Ôn tập các bài toán về hệ thức lượng trong tam giác vuông

A
B
c¾t DE t¹i I. Ta cã IA = ID ( t/c 2 tiÕp tuyÕn c¾t nhau)
O/
O
O
IE = IA ( t/c 2 tiÕp tuyÕn c¾t nhau)
⇒ AI = DE ⇒ ADE vu«ng t¹i A ( cã trung tuyÕn AI 
b»ng c¹nh t­¬ng øng DE) ⇒∠ DAE = 900
b)Ta cã ∆ ABD vu«ng t¹i D ( cã trung tuyÕn DO b»ng c¹nh t­¬ng øng AB)
⇒∠ ADM = 900 (1)
∆ AEC vu«ng t¹i E (………….) ⇒ ∠ AEM = 900 (2)
MÆt kh¸c ∠ DAE = 900 ( c/m a) (3)
Tõ (1) (2) (3) ⇒ ADME lµ hcn ( cã 3 gãc vu«ng)
c) ADME lµ hcn ⇒ 2 ®­êng chÐo AM vµ DE c¾t nhau t¹i trung ®iÓm mçi ®­êng. Mµ I lµ trung ®iÓm cña DE ⇒ I lµ trung ®iÓm cña AM hay M, I, A th¼ng hµng hay MA lµ tiÕp tuyÕn chung cña 2 ®­êng trßn
Bµi 2. (Bµi 85 tr141 SBT): Cho ®g trßn (O) ®g kÝnh AB. §iÓm M thuéc ®g trßn, gäi N lµ ®iÓm ®èi xøng víi A qua M; BN c¾t ®g trßn ë C. gäi E lµ giao ®iÓm cña AC vµ BM
a) c/m NE ^ AB
N
N
b) Gäi F lµ ®iÓm ®èi xøng víi E qua M. c/m FA lµ tiÕp tuyÕn cña (O)
F
c) c/m FN lµ tiÕp tuyÕn cña ®g trßn (B;BA)
M
M
HD c/m: a) Trong ∆ AMB cã trung tuyÕn MO
C
E
B»ng c¹nh t­¬ng øng AB ⇒ ∠ AMB = 900
‘
O
B
A
⇒ BM ^ AN . c/m t­¬ng tù ta cã AC ^ BN
⇒ AC, BM lµ 2 ®­êng cao cña ∆ NAB ⇒ E lµ
trùc t©m ⇒ NE ^ AB
b) Tø gi¸c AENF cã 2 ®­êng chÐo AN vµ EF c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®­êng (gt) ⇒ AENF lµ hbh ⇒ NE ∥ FA mµ NE ^ AB ⇒ FA ^ AB ⇒ FA lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (O)
∆ ABN cã BM võa lµ ®­êng cao võa lµ trung tuyÕn ⇒ ∆ ABN c©n t¹i B 
⇒ BA = BN vµ B1 = B2 ⇒ BN lµ b¸n kÝnh cña ®­êng trßn (B;BA) (1)
XÐt ∆ ABF vµ ∆ NBF cã BA = BN; B1 = B2 (c/m trªn) , c¹nh BF chung ⇒ ∆ ABF = ∆ NBF (c.g.c) ⇒∠BNF = ∠ BAF mµ ∠ BAF = 900 ⇒ ∠BNF = 900 ⇒ FN ^ NB (2)
Tõ (1) vµ (2) ⇒ FN lµ tiÕp tuyÕn cña ®g trßn (B;BA)
Tuần 15. Tiết 23+24. Ngày soạn : 21/11/2013. Ngày dạy : 28/11/2013
VÞ trÝ t­¬ng ®èi cña 2 ®­êng trßn
 I/ LÝ thuyÕt:
1) Ba vÞ trÝ t­¬ng ®èi cña 2 ®­êng trßn
2) TÝnh chÊt ®­êng nèi t©m: - Lµ trôc ®èi xøng cña h×nh gåm 2 ®­êng trßn
- NÕu 2 ®­êng trßn c¾t nhau th× ®­êng nèi t©m lµ trôc ®èi xøng cña d©y chung
- NÕu 2 ®­êng trßn tiÕp xóc th× ®­êng nèi t©m ®i qua tiÕp ®iÓm
3) TiÕp tuyÕn chung cña 2 ®­êng trßn lµ ®­êng th¼ng tiÕp xóc víi c¶ 2 ®­êng trßn
II/ LuyÖn tËp
Bµi 1. (Bµi 84 SBT): Cho 2 ®g trßn (O;2cm) vµ (O´;3cm) cã OO´= 6 cm 
a) 2 ®g trßn (O) vµ (O/) cã vÞ trÝ t­¬ng ®èi ntn víi nhau?
