Ôn thi Đại học, Cao đẳng môn Toán - Phương trình vô tỉ

CHỦ ĐỀ 1.
PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ
I. Giải phương trình vơ tỉ bằng các phép biến đổi tương đương hoặc hệ quả.
A. Lý thuyết:
1) 
2) Dạng: 
3) Dạng: .
* Nếu A+B = C+D (hoặc A.B = C.D) thì bình phương 2 vế ta được phương trình tương đương.
* Nếu A+C = B+D (hoặc A.C = B.D) thì phải đưa phương trình về dạng: sau đĩ bình phương hai vế, tìm nghiệm sau đĩ thử lại để chọn nghiệm.
4) Dạng: 
* Lập phương hai vế ta được: .
Sau đĩ thay thế: vào phương trình, ta được: 
Chú ý: sự thay thế này cĩ thể dẫn đến nghiệm ngoại lai, vì vậy phải thử lại nghiệm.
B. Bài tập: 
Bài 1. Giải các phương trình:
1) 	2) 
3) 	4) 
Bài 2. Giải các phương trình:
1) 	2) 
3) 	4) 
Bài 3. Giải các phương trình:
1) 	2) 
3) 
Bài 4. Giải các phương trình sau:
1) 	2) 	
3) 	4) 
II. Giải phương trình vơ tỉ bằng cách trục căn thức.
* Áp dụng cho các trường hợp sau:
- Đưa được về dạng đơn giản hơn.
- Nhẩm được phương trình cĩ một nghiệm x = x0.
Bài tập:
Giải các phương trình sau:
1) 	2) 
3) 
III. Phương pháp đặt ẩn phụ
Dạng 1. Đặt ẩn phụ hồn tồn bằng đại số:
Bài 1. Giải các phương trình:
1) 	2) 
3) 	4) 
Bài 2. Giải các phương trình 
1) 	2) 

Bài 3. Giải các phương trình:
1) 	2) 
Bài 4. Giải các phương trình:
1) 	2) 
Bài 5. Giải các phương trình:
1) 	2) 
Bài 6. Giải các phương trình:
 1) 	2) 
(HD: Chia cả hai vế cho x )
Dạng 2. Đặt ẩn phụ hồn tồn bằng lượng giác:
* Cĩ thể áp dụng cho các phương trình mà ĐK của biến số thuộc một đoạn [a; b]
Giải các phương trình:
1) 	2) (Chia 2 vế cho x3)
3) 	(Đặt (x-1) = sint)
4) 	5) (lập phương 2 vế)
6) 
Dạng 2. Đặt ẩn phụ đưa về hệ:
Bài 1. Giải các phương trình:
1) 	2) 
3) 	4) 
Bài 2. Giải các phương trình:
1) 	,(y =)	2) , (y-1 = )
3) , (y-3 = )	4) 
IV. Một số bài tốn về phương trình vơ tỉ cĩ chứa tham số:
A. Lý thuyết :
* Phương trình : f(x) = m có nghiệm trên tập D 
* Chú ý : Xét bài toán : tìm m để phương trình f(x,m)=0 có nghiệm, ta có thể làm như sau : 
	Bước 1 : Tìm ĐK tờn tại của phương trình, giả sử x thuợc tập D (tập D là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng)
Bước 2 : Đưa phương trình f(x,m) = 0 về dạng g(x) = m.
Bước 3 : Xét sự biến thiên, tìm GTLN và GTNN nếu có, của g(x) trên tập D.
Bước 4 : Lâph BBT, từ BBT suy ra ĐK có nghiệm của phương trình. 
* Thường thì đây là các bài toán ta phải đặt ẩn phụ (như các dạng đã được nêu trong phần giải phương trình vơ tỉ trên đây), Chú ý rằng ĐK của ẩn phụ phải chính xác.
Ví dụ 1 : Tìm m để phương trình sau cĩ hai nghiệm phân biệt: 
Giải: 
	Với ĐK , phương trình đã cho 
	x3 – 4x2 – 3x – 1 = – m f(x) = - m.	(1)
	Xét hàm số f(x) trên , ta cĩ
	f ’(x) = 3x2 – 8x – 3 ; f ‘(x) = 0 x
f’(x)
f(x)
1/2
3
+
_
0
-
+
-27/8
-19
+
_
	f(3) = - 19, f(1/2) = - 27/8.
	* BBT (hình bên).
	Từ BBT suy ra (1) cĩ nghiệm trên (tức phương trình đã cho cĩ nghiệm) 
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
	(1)
Hướng dẫn: 
* ĐK: 	
* Đặt 	,	
	Suy ra: 
	Nên (1) trở thành: 	
* Khảo sát sự biến thiên của hàm sớ g(t) trên đoạn , 
* Lập BBT và từ BBT suy ra các giá trị cần tìm.
B. Bài tập:
Bài 1. Tìm điều kiện của m để phương trình 
	1) cĩ nghiệm thực duy nhất,	2) cĩ nghiệm thực.
Bài 2. Tìm m để phương trình sau cĩ nghiệm thực duy nhất:
 .
Bài 3. Tìm điều kiện của m để phương trình 
cĩ 2 nghiệm thực phân biệt.
Bài 4. Tìm điều kiện của m để phương trình cĩ nghiệm thực.
Bài 5. Tìm điều kiện của m để phương trình cĩ nghiệm thực.
Bài 6. Tìm điều kiện của m để phương trình cĩ nghiệm thực.
Bài 7. Tìm điều kiện của m để phương trình cĩ nghiệm thực (A-2007).
Bài 8. Chứng minh mọi m > 0 phương trình (B-2007)
Bài 9. Tìm điều kiện m để phương trình cĩ hai nghiệm thực phân biệt (A-2008)
Bài 10. Tìm điều kiện m để phương trình cĩ nghiệm thực.
Bài 11. Tìm điều kiện m để phương trình cĩ nghiệm thực.
Bài 12. Tìm m để phương trình cĩ nghiệm thực.
Bài 13. Tìm m để phương trình cĩ nghiệm thực.
Bài 14. Chứng tỏ rằng phương trình luơn cĩ nghiệm thực với mọi giá trị của m.
Bài 15. Tìm m để phương trình cĩ nghiệm thực.
Bài 16. Tìm m để phương trình cĩ nghiệm thực.
Bài 17 (trích đề thi ĐH khối B – 2004). Tìm điều kiện của m để phương trình:
 cĩ nghiệm thực.
Bài 18. Tìm m để phương trình cĩ 2 nghiệm thực phân biệt.