Ôn tập học kỳ II toán 9

0 hoặc m = – 4 thì pt (1) có một nghiệm là – 2.
2. Áp dụng hệ thức Vi-ét cho pt (1): 
	Ta có: (x1 – x2)2 + 4(x1 + x2) + 4 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 + 4(x1 + x2) + 4 
	 = (2m – 2)2 – 4m2 + 4(2m – 2) + 4
	 = 4m2 – 8m + 4 – 4m2 + 8m – 8 + 4 = 0 (đpcm).
Bài tập 6 :
	Cho phương trình bậc hai x2 –2(m + 1)x + m – 4 = 0 (1).
Giải phương trình (1) khi m = –2.
CMR: , phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của pt (1). Chứng minh biểu thức:
A = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) không phụ thuộc vào m.
HD: 	1. Khi m = –2 x1 = ; x2 =.
	2. = m2 + m + 5 = > 0, .
	3. Áp dụng hệ thức Vi-ét cho pt (1): 
	Theo đề bài: A = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) = x1 – x1x2 + x2 – x1x2 = (x1 + x2) – 2x1x2
	= (2m + 2) – 2(m – 4) = 10.
	Vậy A = 10 không phụ thuộc vào m.
Bài tập 7: Cho phương trình bậc hai x2 –2(m + 1)x + (2m – 4) = 0 (1). 
Giải phương trình (1) khi m = – 2.
CMR: Với mọi m, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của (1). Tính A = theo m.
Tìm giá trị của m để A đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài tập 8: Cho phương trình bậc hai x2 – (m – 1)x + 2m – 7 = 0 (1). 
Giải phương trình (1) khi m = –1.
CMR: Với mọi m, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu.
Thiết lập mối quan hệ giữa 2 nghiệm x1, x2 không phụ thuộc và m.
Tìm m để = 10.
HD:	1. Khi m = –1 x1 = ; x2 = .
	2. = m2 – 10m + 29 = (m – 5)2 + 4 > 0, .
	3. Phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu khi a.c < 0 1.(2m – 7) < 0 m < .
	4. Hệ thức cần tìm: 2S – P =5 2(x1 +x2) – x1x2 = 5.
	5. = 10 m2 – 6m + 5 = 0 m = 1 hoặc m = 5.
Bài tập 9: Cho phương trình bậc hai x2 + 2x + 4m + 1 = 0 (1). 
Giải phương trình (1) khi m = –1. 
Tìm m để:
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.
Tổng bình phương các nghiệm của pt (1) bằng 11.
HD:	1. Khi m = –1 x1 = 1 ; x2 = –3 .
	2a. Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi = –4m > 0 m < 0.
	2b. Phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu khi a.c < 0 1.(4m + 1) < 0 m < .
	2c. Tổng các bình phương hai nghiệm của pt (1) bằng 11 = 11 (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 11
2 – 8m = 11 m = .
Bài tập 10: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (m là tham số) (1).
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép và tính nghiệm kép đó.
Trong trường hợp phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 hãy tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1, x2 mà không phụ thuộc m.
HD: 	a)
Phương trình (1) có nghiệm kép = 0 m2 – 9 = 0 .
Khi pt (1) có nghiệm kép x1 = x2 = = m + 1.
Khi m = 3 x1 = x2 = 4.
Khi m = – 3 x1 = x2 = – 2 .
b)
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 khi > 0 m2 – 9 > 0 .
Hệ thức: S – P = – 8 x1 + x2 – x1x1 = – 8 hay: x1x1 – (x1 + x2) = 8.
----------------------------------------------------------------------------------------
CHỦ ĐỀ: GIẢI BÀI TOÁN
 BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LẬP PHƯƠNG TRÌNH 
I. KIEÁN THÖÙC CAÀN NHÔÙ
Các bước giải:
Lập phương trình ( hoặc hệ phương trình):
Chọn ẩn số và xác định điều kiện thích hợp cho ẩn;
Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và qua các đại lượng đã biết ;
 Lập phương trình ( hoặc hệ phương trình) biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng
Giải phương trình ( hoặc hệ phương trình) vừa lập được.
Trả lời: Chỉ nhận nghiệm thỏa ĐK và trả lời yêu cầu của bài.
II. BAØI TAÄP VAÄN DUÏNG
Bài tập1: Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng chục lớn hớn chữ số hàng đơn vị là 2 và nếu viết thêm chữ số bằng chữ số hàng chục vào bên phải thì được một số lớn hơn số ban đầu là 682.
HD: 	
Gọi x là chữ số hàng chục (x N, 0 < x 9).
Gọi y là chữ số hàng đơn vị (y N, x 9)
Số cần tìm có dạng = 10x + y
Vì chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2 nên ta có pt: x – y = 2 	(1)
Khi thêm chữ số bằng chữ số hàng chục vào bên phải thì được số mới: =100x +10y + x = 101x +10y
Vì số mới lớn hơn số ban đầu là 682 nên ta có phương trình:
 (101x + 10y) – (10x + y) = 682 91x + 9y = 682 (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ pt: 
Giải hệ pt ta được (thỏa ĐK) số cần tìm là 75.
Bài tập 2: Có hai số tự nhiên, biết rằng: tổng của hai số bằng 59; hai lần số này bé hơn ba lần số kia là 7. Tìm hai số đó.
HD: 
Gọi x, y là hai số cần tìm (x, y N)
Theo đề bài ta có hệ pt: 
Giải hệ ta được: (thỏa ĐK) hai số cần tìm là 34 và 25.
Bài tập 3: Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Cho một số tự nhiên có hai chữ số. Tổng của hai chữ số của nó bằng 10; tích hai chữ số ấy nhỏ hơn số đã cho là 12. Tìm số đã cho.
HD: 
Gọi x là chữ số hàng chục của số đã cho (x N, 0 < x 9)
Chữ số hàng đơn vị: 10 – x 
Số đã cho có dạng: 10.x + (10 – x) = 9x + 10
Tích của hai chữ số ấy: x(10 – x)
Theo đề bài ta có phương trình: (9x + 10) – x(10 – x)= 12 x2 – 2 = 0
Giải pt trên ta được: x1 = –1( loại); x2 = 2 (nhận)
Vậy số cần tìm là 28.
Bài tập 4: Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Một hình chữ nhật có chu vi là 280m. Nếu giảm chiều dài của hình chữ nhật 2m và tăng chiều rộng thêm 3m thì diện tích của nó tăng thêm 144m2. Tính các kích thước của hình chữ nhật.
HD: 
Nửa chu vi hình chữ nhật: = 140 (m).
Gọi x (m) là chiều dài của hình chữ nhật (0 < x < 140).
Chiều rộng của hình chữ nhật là 140 – x (m).
Diện tích ban đầu của hình chữ nhật là x(140 – x) (m2).
Khi giảm chiều dài của hình chữ nhật 2m và tăng chiều rộng thêm 3m thì hình chữ nhật mới có diện tích: (x – 2)[(140 – x) + 3] = (x – 2)(143 – x) (m2)
 Vì diện tích hình chữ nhật tăng thêm 144m2 nên ta có phương trình:
(x – 2)(143 – x) – x(140 – x) = 144 5x = 430 x = 86 (thỏa ĐK)
Vậy hình chữ nhật có chiều dài 86m và chiều rộng là: 140 – x = 140 – 86 = 54 (m).
Bài tập 5: Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 320m. Nếu chiều dài của khu vườn tăng 10m và chiều rộng giảm 5m thì diện tích của nó tăng thêm 50m2. Tính diện tích của khu vườn ban đầu.
HD: 
Chiều dài là 100m và chiều rộng là 60m.
Diện tích khu vườn: 6 000 m2.
Bài tập 6: Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Một hình chữ nhật có chu vi 160cm và có diện tích 1500m2. Tính các kich thước của nó.
HD: 
Nửa chu vi hình chữ nhật: = 80 (m).
Gọi x (m) là một kích thước của hình chữ nhật (0 < x < 80).
Kích thước còn lại của hình chữ nhật là 80 – x (m).
Diện tích của hình chữ nhật là x(80 – x) (m2).
Vì diện tích hình chữ nhật là 1500m2 nên ta có phương trình:
x(80 – x) = 1500 x2 – 80x + 1500 = 0 
Giải pt trên ta được: x1 = 30 (nhận); x2 = 50 (nhận).
Vậy hình chữ nhật có các kích thước là 30m và 50m.
Bài tập 7: Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình: Một sân trường hình chữ nhật có chu vi là 340m. Ba lần chiều dài hơn 4 lần chiều rộng là 20m. Tính diện tích của sân trường.