b)VÏ ®g trßn (O/;1cm) vÏ tiÕp tuyÕn OA víi ®g trßn ®ã ( A lµ tiÕp ®iÓm). Tia O/A c¾t ®g trßn (O/;3cm) ë B. kÎ b¸n kÝnh OC cña (O) song song víi O/B; B vµ C thuéc cïng 1nöa mÆt ph¼ng bê OO/. C/m r»ng BC lµ tiÕp tuyÕn chung cña 2 ®­êng trßn (O;2cm) 
vµ (O/;3cm)
c) TÝnh ®é dµi BC
d) Gäi I lµ giao ®iÓm cña BC vµ OO/. TÝnh ®é dµi IO
B
HD c/m:
C
C
a) 
I
A
O/
O
OO/ = 6cm; R(O/) = 3cm; r(O) = 2cm ⇒ OO/ > R + r ⇒ (O) vµ (O/) ë ngoµi nhau
b) Ta cã O/B = 3cm; O/A = 1cm; ⇒ AB = 3 – 1 = 2cm
MÆt kh¸c OC = 2cm ⇒ OC = AB; mµ OC ∥ AB ⇒ ABCO lµ hbh
+ O/A ^ OA ( t/c tiÕp tuyÕn) ⇒ ∠ OAB = 900 ⇒ ABCO lµ hcn ⇒ BC ^ OC
 vµ BC ^ O/B ⇒ BC lµ tiÕp tuyÕn chung cña 2 ®g trßn (O) vµ (O/)
c) BC = OA ( 2 c¹nh ®èi cña hcn)
¸p dông ®lÝ pi ta go trong tam gi¸c vu«ng OAO/ cã OA = =
d) C¸ch 1: ∠COI = ∠BO/I ( ®ång vÞ) ⇒ cosCOI = cosBO/I = 
Trong ∆ vu«ng IOC = ⇒ ⇒ OI = 12cm
C¸ch 2: ¸p dông ®Þnh lÝ ta lÐt ta cã ⇒ tõ ®ã tÝnh ®­îc OI
Bµi 2: ( bµi 86 tr141 SBT)
Cho ®g trßn (O) ®g kÝnh AB, ®iÓm C n»m gi÷a A vµ O, vÏ ®g trßn (O/) cã ®g kÝnh CB
a) Hai ®g trßn (O) vµ (O/) cã vÞ trÝ ntn víi nhau
b)KÎ d©y DE cña ®g trßn (O) sao cho DE ^ AC t¹i trung ®iÓm H cña AC. Tø gi¸c ADCE lµ h×nh g×? c/m
c) Gäi K lµ giao ®iÓm cña DB vµ (O/) . c/m 3 ®iÓm E, C, K th¼ng hµng
d) c/m HK lµ tiÕp tuyÕn cña (O/)
D
HD c/m: 
K
a) OO/ = OB – O/B ( v× O/ n»m gi÷a O vµ B)
H
‘
‘
‘
A
A
B
hay d = R – r ⇒ (O) vµ (O/) tiÕp xóc trong
O/
O
C
b)AB ^ DE (gt) t¹i H ⇒ HD = HE
E
MÆt kh¸c HA = HC (gt) ⇒ ADCE lµ hbh ( cã 2 ®g chÐo …)
Mµ AC ^ DE ⇒ ADCE lµ h×nh thoi
c)Ta cã EC ∥ AD(…), AD ^ DB (…..)
⇒ CE ^ DB. MÆt kh¸c CK ^ DB (…) ⇒ 3 ®iÓm E, C, K th¼ng hµng
H­íng dÉn vÒ nhµ: 
Lµm bµi tËp 87, 88 tr 141, 142 SBT
HÖ thèng c¸c kiÕn thøc ®· häc
Tuần 16. Tiết 25+26. Ngày soạn : 29/11/2013. Ngày dạy : 05/12/2013
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN.
TIẾP TUYẾN CHUNG CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN
A. Kiến thức cơ bản
1. Tính chất đường nối tâm
- Định lý:
a) Nếu 2 đtr cắt nhau thì 2 giao điểm đối xứng với nhau qua đường nối tâm, tức là đường nối tâm là đường trung trực của dây chung (OO’ là đường trung trực của dây AB)
b) Nếu 2 đtr tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm (A thuộc OO’)
2. Tiếp tuyến chung của hai đường tròn
- Định nghĩa: tiếp tuyến chung của 2 đtr là đg thg tiếp xúc với cả 2 đtr đó
d1; d2 là tiếp tuyến chung ngoài: tiếp tuyến chung ngoài không cắt đoạn nối tâm
d1; d2 là tiếp tuyến chung trong: tiếp tuyến chung trong cắt đoạn nối tâm
B. Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho đtr (O) và đtr (O’) tiếp xúc ngoài tại A, BC là tt chung ngoài của cả 2 đtr (B, C là các tiếp điểm). tt chung trong của 2 đtr tại A cắt BC tại M
a) CMR: A, , C thuộc đtr (M) đường kính BC
b) Đường thẳng OO’ có vị trí ntn đối với đtr (M; BC/2)
c) Xác định tâm của đtr đi qua O, M, O’
d) CMR: BC là tt của đtr đi qua O, M, O’
LG
a) theo tính chất 2 tt cắt nhau, ta có: 
tam giác ABC vuông tại A => a nằm trên đtr có đkính BC. Hay 3 điểm A, B, C thuộc (M; BC/2)
b) và (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A => A thuộc OO’ => OO’ vuông góc với MA tại A thuộc (M; BC/2) => OO’ là tt của đtr (M; BC/2) 
c) theo tính chất tt cắt nhau, ta có:
=> tam giác OMO’ vuông tại M => tâm của đtr đi qua 3 điểm O, M, O’ là trung điểm I của cạnh OO’
d) + tứ giác BOO’C là hình thang vuông vì có BO // CO’ (cùng vuông góc với BC)
+ Xét hình thang BOO’C, ta có: MI là đg trung bình của hthang BOO’C
=> IM // OB, mà BC OB => IM BC => BC là tt của đtr đi qua 3 điểm O, O’, M
Bài 2: Cho đtr (O) đkính AB, điểm C nằm giữa A và O. Vẽ đtr (O’) đkính BC
a) xác định vị trí tương đối của đtr (O) và (O’)
b) kẻ dây DE của đtr (O) vuông góc với AC tại trung điểm H của AC. Tứ giác ADCE là hình gì? Vì sao?
c) gọi K là giao điểm của DB và (O’). CMR: 3 điểm E, C, K thẳng hàng
d) CMR: HK là tt của đtr (O’)
LG
a) ta có: OO’ = OB – O’B > 0 => (O) và (O’) tiếp xúc trong tại B
b) + vì AB DE tại H => DH = EH
+ xét tứ giác ADCE, ta có : 
 là hình thoi
c) ta có :
=> AD // CK (1)
+ mà ADCE là hình thoi nên AD // CE (2)
+ từ (1) và (2) => C, K, E thẳng hàng (theo Tiên đề Ơclit)
d) + vì KH là trung tuyến của tam giác DKE vuông tại K => HD = HK = HE => tam giác HKE cân tại H => K1 = E1 (*)
+ mà E1 = B1 (cùng phụ với BDE) (**)
+ từ (*) và (**) => K1 = B1 (3)
+ mặt khác: B1 = K3 (tam giác O’KB cân tại O’) (4)
+ từ (3) và (4) => K1 = K3
+ do HK là tt của đtr (O’)
**************************************************************
Tuần 17. Tiết 25+26. Ngày soạn : 06/12/2013. Ngày dạy : 12/12/2013
	ÔN TẬP ĐỀ CƯƠNG HỌC KÌ 1.
