Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunyakovski

ơi trong bài toán cực trị đạt được tại tâm
Xét bài toán sau: 
 Bài toán: Cho 2 số thực dương a, b thỏa .. Tìm GTNN của 
Sai lầm thường gặp là: 
 Vậy GTNN của A là 4.
Nguyên nhân sai lầm: GTNN của A là 4 . Khi đó trái giả thuyết .
Phân tích:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại 
Sơ đồ điểm rơi:
Lời giải đúng: 
 Dấu “=” xảy ra 
Vậy GTNN của A là 
Bài 1: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa . Tìm GTNN của 
Phân tích:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại 
Sơ đồ điểm rơi:
Giải:
Dấu “=” xảy ra 
 Vậy GTNN của A là 
Bài 2: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa . Tìm GTNN của
Phân tích:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại 
Sơ đồ điểm rơi:
Giải:
Dấu “=” xảy ra 
 Vậy GTNN của A là 
Bài 3: Cho 2 số thực dương a, b. Tìm GTNN của 
Phân tích:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại 
Sơ đồ điểm rơi:
Giải:
Dấu “=” xảy ra 
 Vậy GTNN của A là 
Bài 4: Cho 3 số thực dương a, b, c. Tìm GTNN của 
Phân tích:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại 
Sơ đồ điểm rơi:
Giải:
Dấu “=” xảy ra 
Vậy GTNN của A là 
 Bài 5: Cho 2 số thực dương a, b thỏa . Tìm GTNN của :
Phân tích:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại 
Sơ đồ điểm rơi:
Giải:
Dấu “=” xảy ra 
Vậy GTNN của A là 4
 Bài 6: Cho 2 số thực dương a, b thỏa . Tìm GTNN của 
Phân tích:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại 
Sơ đồ điểm rơi:
Giải:
Dấu “=” xảy ra 
Vậy GTNN của A là 
Bài 7: Cho 2 số thực dương a, b thỏa . Tìm GTNN của 
Phân tích:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại 
Sơ đồ điểm rơi:
Giải:
Dấu “=” xảy ra 
 Vậy GTNN của A là 7	
Bài 8: Cho 2 số thực dương a, b thỏa . Tìm GTNN của
Phân tích:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại 
Sơ đồ điểm rơi:
Giải:
Dấu “=” xảy ra 
 Vậy GTNN của A là 20	
 Bài 9: Cho ba số thực dương thỏa . Tìm GTLN của
Đề thi Đại học khối A năm 2005
Giải:
Tương tự:
Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên, ta có:
Dấu “=” xảy ra 
 Vậy GTLN của P là 1
Kỹ thuật nhân thêm hệ số
Bài 1: Tìm GTLN của : 
Giải: 
 Do nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Dấu “=” xảy ra 
Vậy GTLN của A là 
Bài 2: Tìm GTLN của : 
Giải: 
 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Dấu “=” xảy ra 
Vậy GTLN của A là 
Bài 3: Cho các số thực dương a, b thỏa . Tìm GTLN của 
Giải: 
 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Dấu “=” xảy ra 
Vậy GTLN của A là 36
Bài 4: Cho các số thực a, b, c thỏa . Tìm GTLN của: 
Giải: 
 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
 Khi đó ta có:
Dấu “=” xảy ra 
Vậy GTLN của A là 
Bài 5: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa . Tìm GTLN của: 
Phân tích:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại 
Giải: 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
Dấu “=” xảy ra 
Vậy GTLN của A là 
Lưu ý: Trong bài toán sử dụng kỹ thuật nhân thêm hệ số, ta sẽ sử dụng kỹ thuật chọn điểm rơi để tìm hệ số cho phù hợp.
Bài 6: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa . Chứng minh rằng: 
Phân tích:
Do biểu thức đã cho là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi: 
Giải: 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
 (đpcm)
Bài 7: Cho a, b, c thỏa . Chứng minh rằng: 
Phân tích:
Do biểu thức đã cho là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi: 
Giải: 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
Mà theo bất đẳng thức Bunyakovski ta có 
nên (đpcm)
Kỹ thuật hạ bậc
Bài toán 1 
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện (*). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Phân tích: Sự chênh lệch về số mũ của các biểu thức và gợi cho ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy để hạ bậc . Nhưng ta cần áp dụng cho bao nhiêu số và là những số nào? Căn cứ vào bậc của các biến số a, b, c trong các biểu thức trên (số bậc giảm 2 lần) thì ta cần áp dụng bất đẳng thức Cauchy lần lượt cho và cùng với 1 hằng số dương tương ứng khác để làm xuất hiện và . Do a, b, c dương và có vai trò như nhau nên ta dự đoán A đạt giá trị nhỏ nhất khi , từ (*) ta có . Mặt khác thì dấu “=” của bất đẳng thức Cauchy xảy ra khi chỉ khi các số tham gia bằng nhau. Khi đó ta có lời giải như sau:
Lời giải: 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số: và ta có:
 (1) Dấu “=” xảy ra 
Tương tự:
 (2) Dấu “=” xảy ra 
 (3) Dấu “=” xảy ra 
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
.