HD: 
Gọi x, y (m) lần lượt là chiều dài và chiều rộng sân trường ( 0 < x, y < 170)
Vì sân trường có chu vi 340m nên ta có phương trình: 2(x + y) = 340 x + y = 170 (1).
Vì ba lần chiều dài hơn 4 lần chiều rộng là 20m nên ta có pt: 3x – 4y = 20 (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ pt: 
Giải hệ pt ta được (thỏa ĐK).
Bài tập 8: Cho một tam giác vuông. Nếu tăng các cạnh góc vuông lên 4cm và 5cm thì diện tích tam giác sẽ tăng thêm 110cm2. Nếu giảm cả hai cạnh này đi 5cm thì diện tích sẽ giảm đi 100cm2. Tình hai cạnh góc vuông của tam giác.
HD:
Gọi x (cm), y (cm) là độ dài hai cạnh góc vuông (x > 5, y > 5).
Theo đề bài ta có hệ pt: 
 Giải hệ pt ta được (thỏa ĐK).
Vậy độ dài hai cạnh góc vuông là 20cm và 25cm.
Bài tập 9: Cho tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5cm, diện tích bằng 6cm2. Tìm độ dài các cạnh góc vuông.
HD: 
Gọi x (cm), y (cm) là độ dài hai cạnh góc vuông (0 < x, y < 5).
Vì tam giác có cạnh huyền 5cm nên ta có pt: x2 + y2 = 25 (1).
Vì tam giác có diện tích 6cm2 nên ta có pt: xy = 6 xy = 12 (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ pt: 
 ( vì x, y > 0)
Giải hệ pt ta được hoặc (thỏa ĐK).
Vậy độ dài hai cạnh góc vuông là 3cm và 4cm.
Bài tập 10: 	Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình: Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước trong 4 giờ 48 phút sẽ đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất trong 3 giờ và vòi thứ hai trong 4 giờ thì được bể nước. Hỏi mỗi vòi chảy một mình trong bao lâu thì mới đầy bể?
HD:
Gọi x (h), y (h) lần lượt là thời gian vòi 1, vòi 2 chảy riêng đầy bể ( x > 3, y > 4).
Trong 1h, vòi 1 chảy được: (bể).
Trong 1h, vòi 2 chảy được: (bể).
Vì hai vòi nước cùng chảy trong 4 giờ 48 phút = h sẽ đầy bể nên trong 1h hai vòi cùng chảy được 
 bể, do đó ta có pt: + = (1).
Vì vòi thứ nhất trong 3 giờ và vòi thứ hai trong 4 giờ thì được bể nước nên ta có pt: + = (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ pt: (I)
Đặt u = , v = , hệ (I) trở thành: (II).
Giải hệ (II), ta được: (thỏa ĐK).
Vậy: Vòi 1 chảy riêng đầy bể trong 12h, vòi 2 chảy riêng đầy bể trong 8h.
Bài tập11: Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình: Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước trong 1 giờ 20 phút thì đầy bể. Nếu để vòi thứ nhất chảy một mình trong 10 phút và vòi thứ hai chảy một mình trong 12 phút thì chỉ được thể tích của bể nước. Hỏi mỗi vòi chảy một mình trong bao lâu sẽ đầy bể?
HD: Vòi 1 chảy riêng đầy bể trong 120 phút = 2h, vòi 2 chảy riêng đầy bể trong 240 phút = 4h.
Bài tập 12: Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình: Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể cạn (không có nước) thì sau giờ đầy bể. Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vòi thứ hai thì sau giờ nữa mới bể nước. Hỏi nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ hai thì sau bao lâu mới đầy bể?
HD: 
Gọi x (h), y (h) lần lượt là thời gian vòi 1, vòi 2 chảy riêng đầy bể ( x > 9, y > ).
Trong 1h, vòi 1 chảy được: (bể).
Trong 1h, vòi 2 chảy được: (bể).
Vì hai vòi nước cùng chảy trong giờ = h sẽ đầy bể nên trong 1h hai vòi cùng chảy được bể, 
do đó ta có pt: + = (1).
Vì lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vòi thứ hai thì sau giờ nữa mới bể nước nên ta có pt: + = 1 (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ pt: (I)
Đặt u = , v = , hệ (I) trở thành: (II).
Giải hệ (II), ta được: (thỏa ĐK).
Vậy: Vòi