A.LÝ THUYẾT:
Câu 1: Phát biểu các định lí và vẽ hình, ghi các hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông.
Câu 2: Nêu định nghĩa tỷ số lượng giác của một góc nhọn, vẽ hình viết các tỷ số đó.
Câu 3: Tỷ số lượng giác của hai góc phụ nhau có tính chất gì ?
Câu 4: Phát biểu các định lí và vẽ hình, ghi các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông.
Câu 5: Phát biểu định nghĩa đường tròn.
Câu 6: Nêu các cách xác định đường tròn.
Câu 7: Tâm đối xứng, trục đối xứng của đường tròn.
Câu 8: Phát biểu và chứng minh các định lí quan hệ giữa đường kính và dây trong một đường tròn.
Câu 9: Phát biểu và chứng minh các định lí liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây.
Câu 10: Nêu các vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn. Ứng với mỗi vị trí đó, viết hệ thức giữa khoảng cách từ tâm đến đường thẳng và bán kính của đường tròn.
Câu 11: Phát biểu định nghĩa tiếp tuyến của đường tròn, tính chất của tiếp tuyến và các dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn.
Câu 12: Phát biểu và chứng minh định lí về hai tiếp tuyến cắt nhau.
Câu 13: Nêu các vị trí tương đối của 2 đường tròn. Ứng với mỗi vị trí đó, viết hệ thức giữa đoạn nối tâm d với các bán kính R , r của đường tròn.
Câu 14: Tiếp điểm của hai đường tròn tiếp xúc nhau có vị trí như thế nào đối với đường nối tâm ? Các giao điểm của hai đường tròn cắt nhau có vị trí như thế nào đối với đường nối tâm.
B. BÀI TẬP
Bài 1: Cho DABC vuông tại A, đường cao AH. Biết BH = 2,25cm; HC = 4cm.
a/ Tính AB, AC, AH.
b/ Tính số đo các góc nhọn B, C.
Bài 2: Cho DABC vuông tại A. 
a/ Biết AB = 5cm, AC = 12cm. Giải tam giác vuông ABC.
b/ Biết AC = 5cm, . Giải tam giác vuông ABC.
Bài 3: Cho DABC vuông tại A, đường cao AH. 
a/ Biết AH = 4cm, HB = 3cm. Giải tam giác vuông ABC.
b/ Biết AH = 4cm, AB = 5cm. Giải tam giác vuông ABC.
Bài 4 : Cho tam giác ABC, đường cao AH. Biết AB = 15 cm; AH = 12 cm; Tính độ dài BH, BC, HC, AC.
Bài 5 : Cho tam giác ABC có AB = 40 cm; AC = 58 cm; BC = 42 cm
a/. Chứng minh tam giác ABC vuông.
b/. Tính độ dài đường cao BH (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba)
c/. Tính các tỉ số lượng giác của góc A.
Bài 6 : Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E và F là trung điểm của AH và BH.
 Biết AB = 15 cm; AC = 20 cm.
a/. Tính BC, AH, HC và số đo góc ECH.
b/. Chứng minh tam giác BFA đồng dạng với tam giác ECH.
Bài 7 : Cho nửa đường tròn (O; R), đường kính AB, M là điểm trên nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B lần lượt ở C và D.
a/. Chứng minh CD = AC + DB và tam giác COD vuông.
b/. Chứnh minh 
c/. Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.
d/. Khi BM = R, hãy tính theo R diện tích tam giác ACM.
Bài 8 : Cho đường tròn (O), đường kính AB và tiếp tuyến Bx. Trên tia Bx lấy điểm M; AM cắt đường tròn tại S, gọi I là trung điểm của AS.
a/. Chứng minh 4 điểm O, I, M, B cùng thuộc một đường tròn.
b/. Chứng minh OI.MA = OA.MB
Bài 9 : Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên tiếp tuyến Ax với đường tròn (O) lấy điểm C tùy ý; CB cắt đường tròn (O) tại D. Gọi M là trung điểm của BD và E là giao điểm của AC với tiếp tuyến của đường tròn (O) tại D. Chứng minh rằng :
a/. AD // OM
b/. AC.OB = BC.MO
c/. Bốn điểm O, A, E, D cùng t