Dấu “=” xảy ra 
Vậy GTNN của A là 
Bài 1: Cho các số thực dương a, b thỏa mãn điều kiện (*). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Phân tích: Căn cứ vào bậc của các biến số a, b trong các biểu thức trên (số bậc giảm 6 lần) thì ta cần áp dụng bất đẳng thức Cauchy lần lượt cho và cùng với 5 hằng số dương tương ứng khác để làm xuất hiện và . Do a, b dương và có vai trò như nhau nên ta dự đoán A đạt giá trị lớn nhất khi , từ (*) ta có . Mặt khác thì dấu “=” của bất đẳng thức Cauchy xảy ra khi chỉ khi các số tham gia bằng nhau. Khi đó ta có lời giải như sau:
Giải: 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 6 số: và 5 số ta có:
 (1) Dấu “=” xảy ra 
Tương tự:
 (2) Dấu “=” xảy ra 
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1) và (2) ta được:
Dấu “=” xảy ra 
Vậy giá trị lớn nhất của A là 
Bài 2: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa . CMR: 
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
(1) ; (2) ; (3)
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
 (đpcm) 
Bài3: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa . CMR: 
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 5 số: 3 số và 2 số 1, ta có:
 (1)
Tương tự: 
 (2) ; (3)
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
 (đpcm)
Bài 4: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa . CMR:
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 7 số: 3 số , 3 số và số 1, ta có:
 (1)
Tương tự: 
 (2) ; (3)
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
 (đpcm)
Bài 5: Cho 2 số thực dương a, b. CMR: 
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
(1); (2) ; (3)
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
 (đpcm)
Bài 6: Cho 3 số thực dương a, b, c. CMR: 
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 6 số: 4 số ,1 số và 1 số ta có:
 (1)
Tương tự: 
 (2) ; (3)
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
 (đpcm)
Bài 7: Cho các số thực dương a, b, c, m, n. CMR: 
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho m+n số: m số và n số ta có:
 (1)
Tương tự: 
 (2) 
 (3)
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
 (đpcm)
Lưu ý: Bất đẳng thức chúng ta vừa chứng minh sẽ được sử dụng trong chứng minh các bài toán sau này.
Bài 8: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa . Chứng minh bất đẳng thức sau:
Giải:
Từ kết quả bài 7 ta có 
Chọn ta được: 
Tương tự: 
 (2) 
 (3)
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
(đpcm)
 Bài toán 2
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng: 
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên, ta có:
Dấu “=” xảy ra 
Đây là một lời giải ngắn gọn nhưng có vẻ hơi thiếu tự nhiên. Chúng ta sẽ thắc mắc tại sao lại tách được . Nếu tách cách khác, chẳng hạn liệu có giải được không? Tất nhiên mọi cách tách khác đều không dẫn đến kết quả, và tách cũng không phải là sự may mắn. Bây giờ ta sẽ tìm lí do việc tách ở bài toán trên.
Với . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên, ta có:
Lúc này ta cân bằng điều kiện giả thuyết, tức là:
Khi đó ta có lời giải bài toán như trên.
Bài 1: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện . CMR: :
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên, ta có:
 Bài toán 3
Cho các số thực dương a, b thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Phân tích:
Dự đoán A đạt GTLN khi 
Giả sử A đạt GTLN khi . Ta có (1)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số: và 2 số ta có:
Tương tự:
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
Đẻ xuất hiện ở vế phải ta chọn sao cho 
Từ (1) và (2) ta có hệ: 
 Khi đó ta có lời giải sau:
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
Dấu “=” xảy ra khi 
Vậy GTLN của A là 
Bài 1: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện . Tìm GTNN của 
Phân tích:
Với . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên, ta có:
Dấu “=” xảy ra 
Chọn sao cho 
Ta có hệ phương trình: 
Khi đó ta có lời giải bài toán như sau
Giải: 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên, ta được:
Dấu “=” xảy ra 
Vậy GTNN của A là 12
Kỹ thuật cộng thêm
Bài 1: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức sau:
Giải: 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
 (1) ; (2); (3) 
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
 (đpcm)
Bài 2: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức sau:
Giải: 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
 (1) ;
 (2) ; (3)
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
 (đpcm)
Lưu ý: Trong bài toán sử dụng kỹ thuật cộng thêm hệ số, ta sẽ sử dụng kỹ thuật chọn điểm rơi và kỹ thuật hạ bậc để tìm hạng tử cho phù hợp.
Ví dụ: 
Đối với bài 1 bất đẳng thức đã cho có tính đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi . Khi đó , ta chọn .
Đối với bài 2 bất đẳng thức đã cho có tính đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi . Khi đó , muốn sử dụng bất đẳng thức Cauchy để làm mất mẫu thì ta cộng thêm . Chọn mẫu là số 9 vì .
Bài 3: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức sau:
Giải: 
 Ta có: 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
 (1); (2) ; (3) ;
 (4) ; (5) ; (6) 
Cộng theo vế các bất đẳng thức từ (1) đến (6) ta được:
 (đpcm)
Bài 4: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức sau:
Giải: 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
 (1) ; (2); (3) 
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
 (đpcm)
Bài 5: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng min