếp tuyến song song với nhau và các cặp điểm này đối xứng nhau qua tâm của ( C ).
VD10: Cho hàm số y = x3 – 3x + 2 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số.
Tìm trên đường thẳng y = 4 các điểm sao cho từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến với ( C )
Tìm trên đường thẳng y = 4 các điểm sao cho từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến với ( C ) vuông góc với nhau.
VD11: Cho hàm số y = 
Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số
CMR trên đường thẳng y = 7 có 4 điểm sao cho từ mỗi điểm đó kẻ được 2 tiếp tuyến với ( C ) và tạo với nhau một góc 45o.
Chuyên đề 3: Bài toán quỹ tích.
I. Các ví dụ áp dụng:
VD1: Cho đồ thị ( C ) của hàm số y = x2 – 4x + 3 và đường thẳng ( d) : y = mx trong đó m là tham số.
Tìm m để (d) cắt ( C ) tại 2 điểm phân biệt A và B.
Tìm quỹ tích trung điểm của AB.
VD2: Tìm quỹ tích tâm đối xứng của đồ thị của hàm số y = 
VD3: Tìm quỹ tích điểm uốn của đồ thị hàm số: y = 2x3 - 3(m -2)x2 - (m - 1)x + m
VD4: Cho hàm số y = với m là tham số.
Tìm m để hàm số có cực trị.
Tìm quỹ tích các điểm cực trị của đồ thị của hàm số.
 VD5: Cho hàm số y = 
 a) Tìm k để đường thẳng y = kx + 1 cắt đồ thị của hàm số tại 2 điểm phân biệt A ,B
 b)Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn AB khi k thay đổi.
Chuyên đề 4: Phép đối xứng đồ thị
II. Các ví dụ.
VD1: Cho ( C ) : y = x2 + 2x +1 và ( C/) : y = x2 – 6x + 9 . CMR ( C ) và ( C/ ) đối xứng với nhau qua đường thẳng x = 1.
VD2 : Chứng minh ( C ) : y = x2 + 2x + 3 và ( C/ ) : y = -x2 + 6x - 10 đối xứng nhau qua điểm I .
VD3: (ĐHQG Hà Nội –95): Xác định hàm số y = f(x) sao cho đồ thị của nó đối xứng với đồ thị của hàm số y = g(x) = qua điểm M(1,1).
VD4(ĐHBK Hà Nội –90) : Tìm m để đồ thị của hàm số y = có ít nhất một cặp điểm đối xứng qua gốc toạ độ.
VD5(ĐHQG-97):Tìm các cặp điểm M1 và M2 ở trên đồ thị của hàm số y = đối xứng với nhau qua điểm I(0,).
VD6:Tìm 2 điểm A , B nằm trên đồ thị của hàm số y = và đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x – 1.
chuyên đề 5 : khoảng cách
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
VD1(HVKTQS-95). Tìm trên đồ thị của hàm số y = điểm M có tổng các khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ là nhỏ nhất.
VD2(HVQY-95). Tìm điểm M thuộc đồ thị của hàm số y = sao cho tổng các khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ là nhỏ nhất.
VD3(ĐHAN-97).Tìm M trên đồ thị của hàm số y = sao cho tổng các khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất.
VD4(HVQHQT-99). Tìm điểm M trên đồ thị y = sao cho khoảng cách từ M tới các tiệm cận đứng và ngang bằng nhau.
VD5(ĐHQG Hà Nội –98). Tìm M thuộc đồ thị của hàm số y = sao cho khoảng cách từ M đến trục hoành bằng hai lần khoảng cách từ M đến trục tung.
VD6(ĐHQG-HCM-2000). Tìm điểm M trên đồ thị y = sao cho tổng các khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất.
VD7(ĐH Ngoại Ngữ-2000). CMR tích các khoảng cách từ điểm K tuỳ ý thuộc đồ thị của hàm số y = tới hai đường tiệm cận luôn là một hằng số.
VD8(HVKTQS-2000). Tìm điểm M trên đồ thị y = f(x) = có khoảng cách đến đường thẳng y + 3x + 6 = 0 là nhỏ nhất.
VD9(ĐH Ngoại Thương –2001). Tìm điểm M trên đồ thị y = f(x) = sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm của hai đường tiệm cận là nhỏ nhất.
VD10(ĐHSP –2001). Tìm m để hàm số y = có cực đại , cực tiểu và khoảng cách từ hai điểm đó đến đường thẳng x + y + 2 = 0 (d) bằng nhau.
2)Khoảng cách giữa hai điểm. 
VD1(ĐH Luật –95). Tìm hai điểm E , F thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị của hàm số y = sao cho đoạn EF ngắn nhất.
VD2(ĐH Nông Nghiệp –2000). CMR đường thẳng (d) đi qua điểm I(0,k) có hệ số góc bằng (-1) luôn cắt đồ thị y = tại 2 điểm phân biệt E và F . Tìm k để đoạn EF có độ dài nhỏ nhất.
3)Khoảng cách ngắn nhất giữa 2 đồ thị.
VD1(ĐH Mỏ ĐC –99) . Cho đường cong ( C ) : y = 2x4 – 3x2 +2x +1 và đường thẳng (d) có PT : y = 2x – 1.
CMR (d) và ( C ) không có điểm chung.
Tìm điểm A trên ( C ) có khoảng cách đến (d) là nhỏ nhất.
CHUYấN ĐỀ 7: BIỆN LUẬN SỐ ĐỒ THỊ ĐI QUA MỘT ĐIỂM
Bài 1: CMR đồ thị hàm số luụn tồn tại ba điểm cố định thẳng hàng. 
Bài 2: Cho hàm số . Viết pt tt tại điểm cố định mà dths luụn đi qua với mọi m
Bài 3 . Cho hs .Tỡm điểm cố định mà dths luụn đi qua với mọi .
Bài 4: Cho hàm số . Tỡm cỏc điểm trờn Oy sao cho khụng cú bất kỳ đồ thị nào của hàm số đi qua.